книги / Оболочки и пластины

Г л а в а IV

КОЛЕБАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

В настоящей главе систематизированы сведения, относящиеся к ко­ лебаниям и некоторым аспектам динамики оболочек и пластин-

Здесь даны постановки краевых задач и рассмотрены характеРные примеры основных типов колебаний: собственные, вынужденные, пара­ метрические и панельный флаттер. Кроме того, изучены колебания пла­ стины, обусловленные тепловым ударом, и термопараметрическое воз­ буждение колебаний в мембранах.

В этой же»главе'Произведен анализ распространения упругих и упруго-пластических волн нагружения в оболочке и приведены решения некоторых других задач динамики оболочек, например плоская упруго­ пластическая деформация цилиндра и действие на цилиндр движущей­ ся нагрузки.

§ 1. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Следуя Ляву [1], дадим постановку задачи о собственных колеба­ ниях тонкой оболочки.

Уравнения колебания оболочек можно образовать путем прибавле­ ния к внешним силам и парам, которые входят в уравнения равновесия, выражений для сил инерций и их моментов (силы затухания здесь не рассматриваются):

М п ■Ь Si -f- S2 —о,

Ri Яг

а три уравнения для сил будут

причем некоторые из входящих сюда величин связаны соотношениями (4.1.1) .

уравнение из (4,1,1) представляет собой тождество в силу симметрич­ ности тензора напряжений.

Заметим, что здесь, как частный случай, содержится теория коле­

Таким образом, одна из групп, на которые распадаются уравнения (4.1.1) и (4,1,2), тождественна с уравнениями продольных колебаний (деформации сводятся к удлинениям в плоскости пластины). Моменты М выражаются через ..., а последние — через w па известным фор­ мулам. Компоненты N u N 2 выражаются через моменты М по формулам

Эта вторая группа уравнений эквивалентна уравнению поперечных ко­ лебаний пластины.

При таком изложении теории колебаний делают допущения, подобные гипотезам,

при выводе уравнений равновесия. Например, в случае плоской пластины [2], испыты­ вающей поперечные колебания, делают допущение, что внутренняя деформация в малой части пластины очень близка к тому виду деформации, который имела бы эта часть, удерживаемая в равновесии при той же степени искривления срединной плоскости. В самом деле, рассмотрим состояние цилиндрического или призматического элемента плоской пластины, вставленного в соответствующее отверстие в ней. Допустим, что при поперечных колебаниях такой элемент пластины практически в любой момент периода колебаний находится в таком же состоянии, как при равновесии. Если это имеет место,

23 ГЬ М. Огнбалов, М. А. Колтунов

пропорциональна h. Частота подобных колебаний, не сопровождаемых удлинениями у оболочки данной формы, (неограниченно убывает вместе с h в противоположность продольным колебаниям. Отсюда следует, что* частота продольных колебаний не может быть наиболее низкой. Одна­ ко отметим, что случай замкнутой оболочки, например сферической,, образует исключение, так как здесь колебания без удлинений вообще невозможны; точно так же оболочка малой толщины, которая ^ почти замкнута и имеет только малое отверстие, входит в это исключение, если отверстие достаточно мало. Чтобы заставить оболочку колебаться так, чтобы не было удлинений, нужно приложить силы к ее краям и поверхности. Если этих сил нет, то смещение отличается от того, кото­ рое удовлетворяет условиям деформации без удлинений. Впрочем, эта разница для низких частот колебаний должна быть незначительной, в противном случае мы имели бы дело практически с продольными ко­ лебаниями, и частота в действительности не могла быть настолько малой, как это соответствует данному случаю. Как можно заключить

и, следовательно,

Первые два уравнения из (4,1.,1) будут иметь вид

или, что то же,

23*

Смещение есть периодическая функция относительно ф с периодом 2 я. Предполагается, что нормальные колебания оболочки имеют час-

тоту -гр—. Поэтому полагаем и, v, w пропорциональными синусам или

2п

косинусам дуг, кратных ф, а также косинусам p t + г . После этого урав­ нения колебания обращаются в систему линейных уравнений с постоян­ ными коэффициентами, определяющих и, v , w в зависимости от х. Установим эти уравнения; предварительно рассмотрим порядок этой си­ стемы. Выражения хь хг, т содержат только вторые производные; выраже­ ния 8i, 82, со содержат первые производные. Таким образом, М и М 2 со­ держат вторые производные, а N i — третьи. Третье уравнение (4,1,2),

d*w

в тех членах, которые опускаются,

когда образуется уравнение колебаний с удлинениями. Итак, полные уравнения будут значительно более высокого порядка, чем уравнения колебаний с удлинениями: первые будут восьмого порядка, а вторые — четвертого. Понижение порядка при переходе от полной системы к урав­ нениям колебаний с удлинениями имеет фундаментальное значение и вообще совсем не зависит от специальной цилиндрической формы сре­ динной поверхности.

В соответствии со сказанным выше положим

представляет собой линейную систему с постоянными коэффициентами

укладываются по длине окружности, выбираемое произвольно. Допу­ стим, что и, v, w помимо факторов, содержащих <р и t, пропорциональ­ ны величинам %emx, r\emx, t,emx, где |, т), £, т — постоянные. Постоян­ ная т будет корнем уравнения, полученного путем приравнивания нулю детерминанта; это уравнение восьмой степени относительно т или четвертой степени относительно т и не содержит членов с нечетными степениями т . Коэффициенты этого уравнения зависят от р 2. Если т будет удовлетворять этому уравнению, то отношения £ : т|: £ определят­

ся в зависимости от т и р 2 из каких-нибудь двух уравнений движения. Не считая множителей, зависящих от ср и t, можно написать

« = £ № 1Х + & - т о . i= I

однородных уравнений относительно g*, £/. Исключение этих постоян­ ных приводит к одному уравнению для определения р2; это будет урав­ нение частот.

Рассмотрим продольные колебания (колебания удлинений). Урав­ нения продольных колебаний получаются путем отбрасывания в урав­