Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4672 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
71.66 Mб
Скачать
☆

Xi — некоторые возмущения соответственно осям,

а р

hз

Да;— член,

 

•

ввиду учета силы

♦

wtX=

dw

•

dw

возникший

инерции вращения,

---- , w = -----.

Сначала рассмотрим задачу

 

 

дх

когда

dt

осесимметричного колебания,

а = 0,

и = и(х, t),

w = w(x, t). Выражая уравнения движения через одно пере­

мещение (см. общий случай колебания) для различных предположений:

 

1)

и ф О, 1&)ф0 ,

2) и = 0,

хюф0,

3)

и ф 0,

ш = 0,

 

получим соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

diwd*w

, ,

NN

d2w

 

d^D

 

дх* \l

'

’

daда2 )J ‘

дт2 \Г

12Да

dal1

 

k

da2

da2

—

 

 

 

 

 

d*w

, d2

f

N d

+

( 1 -

d2w ^

— 0; (5,5,42)

 

l

\2R212/

da«

 

 

 

у2)2

da2 )

d2w

h2

dx2 \ da2

12R2

h2 d*u \2R2 da*

dx2 \

при

0,

 

+

h2

 

 

 

62

Г N

d2w '

da* }

12£a

За»

'

1

da2 d) +

 

да2

'К k

+ (1 - Y 2)

d2wda2

=

0,

 

 

 

(5,5,43)

 

 

 

 

 

 

 

 

Л д*и

' =

 

 

 

 

- )

+

(* — У2 da2

h2

 

d*u.

 

Nг

д2и

 

 

(5,5,44)

\2R2

 

da*

+

k

da2

+ “ )h

 

 

 

 

 

 

f

i

 

, * == aR.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В каждом из этих случаев определим для примера частоты собственных колебаний при шарнирном закреплении кромок, выбирая перемещения в виде

w = ^ A m(т) sin Ха; и = ^ Вт(т) cos Ха, где X = т -у -.

А т и Вт берем в виде

 

 

 

 

. . .

. \ sin cot

D . .

D f

sin (от

Am (t) =

A ,

; B m (t) =

B 0

COSCOT

 

( COSCOT

 

l

где Ao и Bo — постоянные, а со — безразмерная круговая частота. Тогда из (5,5,42) — (5,5,44) получим при N = const:

* 0 ( 3 , 4 ) 1 , 2

А,аф

+

v*)])7-; (5,5,45)

Г 1 + { ( ^ ) * -

2

 

 

“ {A - v •*+(1 _ Г)}:

где С0(з,4)1 — собственная частота продольных колебаний с учетом попе­ речных сил инерции; о)(з,4)2 — собственная частота поперечных колебаний с учетом продольных сил инерции; о)(з,5) — собственная частота попереч­ ных колебаний без учета продольных сил инерции; о)(з,б) — собственная частота продольных колебаний без учета поперечных сил инерции. Выше предполагалось, что силой инерции вращения можно пренебречь, если

,г. Известно, что

—

— . Это дает возможность в (5,5,42)

m < ■ ( ■ £ )

k

R

пренебречь N X2 по сравнению

с К2. В выражениях (5,5,45), (5,5,46)

N_ оставляем, так как при

X'

предварительное сжатие и

k

 

 

растяжение может оказать существенное влияние на частоту собствен­

ных колебаний.

 

 

 

 

 

 

 

&R2

Выражение со2(з,5)

имеет

экстремумы

при

А = 0 и

^2 =

4

h2

соответственно:

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

С0<3,5)тШ = (1 -

У2).

®(3,5)2min

= (1 -

У*) [

1 ~ ( - ^

) “ ] .

 

(5 -5,47)

Нагрузку

изменяет

наименьшую

частоту в сторону

уменьшения.

Из (5,5,47)

видно, что влияние предварительного натяжения становится

значительным при

а при

 

 

ее влиянием можно

пренебречь.

Продольные силы инерции влияют на частоты поперечных, колеба­ ний в сторону уменьшения и становятся значительными при увеличении

длины. Например, при /=120 см, /тг= 1

(т. е. для наименьшей частоты)

(0(3,5) • (0(з,4)2 = 3,7666.

Если

допустимо определить квадрат частоты

с ошибкой до 6%, то формулу

(5,5,46)

можно применять при т = 1 до

/ = 2Я, при т = 2 до l = 4R и т. д. При совместном учете продольной и поперечной сил инерции собственная частота поперечных колебаний может быть меньше 1—у2. Поперечные силы инерции влияют на частоты продольных колебаний в сторону увеличения.

Итак, при решении задач осесимметрического колебания не всегда можно пренебрегать влиянием продольных сил инерции на поперечные колебания и наоборот.

Вернемся

к общему уравнению

(5,5,41). Введем

вспомогательные

функции

 

 

 

 

 

 

У

- ^ + - 4 = <2 ^ ’ 5’ ^

OS

ox

=

(5,5,48)

 

OX

Os

 

 

Умножим первое из (5,5,41) на у, продифференцируем по х, затем вто­ рое по s и результат сложим. Получим

Q _|_ * — У

д2/

,

 

у2

d2w

, _1_

дНю

2

‘ dxds

+

~R~ '

дх2

"И ~R

ds2

_

p/i

д2

Q

eh

_ d

 

~~ ~k~ “ ~dt? ^

V ' dt
1 — Y ft

Далее, дифференцируя первое из (5,5,41) по 5, а второе по t и вычитая из первого второе, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

<Pw

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L (

) =

v

(

)

 

 

2рЛ

 

•-£ г (

) +

2eh.

 

 

 

 

(

).

(5,5,50)

 

А(1 — Y)

А(1—Y) ^

 

 

 

 

 

 

 

dta v

7

‘

 

 

 

 

Применяя оператор (5,5,50) к выражению

(5,5,49), получим

 

 

 

L,

(Q) =

------32------( ™

_________ g g ft_

_ _а%

 

 

2eft

' J w

| _

 

 

 

 

R

dx2 V

 

 

 

k{\ — y)

 

dt2

k ( \ —■y)

 

dt

)

 

 

_1_

d2

yw-

 

 

 

2ph

 

 

+

2eh

 

 

dw

|

 

 

 

 

R

ds2

 

k ( l — y)

dt2

k{\

—

Y

~ д Г )~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — Y2

д4ш

 

 

 

 

 

 

 

 

(5,5,51)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

dx2ds21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где L\ — новый оператор:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г , \

 

/

\

 

3 — v

 

рft

d2 '■ ,

 

ч .

3 — V

 

 

eft

 

д

,

ч ,

М

) = V V (

) —

— I

k

- - T - - ^ r V (

) + т — Г - “ Г ' ^ Г v ( ) +

 

 

 

 

 

1— v

 

 

dt2

 

 

 

1 — Y

 

 

*

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

•У

 

 

 

 

 

 

 

psh2

 

 

d3

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) —

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k2

 

 

dt3 (

) +

 

 

 

 

1 — Y \

b

)

dt*

K

J

1 - Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ( J * . Y _ L .

' < ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

k

 

J

1 — у

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя его к третьему из (5,5,4) при Х\=Х2= 0, получим

 

 

 

 

 

VVVV^ + \

 

ууф + (1 — Y2)

 

— Y

VV*3} +

 

 

. e h

 

д

(

 

 

 

t

 

h2

3 — Y

 

 

,

1

 

■

3 — Y ^ i

 

+

~k

dT {

vv“’ +

“12" ■ T I 7 VVV“' +

T

 

 

 

v°

+

 

 

+

(3 +

2Y) - L . - ^

 

+ —

. —

 

---- L . i = X

 

+

 

 

 

v

 

 

R2

 

 

ds2

 

 

R2

ds2

 

k

1 — Y

 

/

 

 

+

p/i

d2

(

 

 

 

2(2 — Y)

h2

v v v

 

 

1

 

3 — Y

пл

 

 

T "

dt2

l VV

 

 

(1 — Y)

 

12

 

k

 

1 — Y

 

 

 

 

 

 

 

 

cPw

 

0

—y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 Y ) ^

+ - ‘- . - ^ V з +

 

 

 

 

 

J _ . * ^ l _ ( 3

 

 

 

 

 

 

д 3

 

as3

 

 

v

~

x

dxa

~

k

1 — Y

V

 

 

 

 

 

,

_ /

eft

\2

1

 

 

2

 

 

. /

 

eft

V

1

 

 

2

 

.

 

 

+ D ( —

)

-^ ■ (iZ V ,v v » + ( —

) ^ г - - г ^ ф +

 

1

2

e2h

tlU■

 

3 — Y

e*h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — Y

kp

 

 

 

1 —Y

ftp

 

 

 

 

 

 

 

-Y

 

pft

 

 

 

 

eh

 

d3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 — Y

ha

 

 

 

k

k

 

d/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

— Ф ------- -— ( 2

+

^ ^ - ' ) w \ +

 

 

 

 

 

 

 

—-—

 

 

 

 

Ra (1— V)V

pft / i

+ ( j L y J L { J ^ . t z l . VyW+ ^

 

±

Ф +

 

k )

д(*{ 12

1 - Y

VV

1 - Y

Ь

(5,5,52)

 

 

 

 

 

 

 

 

+

____?------Л + з - ^ Л д а —

1 — Y

k

 

 

R2 (l — y) \

pk

)

 

b v f i + 2 —

 

+

*

/

 

.|L .x

1—YV

12рЛ (3— Y)/

J l

& л*

f

6

.

4ft2

„,1 .

/

Pft

V

a8

X

 

 

12 (1 — Y)

 

 

 

 

ai8

 

 

 

 

 

 

 

 

Г 2

A*

2

I

n

0 .

 

 

X ■!-------- да-----------•

---------- уда ( =

 

 

\

1— Y

12

1—Y

J

 

 

 

Уравнение (5,5,52) в безразмерных координатах при е= 0 имеет

вид

а8 Г

ft*

Y . д* f 3 — Y f h?

- — — у да — аЛ +

 

 

121?»

3 — Y

J

 

 

 

 

2 —Y

ft*

•v v v ^

+ 5 + 1

Ф-) + V

1' | r

(vv® -

2 f r Y ’

121?»

3 — Y у ф —

J 5 L _ (3 + 2Y) ^ -

1 —Ys = 0 ,

1 — Y

ap*

v

aa* } +

 

 

где

 

%= aR, s =

 

 

 

 

7i2

P R ,

 

 

s =

 

 

 

 

 

12R1 VW V«>+-J-VV«‘ + (1-V*> л .

 

—

(5,5,53)

(5,5,54)

V( ) - - * < ■ ) + * . u _ .

v v '

aa*

ар*

Подчеркнутые члены выражают влияние касательных сил инерции вра­ щения. Тангенциальные силы инерции свое влияние на поперечные ко­ лебания передают главным образом через члены, содержащие танген-

циальные силы инерции в отдельности;' находим

(5,5,53) при

----- --- 0 и

Э*о

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д(1

—— = U соответственно:

 

 

 

 

 

 

 

dt2

д*

1а*а0

.

1— 'у

<Ра0 )

,

1 —Y

а2

Г

 

 

 

 

дт* j да?

^

2

9 \

+

2

 

ах»

1 v v |г^

 

 

3— Y

^ Ь?

 

а*ш

О ь?

 

а2ш

]

2

а2

ф «

 

1—Y

121?*

 

аа2 —

121?*

 

ар*

J

1— Y да2

k

1

. * - ф * — 2

 

 

а2^

 

а»и»

k

(1 + у) ■

 

аа2

 

ар»

си

оР

 

аа2

д*

f 1 — Y

а*ас'1

|

! — Y

дт*

 

 

ьэ

 

 

 

 

 

 

1

2

да?

^

ар*

}

+

2

3 - -у

ft*

 

 

d2wЛ

-

1

 

д*Ф*

1 -

- Y

 

1 ’

 

 

 

k

 

аа2

 

’ 121?*

 

 

 

 

d2w"|

 

1

——у = =0, (5,5,55)

ар* Jк

 

2

 

а* г

 

 

А»

а*ш

дт? \ VV V

 

61?»

аа2

2

1

 

а»Ф*

d2w

1— Y

k

 

ар»

да? • } +

 

+ * — Y s = 0,

 

 

(5,5,56)

Q>- = N - ^ - + 2 T - ^ r + pR

а*ш

а„ =

ft*

Ада— до.

аа*

ааар

ар*

 

121?*

 

Оценим члены, содержащие силы инерции вращения, предполагая, что в течение времени изменяется только амплитуда, а число волн в попе­

речном

и продольном направлениях не меняется. Пусть г2

= /г2 +

-f-пг2'—^ - ,

где п — число поперечных волн, m — число продольных

волн.

При средних длинах г—(/п2 + п2)'/». Влияние сил инерции вращения по­ рядка h/R, если г— {Rlh.yi*\ порядка (h/R)'1г , если г—(R/h) I*, и поряд­ ка 1, если r~-R/h.

Рассмотрим случай, когда (/?//i)1/s Тогда силами инерции вра­ щения можно пренебречь. Так как мы пользуемся уравнением движения, где пренебрегли сдвигом по сравнению с единицей, то пренебрежение ве­ личинами порядка сил инерции вращения уже сделано.

Для нетонких оболочек влияние сил инерции вращения может быть значительным.

Итак, пренебрегая влиянием сил инерции вращения в уравнении (5,5,53), получим

х {

- - b y • Т ?ф ‘ — lijjr - <3 + 2*> 1 г } + Ч 1 * ~ °- (5'5'57)

Уравнение такого типа при Ф* = 0 получено В. Флюгге [8]. Уравнение (5,5,56) автоматически включает в себя уравнение статической устой­ чивости [2]

 

s =

0.

(5,5,58)

Пренебрегая тангенциальными силами инерции, получим

 

^ - v v ay +

e* ^ - .v v “’ + s — -^VV*3 = 0,

(5,5,59)

дт2

дт

R

 

где

Рассмотрим собственные колебания цилиндра средней длины при шар­ нирном закреплении концов. Прогиб выбираем в виде

 

w =

g

fn,m (t) sin l ma • sin p„.

(5,5,60)

 

 

m,

n

 

Выбирая /„ n =

An m I Sin С0,"пТ и подставляя выражение (5,5,60) в (5,5,57),

 

( COS CQnmT

 

находим при Ф* = 0:

 

 

 

 

©L — <P4®L + ф2®тп — Фо= 0,

(5,5,61)

где м2тп — безразмерная

круговая частота:

 

Ч>4 =

Н - ^ г

2,

.[(г*+я*(3 +

2у)Х*],

Определяя

из уравнения (5,5,61), находим

 

 

Q"m =

' Р(1 — ■f) (0'"'ь

(5,5,63)

Обозначив

й 2тпп = 2, д л я определения z получим уравнение третьей сте­

пени:

 

 

 

 

z3— cp4z2 +

<p2z — Фо = 0.

(5,5,64)

Сначала рассмотрим поперечные колебания без учета тангенциальных

сил инерции. Из

(5,5,59) при е= 0 и Xi = 0 получим

 

 

 

 

=

т £ г

^

+

(1 -

Y2)

 

(5,5,65)

Экстремальные значения со2

находятся

из условий: a) m = 1, а п из

условия б)

h*

 

г8 = (1—v2)Xm.

Условие б)

обозначает, что при не­

 

12R*

 

 

 

 

 

 

 

 

энергии

которой частоте колебания энергия изгиба должна равняться

растяжения

срединной поверхности.

Учитывая

б), выражение

(5,5,65)

перепишем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

_

/ 1 - у ^

rfRh.

 

 

 

 

 

штл

найм —

[( ^ Т

I*

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(5,5,66)

 

 

 

Й ш „наи

„ -

( - Ц

^ )

/ 2 , (

т )

pR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (5,5,66) очень удобна для практических вычислений. Находим корни (5,5,64). Пусть zi> z2> z 3, где и z2 выражают частоты собствен­ ных тангенциальных колебаний. Заметим, что z, и z3 получили бы доста­

точно точно

из (5,5,55), a z2 и z3 из (5,5,56). Сравнивая z3

и ю2 из

(5,5,65) при

m= 1, R = 20 см, h = 0,1, у = 0,3, убеждаемся, что

влияние

тангенциальных сил инерции быстро убывает с ростом п. При опреде­ лении наименьших собственных частот влиянием тангенциальных сил инерции можно пренебречь. Но они оказывают большое влияние при колебаниях с малым числом поперечных волн. Например, при п=1 тан­ генциальные силы инерции уменьшают.поперечную частоту до 40—45%, при /г=2 до 12—16%, при п = 3 до 6—7%. Казалось бы, что при малых п уравнениями пологих оболочек нельзя пользоваться. Оказывается, для круглого цилиндра средней длины при малых п член нзгибного харак-

тера (А2 + /г2)4------ намного меньше, чем (1—у2)А4. Если учесть 12

перерезывающие усилия в первых двух уравнениях движения и измене­

ния кривизн за счет тангенциальных перемещений, то получили бы до- ^2

полнительное выражение одного порядка или меньше, чем (А,2+ п 2)4---- -, 1

но, конечно, намного меньше, чем член (1—у2)А*4 (при малых п). Задачи о влиянии предварительного нагружения на частоты собст­

венных колебаний не представляют особых трудностей. Например, легко найти такое JV, чтобы цилиндрическая оболочка имела требуемые часто­ ты собственных колебаний.

Предположим теперь, что замкнутая круговая цилиндрическая обо­ лочка подвергается действию быстро возрастающего во времени всесто-

роннего сжатия 1. Пусть торцы оболочки шарнирно скреплены с круго-. выми шпангоутами. По-прежнему будем считать, что шпангоуты имеют возможность деформироваться в своей плоскости, оставаясь при этом круговыми.

Примем, что внешнее давление q, действующее на оболочку, изме­ няется пропорционально времени t

q= ct.

(5,5,67)

Воспользуемся дифференциальными уравнениями нелинейной тео­ рии гибких оболочек. В уравнение равновесия элемента оболочки вве­ дем дополнительный член, учитывающий силу инерции, отвечающий про­ гибу w. Силы инерции, соответствующие перемещениям в срединной поверхности, учитывать не будем.

Иными словами, здесь не рассматриваются явления распростране­ ния упругих волн в срединной поверхности оболочки.

Предположим также, что форма оболочки не является идеальной и что срединная поверхность ее имеет некоторые сравнимые с толщиной начальные вмятины.

Для нахождения зависимости между параметрами прогиба и изме­ няющейся во времени нагрузкой используем уравнения Лагранжа:

d_

(5,5,68)

dt

 

где Т — кинетическая энергия системы; gj — обобщенная координата; Qj — обобщенная сила. В качестве обобщенных координат выбираем па­ раметры прогиба. Учитывая принятые допущения, дифференциальные уравнения окончательно получают вид:

D

— V2V2jiy =

h

дхду

-y V 2V2(P

. г/

1Л

& (w -ф- w„4)

а2ф

 

д2 (w

dx2

 

ду2

 

 

 

ду2

 

 

1

 

а2ф- +

q

dxdy

 

R

 

дх2

 

+

h

' da (w + шнч)

Г

Jд2 (w +

ш„ч)

дхду

 

 

 

dx2

 

&wm у

d2wH4

d2wH4

h r

дхду )

dx2

 

d f

 

ШНК) Э2(р

дх2

yh. d2w

(5,5,69)

Т " dt2

д2 (W 4- £4)нч)

dy2

d2w

(5,5,70)

dx2 ’

где Y — удельный вес материала оболочки; g — ускорение силы тяжести; t — время.

Выражение для функции начального прогиба по-прежнему примем

в виде

 

 

 

оунч= /нч (sin ах sin Ру + ф sin2 ах + х)

(5,5,71)

и дополнительного прогиба

 

 

W = / (sin ах sin Ру + ф sin2 ах + %),

(5,5,72)

я о

п

 

где о = — , р -

— .

 

Решение задачи принадлежит В. Е. Минееву.

Далее, интегрируя уравнение (5,5,70), находим функцию напряже­ ний в срединной поверхности:

 

 

— ср = rx cos 2ах +

r2 cos 2ру +

r8 sin cu; sin Ру +

 

 

 

Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

r4 sin си: sin Ру----— х2---- — у2.

 

 

(5,5,73)

 

 

 

 

4

 

 

 

2 E h

 

4E h

 

 

 

4

Коэффициенты гь г2, Гз и г4 определяются соответствующими выра­

жениями (5,4,8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определяем полную энергию системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

=

г»! +

Щ— НУ! —w2,

 

 

 

(5,5,74)

которая запишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

= у

C tf (£ +

2 |нч)2 + у

С2 (£ +

2 |нч)2 V -

 

 

- c

3(l + 2 U

К +

- 1

С4| 2 + -у С5£2 -

с Л а

+

2 | нч) -

 

 

-

у

С Л а + 2 U -

у

С7</•

(&+

2£ик) +

±

с Л

(5,5,75)

Коэффициенты С,= 1, ...,

8 определяются согласно (5,4,25). Нахо­

дим производные от энергии системы по параметрам прогиба £ и

 

 

- у

= 2Q1 (| + и

(| +

2 |нб) +

С2 а

+

2ЕНЧ) ¥ -

 

-

2С3а +

Ы |

+ С £ - 2 С £ а +

и

-

у

 

G +

6и0 = 0,

(5,5,76)

 

 

 

- у

=

С. (1 +

2 U

£-

С3Е (6 +

2ЕНЧ) +

 

 

 

 

 

 

 

+

С,£ -

 

(6 + Енч) =

 

0.

 

 

 

(5,5,77)

Кинетическая энергия Т системы равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2л R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г- т П ^ ( т ) ,Л*

 

 

<5« 8>

 

 

 

 

 

 

о о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение дополнительного прогиба

(5,5,72)

представим в безраз­

мерных величинах согласно зависимостям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) =

| sin cu: sin ру -f- £sin2 ах +

А,.

 

 

(5,5,79)

Далее

воспользуемся

условием замкнутости

(5,4,18), выражениями

(5,4,20)

и определим параметр прогиба:

 

 

 

 

 

 

 

Введем выражения

(5,5,80) и (5,5,79) и выпишем производную w по

времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= i sin ал sin ру + gsin2 ал +

Ce| (g +

 

±

g +

±

(2 -

v) q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5,5,81)

Представим (5.5.78)

в безразмерных

величинах,

введя

обозначение

 

 

 

 

 

Т =

nELh3

Т.

 

 

 

 

 

(5,5,82)

Преобразуем

уравнение (5,5,78),

подставляя

в него

выражения

(5,5,81)

и (5,5,82). Интегрируя, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

Т = С9

 

I* + ±

? +

2cl (g +

1НЧГ i* + -1 (2 — v)2y2 +

 

 

 

 

+ 2|J(g + U ( 2 - v ) C e],

 

 

 

 

(5,5,83)

где через C9 обозначено

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c , = A .- ) L . »

 

 

 

 

 

(5,5,84)

 

 

 

 

 

 

2

g

E

 

 

 

 

 

 

Первое уравнение

Лагранжа

получим,

подставляя

в уравнение

(5,5,68) выражения

(5,5,76), (5,5,81) и считая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qj =

дЭ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д1 ’

 

 

 

 

 

 

тогда будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С, [1 +

4С\ (g +

| нч)2]1' +

4СвСб (g + U

i 2 +

2СвС6 (2 -

v) (g + gH4) q +

+

2CXg (g +

gH4) (g +

2gH4) + C2 (g +

2gH,) g2 — 2C3 (g +

| H,) g +

 

+ C4g -

2C6q (g + g j

-

±

C7q (g + . U

=

0.

 

(5,5,85)

Второе уравнение, Лагранжа при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

г. п

 

дЭ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi — ^

^

 

а?

 

 

 

 

 

 

получает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C9g +

C2g (g + 2gH4)2 g-

CM (I +

2gH4) + CM ~ C,q(1 +

gH4) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5,5,86)

Подставим в уравнение (5,5,85) значения коэффициентов

из (5,4,25)

и (5,5,84) и, положив q= 0, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

а=

 

 

-g (g +

2gH4) +

 

 

 

(1 «ф- и2)2

+

16 ( ■ ♦ т )

0 + т )

+

 

"1

£ 4 - 2 |а ч

_J._2 _ _ _ _ _1_ _ _ _ _ _ Г 1

 

I

Г

I 1

(1 + Эо2)2 J

1Ф1н,

 

4(^1+—)

*-

 

0 4^)4

 

 

+

-

т

)

(1

О2)2 Т] +

12(1 —v2)

J

£ 4- £н

■+

 

 

0

[ '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

yfl2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

W

. л

‘

:

^

[4 +

,,!(E

+

W

,1 T

F

U +

- &

+

 

 

<

-

т )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

уКа

' Л

^

Л

2'

 

 

 

 

(5,5,87)

 

 

 

 

 

4gE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 - т )

 

 

 

 

 

 

Далее введем безразмерный параметр времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

ctR*

 

 

 

 

 

 

(5,5,88)

 

 

 

 

 

 

E h %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где через <7ь обозначено выражение

(5,4,31).

 

 

 

Учитывая значение безразмерного параметра времени, преобразуем

выражение

(5,5,87):

 

 

 

 

 

 

? = — {1±~

: —

^Й + 2|нч) +

^

Г

t>4

т

 

 

 

 

“ ( , + т ) Чь

 

 

( l + f ) * 1

 

 

+

—

 

1 £4> 2|нч £2- -------!--------f i + .

»*■

 

Ъ

0 +^ 9 с 2)2

J £ 4- 1нч

 

 

 

 

 

+

Ъ+ h

■+

1

 

 

 

 

х

 

 

4Ч ^т)я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

*4

 

 

 

 

(5,5,89)

 

i!+ U

dp +

 

-з SEW

 

 

 

 

 

 

 

 

Яь

 

 

 

Введем обозначение

где

у — |^/"

-----скорость распространения звука

в материале обо­

лочки.

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое уравнение Лагранжа получает окончательно вид

- В -

+ „.д г (Л.-)*_

s J «

( Г

--------S— ) --------

( | - - >

ч

Щ 6 + 2 |„ ) -

 

U

;

1

(

S + I . J

 

 

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности