книги / Оболочки и пластины

то для максимального прогиба получим выражение

и потому коэффициент динамичности

(4,24,20)

Коэффициент динамичности кольцевого давления оказывается зна­ чительно больше коэффициента динамичности внутреннего давления. Например, при х=0,45 имеем /Сд5' = 1,35, /Сду= 1,035; для оболочки с от­ ношением h/R«0,2 это соответствует скорости движения нагрузки #«1200 м/сек.

§ 25. О РАСПРОСТРАНЕНИИ УПРУГИХ ВОЛН В ОБОЛОЧКЕ

Представляют интерес исследования распространения возмущений в тонкостенных конструкциях в связи с проблемой их прочности и жест­ кости [52]. Рассмотрим распространение упругих волн в оболочках [53].

Вначале выпишем систему дифференциальных уравнений [54] для осесимметричных колебаний круговой цилиндрической оболочки тол­ щины 2h и радиуса срединной поверхности г0, которые затем будут использованы при изучении распространения упругих волн в оболочке.

Исходя из общих уравнений теории упругости без каких-либо ги­ потез о характере деформирования, основываясь на алгоритме Н. А. Кильчевского [55], путем исключения из матричных операторов всех функций перемещений, кроме одной или нескольких, И. Т. Селезов построил обобщенные дифференциальные уравнения (с точностью до членов порядка | 3) колебаний [56]:

(4,25,1)

Т1о теореме обращения [57] получим решение задачи в виде контурных интегралов:

§ 26. О РАСПРОСТРАНЕНИИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НАГРУЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКЕ

В последнее время стали известны попытки развить динамическую теорию оболочек при упруго-пластическом деформировании, которая учитывает возможность больших прогибов, что важно для расчета кон­ струкций и сооружений [58].

Рассмотрим действие подвижной осесимметричной нагрузки на сво­ бодные цилиндрическую и коническую оболочки.

Пусть на цилиндрическую свободную (незакрепленную) оболочку длины L в момент t = 0 начинает действовать внешнее давление, сим­ метричное относительно оси вращения и распространяющееся по поверх­ ности оболочки с некоторой скоростью v, которая может быть меньше или больше скорости распространения упругих волн растяжения и из-

гиба в оболочке -V-р (1 — V2) .Пусть также ширина нагрузки £г^оо,

т. е. нагрузка, или сходит в момент te = l/V с оболочки, или остается на ней. При V<k\o деформации в оболочке распространяются со скоростью fei, а при V>ki деформированной окажется вся оболочка позади фронта

нагрузки, т. е. деформации будут распространяться со скоростью V Следовательно, при У<Аю надлежит решать вторую смешанную задачу, а при V>k\ — третью смешанную задачу.

Заметим, что реальные оболочки на концах обычно подкрепляются достаточно мощными ребрами, препятствующими концевым сечениям

оболочки поворачиваться и перемещаться в радиальном направле­ нии, т. е.

стей движения нагрузки. В случае дозвуковой скорости движения на­

края оболочки x = L, упругая волна x = kl0t отразится от него. Отражен­

ной волны (рис. 4.15); начальная скорость отраженной волны будет равна, конечно, k\0.

Решая вторую смешанную задачу, определим сначала решение в области (1), ограниченной прямыми x = k\0t, х = 0 и характеристикой

dx = k{\ ) dt, включая границы этой области; подобно определим и об­

ласть (2), ограниченную прямой x = L, характеристикой dx ——kS? dt, на которой функции и, w, ср и их первые производные непрерывны, и ха­

рактеристикой dx = k®) dt, исходящей из точки встречи характеристики

dx = —k\2)dt с прямой х = 0.

В случае сверхзвуковой скорости движения нагрузки v>k\0 (рис. 4.16). Здесь решение в области, ограниченной характеристиками первого семейства d x = ± k xdt, исходящими из точки О (0,0), (линия ОМ)

л точки (линия LM), не зависит от граничных условий на

концах оболочки, а чтобы найти его, надо решить задачу Коши по дан­ ным на отрезке прямой x = W ^ 0 < * < L , в треугольнике,

ограниченном этой прямой и характеристиками ОМ и LM (рис. 4.16). Из анализа уравнений движения цилиндрической оболочки видно,

что при нагрузке постоянной интенсивности решение задачи Коши вдоль прямых* параллельных фронту движения нагрузки x = vt, не ме­ няется. Это значительно уменьшает трудоемкость вычислений при ре­ шении задачи Коши, ибо потребуется определять лишь точки, лежащие непосредственно на характеристике ОМ.

Для начала интегрирования возьмем на прямой x = vt точку Оi, достаточно близкую к точке О. Теперь, решая задачу Коши по данным на отрезке ООь определим точку Мх на характеристике ОМх положи­ тельного направления первого семейства. В точке Nu лежащей на пере­ сечении характеристики первого семейства положительного направле­ ния, исходящей из точки 0\, с отрезком M\N\ прямой, параллельной линии x = vt, решение будет то же, что и в точке М\. Поэтому следую­ щую точку М2 на характеристике ОМ, а также все остальные точки на

ней можно определить или общим методом, решая задачу Гурса по данным на характеристиках М\0\ и 0\N U или, воспользовавшись по­ стоянством решения вдоль отрезка M\N\, решить задачу Коши по дан­ ным на отрезке M\NX. В обоих случаях основные исходные точки i и / одинаковы; вспомогательные точки, лежащие на характеристиках вто-

v

рого и третьего семейств, разные. Точкой i служит предыдущая искомая точка (т). Точкой I при решении задачи Гурса служит старая точка /. Новая точка ] определится из уравнений

■Xj — Xt = Ащ (*,— */),

по формулам

Vtj — k jiti + x i — Xj

V - k Ui

(4,26,5)

x i = xi + V (tj — ii).

Остальные величины, характеризующие состояние оболочки: пере­ мещения, деформации и скорости в точке /, будут те же, что и в точке г.

При определении точки т из решения задачи Коши координаты точки / при данном интервале Ax=Xj—х{ определяются по формулам

Xj = х + Ал:,

(4,26,6)

tj= tt + — .

1 1 у

Вдоль характеристики LM решение определяется как и на характе­ ристике ОМ, причем решение на характеристике LM равно решению

на характеристике ОМ, но со смещением во времени на tL = — , т. е. для любой другой функции f будем иметь

/ьл1(0 = /ом ^ ---^ .

В частном случае мгновенного приложения равномерного давления по всей длине оболочки решение в углу между характеристиками ОМ

возникает составляющая равнодействующей внешних сил, направленная по оси симметрии конуса, что приведет к движению центра массы ко­ нуса. Однако пока не будет деформирована вся оболочка, т. е. пока возмущения не дойдут до конца л:= 1, она не начнет двигаться как абсо­ лютно твердое тело, и центр массы будет неподвижным.

После того как возмущения дойдут до края оболочки x = L, она начнет перемещаться в направлении оси оболочки как абсолютно твер­ дое тело, имея, конечно, одновременно и перемещения вследствие де­ формации. Следовательно, чтобы иметь возможность применять урав­ нения к оболочке в. ее движении относительно центра массы, необхо­ димо остановить центр массы оболочки, для чего нужно к центру массы приложить силу инерции Даламбера, равную осевой (в рассматривае­ мом случае — горизонтальной) составляющей равнодействующей внеш­ ней нагрузки. Сила Даламбера действует на каждый элемент массы оболочки. Поэтому ускорение центра массы (перегрузка) равно

(4,26,7)

м ’

где Рх — горизонтальная составляющая равнодействующей внешних на­ грузок; М — масса, например, всей конструкции. На оболочку (в от­ дельности) приходится часть силы Даламбера, равная

Здесь М* — масса оболочки. Если с оболочкой не связаны никакие со­ средоточенные массы, находящиеся внутри, то интенсивность этой на­ грузки можно записать в виде

где 5 — площадь поверхности оболочки. Отметим, что если на цилиндри­ ческую оболочку помимо внешнего давления действует и касательная нагрузка, то характер движения оболочки подобен только что описан­ ному движению конической оболочки. Введем вместо S переменную x = S —So (So — расстояние по образующей от вершины до сечения с ра­

линдрической.

При решении задачи Коши для определения решения на характе­ ристике ОМ (рис. 4.16) мы уже не сможем в случае постоянной нагруз­ ки определить все величины на этой характеристике, не зная их значе­ ний во всем треугольнике OML, из-за того что решение вдоль прямых, параллельных линии x = vt, не будет неизменным, так как коэффициенты в уравнениях движения теперь будут зависеть от S(rQ=5sinp).

Однако для конической оболочки малой конусности радиус попе­ речного сечения г0 мало меняется по длине, и потому, без большой по-

грешности, для простоты расчета, когда длина оболочки не очень ве­

лика, этим изменением можно пренебречь.

Можно считать, что в узких полосах шириной Ал;', прилегающих к характеристикам ОМ и LM, решение вдоль отрезков, параллельных прямой x = S —sQ= vt, меняться не будет даже при большой конусности.

Таким образом, в случае конической оболочки, по которой бежит равномерная нагрузка со скоростью v>k\0i решение на характеристи­ ках ОМ и LM можно найти с большой степенью точности, не определяя его во всем треугольнике OML. Причем, в отличие от цилиндрической оболочки, в самом треугольнике OML решение вдоль прямых, парал­ лельных OL, меняется тем сильнее, чем больше угол конусности обо­ лочки и чем длиннее сама оболочка. Заметим также, что при малой конусности оболочки, когда на нее действует лишь внешнее давление, можно заменить его, без большой погрешности (существенно упрощает расчет), нагрузкой, направленной перпендикулярно оси конуса (не вво­ дить силы Даламбера).

Приведем пример числового расчета усеченной конической стальной (сталь 3) обо­

ление р ,х= \ \ 2 к г!см 2 и касательную нагрузку р 8 = 22 кг/см 2, распространяющиеся вдоль оболочки со скоростью \0 км /сек в сторону возрастания го полосой, ширины /= 200 /г,,

причем касательная нагрузка направлена тоже в сторону подрастания /*0. При расчете предполагалось, что материал оболочки не сжимаем.