книги / Оболочки и пластины

и задаться формой изгиба пластины при колебаниях в виде

то можно представить уравнения изгиба пластины для случая конеч­

Уравнения записаны в переменных g, rj, связанных со старыми пере­ менными х и у соотношениями

где ф(£, т]) — функция, выбранная так, чтобы заведомо были удовлетво­ рены граничные условия (4,21,3), a f(t) — неизвестная функция времени.

Если в системе (4,21,8) опустить члены, учитывающие продольные силы инерции, и представить функцию w в форме'ряда

то решение двух последних уравнений системы (4,21,8) будет иметь вид:

Уравнение (4,21,12) справедливо для пластины, шарнирно опертой по всему контуру на несмещающиеся опоры, в рамках предлагаемого приближенного решения. Приближенность полученного решения состоит в том, что всюду решение однородной системы и0 и v0 принято равным нулю, и при этом граничные условия плоской задачи удовлетворяются не непрерывно, а в отдельных точках контура пластины. В самом деле, из выражений (4,21,10) при сделанном выше предположении следует, что если на краях г\ = 0 и т| = 1 (g= 0 и £=1) v(u) тождественно равно нулю, то компонента смещения и (v) обращается в нуль лишь в отдель­ ных точках контура, хотя суммарное смещение u(v) по соответствую­ щему краю и равно нулю.

Для случая двухчленной аппроксимации функции w по перемен­ ной I и одночленной ее аппроксимации по т], т. е. для случая цилиндри­

9 /г)

' / % ( * }

Ji tr

У= WOO м /с е к

W г

Рис. 4.11

Результаты вычислений показывают, что при прочих равных усло­ виях величина критической скорости для пластины в нелинейной поста­ новке существенно зависит от начальных условий.

На рйс. 4.11, 4.12 приведены графики возмущенных решений исход­ ной системы дифференциальных уравнений (4,9,13) для скоростей по­ тока в 800, 1000, 1200, 1400 и 1600 м/сек и при начальных условиях, задаваемых в форме начального прогиба (4,12,15), меняющегося по* переменной g согласно закону

w = (0) sin + ф20) sin 2nl.

движений при скоростях потока, несколько превышающих критические скорости потока для пластины в линейной постановке.

Так, если критическая скорость пластины в линейной постановке, найденная методом Бубнова—Галеркина при двухчленной аппроксима­ ции функции прогиба по переменной £, составляет 952 м/сек, то для той же пластины в нелинейной постановке задачи аэроупругости при

Q 0 4 -

-ОМ -

~аг-

Рис. 4.13

начальных условиях, определяемых формулами (4,21,15а), (4,21,156), (4,21,15в), критические скорости потока соответственно равны 1000, 1050, 1600 м/сек.

Огибающая возмущенных решений системы (4,21,13) при скоро­ стях потока, значительно меньших критической, для всех случаев на­ чальных условий (4,21,15) имеет характер кривой, огибающей 'быстро затухающие во времени колебания. С увеличением скорости потока огибающая кривой, очерчивающей периодические колебания с некото­ рым увеличением амплитуд колебаний в интервалах первого периода и только при определенных значениях скоростей потока, соответствую­ щих в приведенном определении критическим, является огибающей воз-

мущенных,решений фДт) и ср2(т) в рассматриваемом интервале времени и принимает вид непрерывно возрастающей кривой для всех т>0.

Исследования решений системы дифференциальных уравнений авто­ колебания пластин в нелинейной постановке для класса начальных условий (4,21,15) и при граничных условиях, представляющих опреде­ ленный практический интерес, показывает, что чувствительность пла­ стины к возбуждению ее флаттера резко убывает с увеличением на­ чального возмущения, задаваемого в виде начального прогиба_(4,21,15).

Наибольший интерес представляют результаты исследований воз­ мущенных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений

в момент времени т = 0 поверхность пластины получает прогиб, скорость изменения которого по переменной g представлена в виде

w = sin .я£.

Вычисления проводили для значений максимальной начальной ско­

рости в центре пластины ф] (0), равных 0,04; 0, 4; 0,6.

Результаты вычислений (рис. 4.13) показывают, что изменение мак­ симальной начальной скорости в центре пластины на полтора порядка не приводит к заметному изменению величины критической скорости. Из графиков 4.13 видно, что, изменение величины начального возму­ щения, задаваемого в виде начальной скорости (4,21,16), приводит лишь к изменению амплитуд колебаний пластины, а частота колебания в на­ чальный момент времени остается постоянной.

§ 22. РАДИАЛЬНАЯ УПРУГАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРА

Если цилиндр средней толщины находится под действием равно­ мерного по длине внутреннего давления p{t), изменяющегося по задан­ ному закону, и фронт давления движется вдоль оси я с заданной ско­ ростью, задача точного расчета даже упругих напряжений и деформа­ ций становится весьма сложной в отношении вычислений и не удается нацти простых формул, из которых можно получить ясное представле­ ние о динамических эффектах [50]. В простейшем случае плоской задачи радиальное и тангенциальное напряжения выражаются через дефор­

коэффициент Пуассона. Динамическое уравнение для радиального дви­ жения

получают известным методом путем подстановки

w = / (г) еын.

При этом уравнение (4,22,12) принимает вид

которому удовлетворяют функции

где Л(хг) и N\(xr) — функции Бесселя и Неймана.

Собственные значения параметра ип (частоты свободных радиаль­ ных колебаний цилиндра сип) находят согласно (4,22,4) и (4,22,1) из условий (4,22,31>п), в которых полагают р = 0; однородная система от­ носительно А и В приводит к уравнению частот, которое имеет вид [51]