книги / Оболочки и пластины

которые дают связь между тангенциальными усилиями, действующими в срединном слое, и его перемещениями. Срезывающие усилия будут

определены ниже.

Исключая из равенств (5,1,12) неизвестные перемещения срединно­ го слоя и0 и V 0 , можно выразить усилия Т ь Г2, S через прогибы w .

Предварительно заметим, что из (5,1,12) можно получить такие со­ отношения:

Пользуясь этими |равенствами, составим уравнение

д хд у

Но согласно правилам дифференцирования

Уравнение (5,1,14) дает искомую связь между усилиями, действующи­

Теперь перейдем к построению уравнения равновесия.

Пусть на оболочку действуют нагрузки: поперечная q = q ( x , у ), дей­ ствующая нормально к срединной поверхности, сжимающие или растя­

+ ( N 2 + ^ - d y — N ^ d x + q ( x , y ) d x d y = 0.

Проводя в первых двух уравнениях сокращения и отбрасывая чле­ ны третьего порядка малости, имеем

ное состояние оболочки. Полагая в (5,1.16) и .(5,1,24) начальные кривиз­ ны k\ = 0 и k 2= 0 , получим уравнения для пластин большого прогиба:

Задача об изгибе и устойчивости пластин и оболочек, как видно из предыдущего, сводится к интегрированию системы совместных нелиней­ ных дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка:

Следовательно, граничные условия для закрепления кромок по схе­ ме (б) запишутся так:

и- const, V = const,

что выражает факт смещения кромок панели при'деформации оболочки параллельно самим себе. Возможны также комбинации этих способов шарнирного закрепления.

Рис. 5.7

Аналогично можно рассуждать и в случае защемленных кромок (рис. 5.7).

Граничные условия,- соответствующие схеме (с), можно записать

так:

дх

В первом случае (с) при деформации пластин кромки искривляются, во втором (d) — кромки остаются прямолинейными и не смещаются.

Влинейной теории в таком различии необходимости нет, и схемы

(с)и (d) можно считать эквивалентными.

Вслучае, когда на кромках пластины заданы перемещения и и V,

после интегрирования основных уравнений (5,1,16) и (5,1,25) по найден­ ной функции сриш следует составить общие выражения перемещений и и о, которые следует затем подчинить заданным граничным условиям на кромках. Другие условия здесь не рассматриваем.

§ 2. ПАНЕЛЬ ГИБКОЙ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ

Рассмотрим задачи об изгибе и устойчивости панелей гибких поло­ гих оболочек (геометрическая нелинейность).

Гибкими называются оболочки, у которых прогиб сравним с их толщиной. Для этого учитывают геометрическую нелинейность, выражая деформации через перемещения в срединной поверхности зависимостя­ ми (5,1,1), т. е. в ряду для компонентов деформации удерживаются

члены второго порядка малости относительно прогибов w = i ( x , у ) . Зада­ ча может быть сведена к интегрированию системы двух нелинейных

приближенными методами, причем из-за сложности обычно ограничи­ ваются решением в рядах в первом приближении.

Здесь приведем решения задач об изгибе и устойчивости гибкой пологой оболочки, построенных в первом [3] и в более высоких прибли­ жениях [4] методом Бубнова — Галеркина.

Решения таких задач представляют интерес с точки зрения возмож­ ности установить области неустойчивости оболочек. Линейная теория оболочек дает возможность установить только верхнюю границу этой области. Эксперименты показывают, что значения расчетных критиче­ ских напряжений не совпадают с экспериментальными и значительно их превосходят.

Рассмотрение задачи об изгибе и устойчивости оболочек в свете нелинейной теории дает возможность предвидеть поведение оболочки после потери устойчивости и установить не только верхнюю границу области неустойчивости, соответствующую критическим напряжениям, полученным по линейной теории, но и ее нижнюю границу.

Приведем некоторые соображения общего характера о решении задач этого типа. Пусть к оболочке, каким-то образом закрепленной на жестком кусочно-гладком кон­ туре, приложены произвольная поперечная нагрузка q(x, y) и нормальные к кромкам сжимающие или растягивающие напряжения, компоненты которых вдоль осей оу и ох будут р(х) и г (у). Требуется определить зависимость между действующими на обо­ лочку внешними усилиями и ее прогибами, не считая последние малыми. Для решения этой задачи необходимо проинтегрировать уравнения (5,2,1) и (5,2,2). Ввиду того что методы точного интегрирования этих уравнений еще не найдены, будем искать их при­ ближенные решения в виде рядов

тп

где Л шп и fmn — неизвестные постоянные, а функции Um (x), Vn (y)y Xni(*), Yn {y) выбирают заранее таким образом, чтобы удовлетворялись все статические и геометри­

ческие контурные условия.

Применяя метод Бубнова — Галеркина, внесем эти выражения для ф и w в урав­ нения (5,2,1) и (5,2,2), затем, умножая в соответствии с их физическим смыслом пер­ вое на -вариацию функции ф, а второе на вариацию функции w и учитывая независи­ мость вариаций параметров 6Amn между собой и вариаций параметров 6fmn между собой, проинтегрируем полученные выражения по области, ограниченной контуром обо­ лочки. Из полученной системы нелинейных алгебраических уравнений найдем неизвест­

ные параметры А тип И /тп-

Возможность применения метода Бубнова — Галеркина к операторам Ф и w изу­ чалась в работах И. И. Во-ровича [5] и других авторов. Об этом же рассказано в [6], где приводится доказательство, предложенное А. Р. Ржаницыным.