Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

71.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 7051 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

где (G ) — область, ограниченная контуром оболочки, и интегрируя, получим

4	/ 1 +	- 7 / з +	/ ; з + / 2/ 4 = 0,	(5,2,6)
- А М Ъ+	А Ы й +	D f l , -	A f h l e + A f h l 9 - / 10 = 0.	(5,2,7)

Здесь /г — постоянные величины, зависящие от -размеров оболочки, ее кривизны, внешних усилий и граничных условий, и определяются по следующим формулам:

h =	J j (U™V + 2U"V" + UV™) U V d x d y ,
	<G)
	/2=		j j [6w	+	W )	U V d x d y ,
			(G)
/3 =		j j	(k2X " Y	+	k t X Y " ) U V d x d y ,
		(G)
/4 = J f { X " Y X Y " — X 'V '2) U V d x d y ,
	(G)
	/6 =	j j	(kJJ"V +		kJJV") X Y d x d y ,
		(G)
	/ ,	=			W ')+	XYdxdy,
		(G)
/, =	J J (XIVF + 2 X " Y " +					ХУ1у) X Y d x d y ,	(5,2,8)
	(G)

18 = j j (U V " X " Y + f/'VXy" — 2 U ’V ' X ' Y ' ) X Y d x d y ,

(G)

19 = J j (ГХ"У + 0"ХУ") X Y d x d y ,

(G)

	I W =	JJ<7(*, y) X Y d x d y .
		(G)
■Вычисляя эти	интегралы	для того	или	иного		вида закрепления
кромок и заданных нагрузок		и внося их затем			в уравнения		(5,2,6) и
(5,2,7), мы получим решение поставленной задачи. Определяя							из (5,2,6)
величину
	А	Ef!3 + E f 4 4					(5,2,9)
	А	= -					(5,2,9)
		/1 - / 2
и внося ее в уравнение (5,2,7), получим
/ю =	D f l , - Шф) + Е^ 1Х		(/, -	1Ъ-	//, +	//„).	(5,2,10)
		‘1 — h

Равенство (5,2,10) даег искомую связь между нагрузкой и проги бом в центре оболочки. В дальнейшем будем называть равенство (5,2,10) общим решением в первом приближении нелинейной задачи

изгиба пологих оболочек при любых условиях закрепления их кромок на кусочно-гладком контуре и при любых нагрузках, заданных на ее кромках и действующих нормально к срединной поверхности.

Для случая плоской пластины уравнение (5,2,10) примет вид

	110 D //7 - /4 ( / . - / „ )		■ E h f ,	(5,2,11)
г’ г т Т Т Т П /	h -	I t	для	сжато
	которое дает решение
	изогнутых пластин	конечной		.жест
	кости.

Приведем

решение задачи

9(*,У)

случае

шарнирного

закрепления

кромок

панели

оболочки,

имеющей

плане

форму

четырехугольника.

Пусть

оболочка

подвергнута дейст

вию произвольной

поперечной

на

грузки q ( x , у )

приложенных

кромкам

напряжений,

распределен

п т ш з

ных вдоль последних по линейному

1(х,У)

закону (рис. 5.8): Решение должно

удовлетворять

следующим

гранич

Рис. 5.8.

ным условиям:

d2w

при

X = о

, х

а;

—— = 0

дх2

w =

d*w

= 0

при

у =

у--= Ь;

-----

ду2

<32ср

) .

°2 =

ду2

г(У) =

г0^1 — Г] т

To=

*<P • =

при

х =

а;

дх ду

д2ф

р(*) =

Ро^1 - - г - т

° s = - дх2

(5,2,12)

т° =

а2ф- =

при

У =

0, у

где

дхду

1 = 1 — - ^ ,

Т| = 1 — ^

P i

ГХ

При этом рассматривается оболочка с гауссовой кривизной Г= &1&2, положительной, отрицательной или равной нулю.

В качестве аппроксимирующих выберем фундаментальные балоч ные функции

[/(* )=	sin —	,	V (у) =	sin - У -	,
	а			Ь
X ( x ) =	s i n —	,	Y ( y ) =	sin - ^ - ,	(5,2,13)

соответствующие основному тону	колебаний	шарнирно закрепленное
своими концами балки.
Таким образом, решения (5,2,3) и (5,2,4) запишутся так:
	/	Л (у) J ,
Ф = A [sin - ^ s in	- 0 (*) -	Л (у) J ,	(5,2,14)
w — f sin ——sin — .			(5,2,15)

аb

Здесь

=	V - t O -	l f ) -	(5.2,16)
Вычисления С. П. Тимошенко [7], показали, что		в пластине .напряже

ния от сжатия преобладают над напряжением от изгиба, т. е. если ко эффициенты g и г] 'не превышают величины 2/з, то выражение (5,2,15) достаточно точно отражает изогнутую поверхность пластины. Поэтому будем строить наше решение применительно к значениям g ^ 2/3, r j ^ /з. Для g и т), превышающих эти значения, следует взять большее число членов аппроксимирующего ряда.

Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что при выборе


функций ср и w\ в формулах				(5,2,14) и	(5,2,15)		все	граничные условия
(5,2,12)	выполняются точно,			кроме значения			касательных усилий, дей
ствующих на кромках, которое обращается в нуль в «среднем», т. е.
	тср ---- L f Jf2 _ i r			= -----—	cos-^- fcos— d* = 0				(5,2,17)
	cp	a J дхду		a2b-		b	J	a	v	'
на кромках y =		0, y = b . To же будем			иметь		на кромках х=0		и х =	а.
Следовательно,		в задаче	предполагается			наличие		касательных	усилий
на кромках оболочки, что			имеет практический				смысл.
Схема загружения кромок усилиями т, р { х ) , ' г ( у ) и q ( x , y ) представ
лена на	рис. 5.8.				(5,2,13)		и	внося их в подынте
Определяя производные функции

гральные выражения (5,2,8), после интегрирования и вычислений полу чим следующие значения интегралов /*:

/ б = - 4 - ( Х		—	+ fti - r	) ’	(5 -2 ’18>
4	\	a	b y

/ , = № ро а - ° - 5& )+ V o (1 - о ,5 л )],

8	я 2
3	аЬ

/ « = - 5 - [ т г" (1- ° ' 5 ,,)+ т л < 1 - 0’5Е>]

b 'а

/ 10 = ^ I*q ( x , у) s i n s i n - ^ - d x d y .

о о

Внеся полученные значения / г- в (5,2,9), получим

л _ З Е П Ь * + Ь Р ) — МЕР

(5,2,19)

/	Ь	а V	т	)
З я 2 (	т	*	т	)

Общее решение (5,2,10) после подстановки туда значений из (5,2,18) и производства вычислений примет вид

М ( 1 - 0 , 5 |) + х хг-(1 -0 ,5 ц )] + К (1 -0 ,5 ri)+ pj(l -0 ,5 6 )]; =

л2

/ Л,

1 V у

(*i +

хг)2

у-

16 (хх -f х2)

у.2

= “12(1 — V*) V

T V

~ 7

Г у " 5

Я2( у 4

- - )

" a ( Y ^ T

(5,2,20)

* Здесь введены

безразмерные

параметры: ^

~ ^ ^ r ^ i o —

пара

метр любой

поперечной нагрузки.

В частном случае равномерно распределенной нагрузки

£ =

T T Y V

q * =

, причем

ро =

E h*

Eh?

г*0 =

---- параметры

сжимающих

усилий,

хх =

;

k2b2

Eh2

«.

прогиб;

Щ = — ------ параметры кривизны;

Q =

------- относительный

У= —---- отношение сторон контура, близкое к единице.

В этих обозначениях выражение (5,2,19) запишется так:

л . =	+	(5,2,21)
		(5,2,21)

~	(	г	+	т	У	'
где
д	- =	4
		h2

Формула (5,2,20) дает искомую зависимость между Поперечной на грузкой q ( x , y ) , сжимающими напряжениями и прогибом в центре обо лочки, закрепленной на прямоугольном контуре.

В случае прямоугольной плоской пластины общее решение (5,2,11) после внесения туда значений /, из (5,2,18) примет вид

Ч'Й +

К (1 -

0,5л) + Ро (1 - 0-5ЭДI

—-------( у

+ —

£ +

512

I 3.

(5,2,22)

12(11 -v 2)

v r

)

9л2« У

Значение параметра Л* для пластины

А . =

__________1б££2

(5,2,23)

Зя2 (т+тГ

Теперь исследуем устойчивость панели цилинд

рической оболочки. Пусть

на

кромке

оболочки,

имеющей форму цилиндрической панели,

действу

ют только

сжимающие

напряжения

г { у ) —

==г0^1 —

’ напРавленные

вдоль образующей

(рис. 5.9). В этом

случае

Ч„ ~

Ро = И1 =

Формулы (5,2,21)

и (5,2,20)

перейдут в такие:

А,

16Щ;2

«(^т)

t i d - o w

( v + J - ) 4 +

> —

n * ( y * — )

16x2

512

(5,2,24)

n* (y + ~ v ) 2

9 jl2 ( Y + _ 7 )

Считая £=£0, т. е. рассматривая панель после потери устойчивости,

получим

( V +

Y ) ‘

512

12(1 — v2)

1 — 0,5TI

„ „ Л . ,

1 V

1 — 0,5т]

9я2(’+т)

1бХо

С.

(5,2,25)

1 — 0,5г]

* ( у + ~ т )

В случае квадратной панели (у=1), сжатой равномерно распреде

ленной нагрузкой

(г) = 0),из

формулы (5,2,25)

получим

_128

^2 +

4хо

(5,2,26)

го

3(1 — v2) '

9я2‘

4л2

с.

Эта формула мало отличается от результата А. С. Вольмира [1]:

Г2 _1_

Юхо . Г

(Ь 9 26')

который получен	в предположении	свободного	скольжения контурных
•точек оболочки 'вдоль контура.		формула	(5,2,26) дает несколько
В интервале	прогибов

меньшую нагрузку для достижения одного и того же прогиба, чем фор

мула (5,2,26').					(5,2,26)	и	(5,2,26'). Полагая
На рис. 5.10 нанесены графики кривых					(5,2,26)	и	(5,2,26'). Полагая
в (5,2,25) £=0, получим значение критического напряжения:
гы =	— J f _____( ч +	J - Y — !---------1-				у		, '(5,2,27)
гы =	12(1— va) V	у	J 1 — 0,5т]		1	у	1 — 0,5Т]
				„	• ( v + i )
что при т)= 0 в точности совпадает				с известной формулой				С. FL Тимо
шенко.
Величину гь называют			верхним критическим			напряжением. Для
определения нижнего критического .напряжения из уравнения
drQ	1024		1	^ ________ 16х2			1	= Q
dt	9я 2 ( ~ т )	,2	1 — 0,5»!		2		1 — 0,5т1
находим	9я 2 ( ~ т )			я2 Y + т)
находим	параметр относительного прогиба
			г	»'				(5,2,28)
				64

соответствующий минимальному значению сжимающей нагрузки. Внося (5,2,28) в (5,2,25), получим параметр нижнего критического напря жения:

♦	л2	/	,	1	у	1			1	. (5,2,29)
Гн~	12(1 — v2)	\	У +	у	)	1 — 0, 5т]		1 у	' 1 — 0,51]	. (5,2,29)
Гн~	12(1 — v2)	\	У +	у	)	1 — 0, 5т]	8„ 2 ( Y +	1 у	' 1 — 0,51]
							8„ 2 ( Y +	- L ) '
Для квадратной панели эта формула при т]= 0 дает
				( Л		= _ Д ! _________ !± _		3 2 я 2		(5,2,30)
				^ " ; к з		3 ( 1 — v 2)		3 2 я 2

что несколько меньше результата А. С. Вольмира:

/-*ч _		я2	/	200	0,25	Л ..2
V H / K B	0 , ,	о ч	V	O f t	о	) ^ 2 -
	3(1 — v2)		v	9я°	я 2	J

Допускаемые напряжения следует выбирать так, чтобы запас точ ности был обеспечен по отношению к нижнему критическому напряже нию. Притаком выборе критических напряжений устраняется возмож

ность появления -в процессе эксплуатации тонкостенной конструкции хлопков панели.

В формуле (5,2,25) положительный знак параметра прогиба соот ветствует прогибу в сторону центра кривизны, отрицательный— от цент ра кривизны. Из уравнения (5,2,26) видно, что при потере устойчивости прогиб оболочки должен быть направлен к центру кривизны, так как увеличение стрелы прогиба в противоположную -сторону связано с бы стрым возрастанием сжимающей нагрузки. На рис. 5.10 нанесены гра фики г*(£). Формулы (5,2,26) для у= 0,4; 1,0 и 1,5 применительно к ци линдрическим панелям с параметром кривизны >с2= 12 и для плоских пластин с тем же отношением сторон при т)= 2/3.

Из рассмотрения графиков видно, что у пластин после потери устой чивости возрастание прогиба связано с увеличением нагрузки.

У оболочек мы имеем картину несколько сложнее. Малейшее уве личение верхнего критического напряжения (при £=0) связано с весьма быстрым увеличением прогиба, который сопровождается после потери устойчивости уменьшением приложенной внешней нагрузки. Прогиб скачком приобретает значение £i=^0, которому соответствует нагрузка,

равная по величине значению r l . Кривизна оболочки при этом изменит знак. Таким образом, мы имеем здесь явление хлопка. Так, оболочка с параметром кривизны хг=12; у = г/ 2 и т] = 2/з после достижения верхнего

критического напряжения г ъ =6,364 + 4,662=11,03 теряет устойчивость, и прогиб скачком приобретает значе ние £=3,68, соответствующее точке С кривой. Дальнейшее возрастание про гиба связано с увеличением нагрузки. В промежутке 0 ^ £ ^ 3 ,6 8 существует точка £о=9/б4, И2= 1,692, которой соот ветствует минимальная «нагрузка»

Гн=4,91 (точка F кривой). Отклоне

ние прогиба в ту или другую сторону от значения £о связано с увеличе нием сжимающей нагрузки. Область, ограниченную горизонталями В С и G F , называют областью неустойчивости оболочки. Ее верхняя и ниж няя границы соответствуют верхнему и нижнему критическим напря жениям.

Отметим, что в случае пластины		(хг = 0)	критическое напряжение,
получаемое из (5,2,25)	(при£ = 0)
v пл)кр	12 (1 — va)	V /	1 — 0,5x1*

в точности совпадаете известной формулой С. П. Тимошенко. Рассмотрим оболочку любой гауссовой кривизны под действием

произвольной поперечной 'нагрузки. Будем считать, что к кромкам обо лочки не приложено внешних усилии. Тогда, полагая Ро + го=0, из формулы (5,2,20) получим

<7л = " ’ О ’ + т )	£ '+	(i + а)а
12(1 — V2)
16 (! -Ь г)		512	(5,2,31)
С2 +		сз.	(5,2,31)

*’ (v + -L )‘

9,'(v + i ) ‘

Это соотношение дает	зависимость между любой поперечной на
грузкой q { x , y ) и прогибом	в центре оболочки, опирающейся на

жесткий прямоугольный в плане контур (рис. 5.11)^

В частном случае равномерно распределенной нагрузки q = const

/ 10 =

q sin

sin ^ - d x d y =

q ,

(5,2,32)

JT*

и формула (5,2,31)

после умножения обеих частей на

- примет вид

_* _

(

У3 }

* г

яа(хх^х2)2

^ _

192(1 — v*)

16(1 +

у*)»

я3 (xi -ф- Хц)

„

,___ 32л?----- j-з

(5,2:33)

(1 — у»)а

9(1 — у2)3

Для линейной

нагрузки д ( х , у )

- ^ - х ;

/ц =

2а6—?о> и

решение

(5,2,31)

в этом случае

будет

<7о =

•С-

я3 (Xi - f Xjj)»

2я3 (Xi + х г)

64л3

96 (1 — V4)

s a ^ y 3)3

(1 + У3)3

£2

9(1

-ф-у3)3 £3 .

(5,2,34)

Формулы (5,2,31), (5,2,33), (5,2,34) справедливы для оболочек лю бой гауссовой кривизны T = k i k 2.

1. Оболочка нулевой гауссовой кривизны (цилиндрическая панель)

Пусть на такую оболочку действует равномерно распределенная по ее выпуклой поверхности поперечная нагрузка q. Полагая в формуле (5,2,33) * 1= 0, получим решение для этого случая:

я» (l + -

•2v 2

■2v2

Я* =

у3 )

л?х:

я^х;

■с2 +

32л4

£3.

(5,2,35)

С +

16(1 -ф- -у4)4 “

(1 •у4)4

9(1 -ф- у4)4

192 (1 — v4)4 “

Для квадратной панели (у=1) эта

формула

примет вид

<7кв —

"4ч |

(5,2,36)

48 (1 — V4)

£ - •

■£* +

- — С*.

Найдем

границы

области

устойчивости в этом

случае. Из уравнения

r f f l + J - V

■fo

— _ ^

У2 /

я4х2_________ 2 п Ч \

32я4

Г2

dt,

192(1— v4)

16 (1 -ф- у4)4

(1^ -у4)3

3(1 -ф- у4)3

’

полученного дифференцированием (5,2,35), определим значение относи

тельных прогибов £о и £i, соответствующих экстремуму параметра на грузки q*. Решая уравнение, получим

Если подкоренное выражение в (5,2,37) обращается в нуль, то значения £о и £i совпадают. Следовательно, оболочки с параметром кривизны

х , =_	" ’	( т + т У	(5.2.38)
V	&(1 — V2)
имеют только один параметр прогиба
1 ~	32	* 2’	(5.2.39)

соответствующий экстремуму нагрузки. Нетрудно убедиться, что в точ

ке £i кривая q* (£) имеет точку		перегиба.		(5,2,37) в (5,2,35),		получим
	Внося поочередно значения £0 и		из
значения экстремальных параметров нагрузки q'Q и q \					которые для
£ =	3
	---- х, совпадают.
	32	графики		зависимостей	<7*(£)	в случае
	На рис. 5.12 представлены

квадратной панели (формула 5,2,36) для некоторых значений парамет

ров кривизны

(х 2 = 0;

■ —; 12).

В табл. 5.1 приведены зна-

чения

6(1 — v2)

параметров

нагрузки

q *

для

значений относительных прогибов

0 ^ < 4 .

2. Оболочки положительной гауссовой кривизны

Рассмотрим поведение сферической

оболочки

(&i = &2), находящей

ся под действием равномерно распределенной нагрузки q

и опирающей

ся

на

прямоугольный

плане

контур. Для

сферической оболочки

( k i =

k ^ = k )

имеем

Х2=у2Хь

что вытекает

из

того,

что х, =

kcfi

х2 =

—-—. Внося это в

(5,2,33), получим

решение

q* —

Я2*,

тг2у

32п2

(5,2,40)

•S + -T T i- ^ +

1-C 2 +

у2)2

192(1 — v2)

1 +

у2

9 (1

Значения параметров £, соответствующих экстремальным значениям

параметра нагрузки q *, определим из уравнения

—7—= 0. Получим

1 V

за

0 ±

Л ±

3x1(1 +

у2)2

2 (1 — v2)

(5,2,41)

ьи’

причем для

оболочек с параметром

кривизны

/ б ( 1 — V2)

(5,2,42)

точки £о и £1 совпадают. Такие оболочки

имеют только

одно

экстре-

мальное значение

параметра

нагрузки

q *,

соответствующее параметру

прогиба

^ _ Зхх (1 + у2)

Кривизна х		1	с	0*1		j
цилиндр, панель	\|	сфсрнч. панель	\|	0*1	0.2	j	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
цилиндр, панель	\|	сфсрнч. панель	1
			1
0		0	'	2,210	4,472		6,840	9,365	12,102	15,101	18,416
12		6	'	4,134	7,729		10,837 ,	13,511	15,803-	17,766	19,452
4л3		2л2		6,195	11,608		16,293	20,303	23,689	36,507	28,801
У 6(1 — V2)		/6 (1 - V2)		6,195	11,608		16,293	20,303	23,689	36,507	28,801
У 6(1 — V2)		/6 (1 - V2)		10,500	19,829		28,158	35,431	41,710	46,078	51,578
24		12		10,500	19,829		28,158	35,431	41,710	46,078	51,578
				0,8	0,9		1,0	1.2	1,3	1,5	1,6
				22,100	26,204		30,783	41,571	54,887	62,723	71,150
				20,915	22,207		23,381	25,582	27,943	29,314	30,882
				30,633	32,052		33,111	34,359	34,800	34,849	34,852
				55,261	58,182		60,392	62,889	63,177	62,723	61,675
				1,7	2,0		2,2	2,4	2,5	2,6	2,8
				90,782	114,20		141,84	174,10	192,10	211,42	254,21
»		»		34,821	40,181		47,384	56,850	62,564	69,001	84,257
»		»		34,938	35,478		36,895	39,608	41,583	44,039	50,609
				58,804	54,986		50,641	46,191	44,058	42,057	38,660
					1

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 7051 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб24Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб17Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб21Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб6Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб10Оборудование для добычи нефти и газа..pdf
#
19.11.202335.36 Mб139Оборудование для дуговой электрической сварки. Источники питания дуги.pdf
#
12.11.202312.57 Mб0Оборудование для подготовки материалов..pdf