Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4672 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
71.66 Mб
Скачать
☆
Рис. 6.3
W00 т°с

При (высоких температурах Т\ второе слагаемое в травой части ('6, '6, *42) становится .незначительным, третье имеет порядок y s при нор­ мальной температуре. Амплитуда (пластических деформаций сдвига три

этом (Практически равна свободной объемной температурной дефор­ мации.

5. О гидравлическом уносе металла с пограничного слоя

Мы не рассматривали природы образования теплового потока Q при тепловом ударе, в зависимости от конкретной задачи может быть различной. Ясно, однако, что при сильном нагреве внутренней поверхно­ сти цилиндра и при наличии потока жидко­ го вещества или газа вдоль оси цилиндра х одной из возможных причин разрушения поверхности может быть гидродинамиче­ ский унос металла, не приходящего еще в жидкое или газообразное состояния. Интен­ сивный унос твердого вещества с поверх­ ности начнется с момента, когда скорост­

ной напор газа или жидкости pv2\2 станет порядка предела текучести os нагретого по­ верхностного слоя металла. Действительно, при этом состояние равновесия поверхност­ ного слоя металла станет неустойчивым, так как случайно возникший за счет пластиче­ ской деформации бугорок металла окажет­ ся под односторонним (в сторону потока

жидкости или газа) воздействием, причем избыточное давление будет порядка скоростного напора pv2/2. Таким образом, основным парамет­ ром, характеризующим гидродинамический унос поверхностного метал­ ла потоком жидкости или газов, будет

г= 2pirаs

иопасные состояния возникнут при Г, близком пли -большем единицы. ‘Пусть 'в цилиндре, зам-кнутом с одной, стороны, поршень движется

под действием газов, причем в .момент tx находится на расстоянии х + 1 от дна и имеет скорость vx: I —длина цилиндра, занятая газами в мо­ мент /= 0 , х = 0 , vx = 0 (плотность газов при этом р).

Рассмотрим сечение £ < х в момент tx. Плотность газа в этот м-омент порядка р///+х, а (скорость в сечении £ псхрядка vx £>/x. Температура по­

верхности согласно ('6, 6, <Ю) будет = kQ^Vtx — tg. Кривую зави­ симости предела текучести as, например стали ОХНТМ 0—65, от темпе­ ратуры (рис. 6.3 ) аппроксимируем параболой, проходящей через точку

плавления:

T n - k Q J t x — t%

Tn - T k

In -

(6,6,44)

 

m

 

T n - T k

 

Tn— Tm

где Тт и Osm— точки «а

кривой

(рис.

6.3)

с низким

сопротивлением,

а.,о — предел

текучести при нормальной

температуре,

Tk —наибольшая

температура,

при которой еще a5=aso, k — числовой

коэффициент (6,

б, 10).

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, параметр уноса равен

 

 

 

 

 

2

 

/

 

 

\ т

 

 

 

? v x

I ?

/

T n - T

k

\

(6,6,45)

 

г

- 2ас.

( 1 4 -* ) * 2

\Т п — kQ0

 

— <£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д:

 

Если vx задана

как функция х, то время ix —

и Цстановится

 

 

 

 

 

 

 

о

х

известным и .можно найти те значения | и х, «при которых Г будет наи­ большим. Существование экстремума можно заметить на примере, ког­ да x — L -скорость vx достигает значения скорости звука и параметр Г принимает значение

 

2

 

kiPk

{ T n - T k ) V 1

(6,6,46)

2сГс|

Tn-kQ 0V t - t ,

 

 

i J

 

где k — показатель политропы, ph — давление при х = L, £=-^-

t — вре-

 

L

 

мя теплового удара (tx при x = L). «Как видим, Г обращается в нуль при

£= 0 и

мала при H=L, t =Е Значение

Г имеет

-максимум <в

точке

dr

 

 

показывают,. что na-

— - = 0 , в интервале 0<£<L . Числовые оценки

^S

уноса при достаточно интенсивном

тепловом импульсе

может

раметр

принимать значения, существенно большие единицы.

§ 7. ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ОБОЛОЧЕК

Задача оптимального .проектирования оболочек может быть сфор­ мулирована, например, следующим образом: задана нагрузка, действу­ ющая на оболочку. На основании выбранного критерия оптимальности требуется определить ее размеры. За критерий оптимальности могут быть приняты: вес, объем, площадь поверхности, стоимость конструк­ ции и др. Обычно за такой критерий принимают вес или объем. Общих уравнений теории оптимального проектирования не существует. Поэтому здесь рассматриваются методы решения задач оптимального проекти­ рования изотропных и монотропных оболочек, дающие представление об этой проблеме, которая в известном смысле обратна по отношению к проблеме определения несущей способности.

1. Изоэпифанные задачи

Решение практических задач по выбору оптимальных форм поверх­ ностей, обеспечивающих заданное (минимальное) соотношение между площадью поверхности и .величиной объема, может быть сведено к так называемой изоэпифанной задаче1, т. е. к задаче о нахождении среди данной совокупности тел, ограниченных поверхностями данной площади, того тела, которое заключает наибольший объем [26].

а) Рассмотрим следующую задачу [24—26]. Внутри замкнутого ци­ линдра радиуса гь ограниченного двумя ортогональными к его оси плос-

1 isos — равный, epiphanei — поверхность (греч.).

костями, найти такую плоскую кривую, которая, вращаясь около оси цилиндра как около своей оси, образует данной величины поверхность S, ограничивающую .наибольший объем V Возможны два -случая.

1) При 4яг 1 в .качестве искомой -поверхности, удовлетворяющей

условию задачи, имеем шаровую -поверхность «с радиусом гх= —

у

— •

2

f

л

2) При S>4jir 1 задача сводится -к изопериметрической теореме Эй­ лера: если кривая у = у(х) дает экстремум интегралу

ь

I = j' F(x, у, y’)dx

при условиях

К = ij G {х, у, у’) dx,

у(й) = а1, y(b) = blt

и если у = у ( х ) не является экстремалью интеграла К, то существует кон­ станта X, такая, что кривая у = у ( х ) есть экстремальинтеграла

L = $H(x,y,y')dx, H = F + №"

Из рис.. 6, 4 можно .видеть, что

 

 

/ = л j y-dx -j- zir\xl = V

(6,7,1)

*1

 

 

 

при условии

 

 

 

К — 2я J y V 1

+ у'2 dx -f 2

лrxx^ = 5,

 

У (*i) =

r i . У (**) =

0.

(6,7,2)

Уравнения (6, 7, 1) и (6, 7, 2) представляют записанные в интег­ ральной форме объем и величину поверхности вращения. Ясно, что до координаты Х\ поверхность имеет форму цилиндра и фактически отыски­ вается уравнение .кривой, расположенной в пределах от точки х\ до х2 и удовлетворяющей условию задачи.

Прежде чем использовать теорему Эйлера, применяем искусствен­ ный прием, о помощью которого свободную часть уравнений (6, 7, 1) и (6, 7, 2) вводим под интеграл, и окончательно приводим к нахождению максимума интеграла

/

=

Ля#,+^

- ] d

x

(6,7л1)

 

 

 

*2

 

 

 

при условии, что

 

 

 

 

 

 

А '2

 

 

 

 

 

 

S = 2я f \ y V l +

у'2 +

dx; у (хх) = гх; у (JC8) =

0. (6,7,20

J L

 

 

— xi J

 

 

 

Задача приводится к нахождению безусловного экстремума

интеграла

 

 

L — X^ H (У. У ) dx,

 

(6,7,3)

где

 

 

*1

 

 

 

 

 

______

 

 

2

 

 

 

 

Н = пу2

 

+

2яку V 1 +

у'2+

2пКГ1 - *1 ,

(6,7,4)

х2 — х1

 

 

 

х2— хх

 

а — постоянный параметр.

Применяя условие Эйлера, необходимо определить семейство экст­ ремалей для интеграла (6, 7, 3). Функция (6, 7, 4) не содержит перемен­ ную х, поэтому применяем следующее уравнение Эйлера:

 

Н — у'Ну = const.

 

 

 

(6,7,5)

Подставляем (6, 7, 1) в

уравнение

(6, 7, 5) и после упрощения имеем

У2 I

(ri + ^i) +

 

 

—

^Т>

(6,7,6)

Х2 — X!

~

/ 1

 

4- (/

 

 

 

 

 

где

Ч = 24

<4 --= С/я,

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У +

 

 

 

 

 

 

(6,7,7)

где

/ 1

+

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В — С1— гх ■

 

(ri

+

Ч )-

 

 

 

 

*2“

*1

 

 

 

 

 

Решаем это уравнение относительно у'

 

 

 

 

 

,а

/ dy у

Чу2— (5 —У2)2.

 

 

(6,7,8)

У

 

 

(В -

i f f

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

х = Р

(В —у2)dy

(6,7,9)

J

V % xy2 - ( B - y

2)2

Если в уравнении (6,7,7) заменить у' на tga, то

у2+

cosa у — В = О,

 

Xi cos (

]/

A,? cos2 a

(6,7,10)

У 1,2 ;

^ - ±

+

но y(x2) = 0, т. e. при a = do имеем y=0, откуда B = 0. Учитывая, что В = 0, интеграл (6, 7,9) запишем .в следующем виде:

х = Г

УЧУ

= Г

ydy

 

J

VVtfy2tin2—- !Ф?

j

VJt f - y 2'

 

Обозначим ,в этом интеграле /.?—y2 = t2, tdt=—ydy;

тогда

Х = 1 ~ 7 > ! Г ? = 1 Л = , + С"

 

 

{х — Сг)2 + у2 = %\ = № .

(6,7,11)

Запишем уравнение (6, 7, 2) и (6, 7, П) в параметрической форме:

ф___________

 

S =

2л j у У х'* +

уу diр + 2 я гл ,

(6,7,2х)

 

 

о

 

 

 

 

 

х — С2 =

2% cos ср,

(6,7,11х)

 

 

у = 2К sin ф.

 

 

 

Подставляя

(6, 7, И 1) в

(6, 7, 21), имеем

 

S

ф

 

 

 

 

= 2я j 4А,2 эШф йф 4- 2лг1л:1 = 8яА,2(1 — cos ф) + 2nr1.v1.

 

о

 

 

 

 

Для нахождения «нужных значений ф,

используем метод Лагранжа [26].

Запишем величину объема V «и.поверхность как функцию ф и

R =

и найдем значения ф и

/?, дающие

величину максимального

объема.

Несложные подсчеты дают

 

 

 

 

 

ф = я/2;

R == гг = 2А,.

 

При ф = я/2

из (6, 7, И 1)

и (6,7,2)

при использовании граничных усло­

вий получим, что искомая поверхность представляет собой полусферы, разделенные цилиндром длиной 2хи где

S — 2 м \ ; = гх; х2 = хг + /у, С2 = дг2 — /у

(6,7,12)

2л г,

Предельным случаем и задаче является случай касания -сферы (полу­ сферы) с плоскостью, ограничивающей замкнутый цилиндр.

Рассмотрим 3-й случай, когда (Полусферы .касаются боковых плос­ костей и (начинают деформироваться (рис. 6.5 и 6.6). В этом случае получается два «решения.

Пусть г2— радиус круга, по которому искомая «поверхность касает­ ся граничной плоскости. Для отыскания уравнений искомой «поверхности

необходимо «найти максимум интеграла (6,7, I1)

 

 

 

 

- &

- ] d x

 

(6,7,13)

 

 

* 2

- * !

J

 

 

при условии

 

 

 

 

 

 

*2

_____ _

2гi*i +

г2

 

К = я ^ V 2 y V l

+ у ’* +

(6,7,14)

 

 

dx

Хх

 

 

*2 — *1

 

 

 

 

 

 

 

и граничных условиях, зада«нных на концах искомой кривой

 

У(*i) = п;

у (*,) =

г2; (г2 < г,;.

(

* i = 0 \

 

 

 

 

 

 

У' = ОД

 

Для нахождения безусловного экстремума интеграла

 

 

ХГ\

 

 

 

(6.7.15)

 

L =

Н(у, y')dx,

 

 

где

 

 

r\xl 4 - 2Х.ДС1 4 - r\x

 

H = y* +

2 \ y V l + y l2 +

(6.7.16)

 

хг —

 

 

 

 

 

применяем, как и 'раньше, уравнение Эйлера

 

 

 

 

Н — у’НУ = const.

 

 

(6,7,17)

Подставляя !( 6, 7, 16) IB ( 6, 7, 17), получаем дифференциальное урав­

нение

 

 

 

 

 

 

у°- + 2Ц/ Г Т 7

+

х2 —Xj.

 

 

У - -

=с

 

 

 

 

 

 

После упрощения имеем

 

 

У 4№у2— (В — I/4)2

 

 

У ' = ±

 

 

в

— с

 

-f- 2Х\Г^Я» -{^

(6,7,18)

 

 

L J

U

 

н — *i

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

X

'

{ B - i f i d y

(6,7,19)

 

1

V w i f — iB — tj*)*'

 

 

)

 

э интеграла принимаем знак

+ , ибо знак — вы-

ражает симметричную часть ниже оси х.

 

Этот интеграл рассматривал Б. Н. Делоне и показал, что (Кривая,

задаваемая уравнением

(6,

7,

J9), — траектория,

описываемая одним

из фокусов эллипса (гипербола), когда эллипс (гипербола) без сколь­ жения катится по оси х. (В > 0 — гипербола, В < 0 — эллипс). Полуоси

будут а = К, b = V г\ — = в .

Поверхность '.вращения этой кривой называется ундулоид (нодоид) и характеризуется тем, что ее средняя кривизна есть величина постоян­

ная, равная

в каждой точке поверхности вращения.

Присоединив к уравнению ('6, 7, *19) некоторые граничные условия,

получим уравнения искомой образующей в виде

 

[X =

(2К— rx) F(k', ф) +

ггЕ (£', ф),

 

 

 

(6,7,20)

 

1

у = ГгУ I + k'~ Sltl ф,

где F, Е — эллиптические интегралы I и I I

2^ _г

рода; k = ---- й— -----модуль

 

 

_______

ri

эллиптического интеграла: kr = V 1 — &2— дополнительный модуль эллип­ тического интеграла; ср — текущая координата

ср =

arcsin

V

Л 4- \

-Г 0 < Х < Г ! 1.

 

 

 

 

k'n

 

 

Для нахождения зависимости

параметра “К от величины

поверхности S

используем уравнение

S = 2я

Xj

________

у \ взятое из

Г у V 1 +

y,2dx, подставив

о

(6,7,17х). После упрощения и решения имеем:

V

t \ - t

(6,7,21)

S = — 4п\гхЕ (k’, ф*), где ф = arcsin-

 

k'r-i

Изоэп'ифанная задача для поверхности S в объеме замкнутого цилиндра с осевым отверстием и длиной цилиндра ’> ri дает в качестве решения нодоидную поверхность, для которой ri/2<X<ri; 1>Г\. При 1<г{ полу-

чим .в -качестве решения ундулоидную поверхность, где 0<A,<ri/2. При Х = Г\/2 -получи,м шаровую (Поверхность (рис. 6.7).

Ввиду того что в решения (6, 7, 20) входят эллиптические функции,, задача определения меридиана новерхности решается графически. Необ­ ходимый для решения задачи параметр К находят в зависимости от ве­ личины поверхности S и исходных величин, входящих в граничные усло­ вия. При /*2= 0 решением уравнения (6, 7, 20) будет сфера (полусфера с цилиндром).

Для .прочностного анализа потребуются выражения радиусов кри­ визны для нодоидных, ундулоидных оболочек [29]

(6,7,22)

Средняя кривизна «одойдной и ундуловдной .поверхностей есть .величина постоянная Я —1/2Х.

Известно, что лучшей оболочкой по прочности, вместимости и весу является сфера. Однако, если по конструктивным соображениям необхо­ димо обеспечить выходное отверстие (газоотвод « др.), то такой оболоч­ кой уже будут рассматриваемые оболочки вращения — нодоидные и ундулоидные. Величина площади поверхности дана формулой (6, 7, 21). а объем равен

 

 

яr,k

 

sin ф* cos ср* V 1 — /г'2sin2 ф* —

 

V = — ncrtE (Й1ф’)

 

 

 

яr\k*

 

 

 

2яг* (ft*-* — 2)

 

(6,7,23)

 

F ( k ’ , Ф * ) -

 

3

Е (k\ ф*).

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Большое количество построенных образующих [29] позволило заме­

тить следующее соотношение:

 

 

 

 

 

 

 

 

т - =

- ( о

< Ч <

^ ) -

 

(6,7,24)

 

 

h

rt

 

 

 

 

 

Из уравнений (6, 7, 20),

(6, 7, 2 1),

(6, 7, 23), применяя

условие

(6, 7, 24),

получены соотношения

xl = rix1\

S, =

;

 

 

 

 

 

(6,7,25)

 

 

i/i =

W

 

V (- =

r3V x;

 

 

 

 

 

 

где

и iji — координаты новых

образующих; \S* и

Vi— величины -по­

верхности и объема; Х\

и у\, S\

и V\ —-координаты образующих и вели­

чин поверхности и объема при Г\ = 1.

Соотношения (6, 7, 24) и (6, 7, 25) позволяют находить образующие, подобных ундулоидных оболочек, не прибегая к формулам. Для радиуса /'i = l .при различных'значениях К\ рассчитывают таблицы координатных значений х\, у\, величину поверхности S\ и объема V\ -с заранее выбран­ ным шагом ДА,!.

Далее рассматриваются вопросы прочности оболочек из нодоидных и ундулоидных поверхностей по безмоментнюй теории в сравнении с наи­

более распространенными типами оболочек — эллиптической,

сфериче­

ской— при нагружении постоянным внутренним избыточным

давлени­

ем q. Используя условие статики и уравнение равновесия, получим сле­ дующие уравнения для меридианных сил, действующих на единицу дли­

ны параллельного круга срединной поверхности SMи кольцевой мембран­ ной силы, действующей -на единицу длшш меридиана Гм.

Г м _ =

(1 +* ) х \Г*{

_

 

2 П2JCn*’ + * )

I

(6.7.26)

ЯГ1

ту- + х

L

 

 

 

■SM

(1 + W х )-

* 2)

х )

 

(6.7.27)

 

Я Г !

2 ( л 2

+

 

 

где

 

 

 

х = Z l ;

_ 1 ± J L =

А ; Г1= -S -.

Г!

2

Г!

Г!

Из сравнения по прочности нодоидной

(ундулоидной) сферической

и эллиптической оболочек -следует, что рассмотренные нодоидные (ундулоидные) оболочки .кроме изоэпифанных -свойств имеют преимущество по прочности, а именно: уровень напряжения их против эллиптического и

5- г

■сферического указывает

(рис. 6, 8), что у первых он ниже. Характерным

 

 

свойством нодойдното (ундулоидного)

 

 

переходника

является

плавное

 

 

сопряжение с цилиндром, что ведет к меньшему уровню напряжений IB

 

 

местах стыков против других типов переходников.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим прочность нодоидных (ундулоидных) оболочек в месте

 

 

сочленения с цилиндром радиуса гь а также в случае жесткой заделки

 

 

при y

= r1 для краевого эффекта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача об изгибе оболочек вращения постоянной толщины, нагру­

 

 

женной системами осесимметричных сил и моментов, распределенных по

 

 

параллельному кругу, сводится .к интегрированию системы 2-х однород­

 

 

ных, дифференциальных уравнений 2-го порядка [27, 28]:

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

d 2

V

+

r j L

/ ,

R )

,

'

+

J.

c —t g

cp^)i

l

d

-

£ -

i\

- (

 

§

 

i

-

d

g

*

=

h < E

 

R? a- v ) v

J

R

i

d p2i '

 

L l d<f

\

 

 

R

i

 

 

J

 

ap

R

 

 

 

R

 

 

 

J

 

 

 

 

R 2

 

 

+

[

 

(

 

R

+

 

^

i

c t g

cp4)-

£]

-

+

 

 

(

J

c t g

2

(p

+ v >)

x

=

_

-B L

V

 

 

R

i

dcp2

dcp

\

'

i

JR

 

dcp

 

 

<

 

 

i

\

 

 

 

 

 

 

D

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eh3

Здесь D = -----— — цилиндрическая жесткость, V= R2N, N —пере­

резывающая сила, действующая на единицу длины параллельного кру­

га; ф — угол между «нормалью к поверхности и осью оболочки; % ~ деформированный угол (Поворота элемента .меридиана.

После подстановки значений R\ и R2 дифференциальное моментное у равнение для нодоидной и у-ндулоидной оболочки имеет (Следующий вид:

Р - М

_ <PV_ 1

Г

Г3 + с .

_

4cr

_ _ d r_______

г2 — с

d iр2

[_

г2 — с

 

(г2 — с)2

dq>

 

/

г2 —с

ctg2 ср — v^V = /t£% га ^ --

 

\

г2 + с

/ 2 + с

 

 

 

i L l

г2 -ф-с

&У.

- +

Г

c t C(D

4cr

 

 

 

 

 

 

 

 

г2 —с

dq>2

 

L г* — с

c t g ( p

(г2 - с ) 2

’

dcp J

/

г2 — С

ctg2 ф +

Vj X =

2Хг2

V

V г2 4 -С

 

 

 

с 4 -

г2

D

Из условий совместности .перемещений в месте стыка нодоида и ци­ линдра или жесткого фланца находят перерезывающую силу и изгиба­ ющий момент в месте сочленения. При этом для сочленения нодоидных (у.ндулоидных) оболочек с жестким фланцем имеем

М 0 =

Ро =

где

а = rj_ t

к

/ 3 ( 1 — v2) .

V n h

ri

 

R 10— главный радиус кривизны в .месте сочленения, а для сочленения нодоидных (ундулоидных) оболочек с цилиндром имеем

Ро

 

 

Pri

 

(1 —а2); М0 = 0.

 

 

8Ai^io

 

 

 

 

 

Далее будем иметь законы изменения поперечной силы

N f° =

 

(cos

р — sin Р) е- РР0.

 

 

R i j

 

 

 

f ° =

J

4/3 (l -

f )

у Г

Mog-p sin ро>

 

 

 

А2/

 

Г

«

меридиональной силы

 

 

 

 

 

 

pPo

-

A;P,

ctg

Ф/>

S f » = - < » ctg cp,.,

ST* =

 

кольцевой силы

 

 

 

 

 

 

T f • =

— i .2^ 4 L z v t) - P 0e-P cos P,

 

 

 

 

к p nh

 

T f ° =

 

 

 

J

IL

Mo(cos P - Sin p)e-P,

П

f К2/
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности