книги / Оболочки и пластины

пикающих при этом, связанных в основном с проявлением «масштаб­ ного эффекта». Отметим лишь следующее. Моделирование, понимаемое в смысле средства, метода решения задач, адекватного математическим средствам, часто дело технически невыполнимое особенно в тех слу­ чаях, когда число определяющих явление параметров довольно боль­ шое. Эти трудности возрастают^ увеличением числа параметров. По­ этому моделированию, иногда единственно возможному средству реше­ ния задачи, должен предшествовать анализ исходных уравнений, учи­ тывающий основные положения теории размерности и подобия.

Покажем, каким образом знание природы решения исходных урав­ нений можно использовать для эффективного решения задач экспери­ ментальным путем.

3. Устойчивость цилиндрической оболочки

В этих уравнениях функции под знаком вариации б являются не­ известными. Они характеризуют бесконечно малые приращения основ­ ных функций ср и w при бесконечно малом изменении внешней, напри­ мер, поверхностной нагрузки. При этом наряду с основной (безмоментной или изогнутой моментной) формой равновесия становится возможной другая, отличная от первой, изогнутая форма равновесия, характери­ зуемая вариациями 6 ф и бw. Функции ф и w в уравнениях (3,19,5) (без

знака вариации!) являются известными и в соответствии с постановкой задачи должны определяться из решения уравнений безмоментной или моментной теории. В случае круглой пластины, рассмотренной в § 18, эти функции подлежали определению из нелинейных уравнений боль­ шого прогиба. Общий вопрос о том, какими уравнениями следует поль­ зоваться для определения функций ф и w, необходимо решать в каждом конкретном случае в соответствии с характером поставленной задачи и общефизическими представлениями относительно предполагаемой кар­ тины деформации оболочки или пластины.

Уравнения (3,19,5) существенно упрощаются, если начальное со­ стояние является безмоментным. При этом будем иметь

Вводя (3,19,13) в (3,19,11), получим линейные уравнения равно­ весия с переменными коэффициентами. В силу этого решение их до­ вольно затруднительно. Существенное упрощение задачи может быть достигнуто, если в основу решения положить общемеханические пред­ ставления о характере возникающей деформации, а также соображе­

к радиусу. В данной задаче, однако, длина не является определяющим параметром, и эти константы носят абсолютный характер. Согласно

теоретическому решению, приведенному в монографии [141], С0 = У 12/9. По данным эксперимента величина С0 на 25—30% меньше указанного значения [145].

Допустим, что оболочка подвергается действию краевого момен­ та М0. Длина оболочки и в данном случае не является определяющим параметром, поскольку деформация носит ярко выраженный местный характер. Анализ уравнений, аналогичный проведенному выше, приво­ дит к формуле

согласно теореме П. Ф. Папковича о выпуклости областей устойчивости будет иметь вид

То

(3,19,18)

Т,0,к

где T0,k и М0,/( определяются согласно (3,19,8') и (3,19,17). Неизвестные параметры Со, с и р в этой формуле можно определить по данным трех опытов над моделями. В первом приближении с запасом в сторону устойчивости можно положить р= 1.

Рассмотрим важную в практическом отношении задачу устойчиво­ сти цилиндрической оболочки, ослабленной в средней части круговым

простым путем, даже не прибегая к решению исходных уравнений. Эксперимент показывает, что выпучивание оболочки начинается в зоне максимальной концентрации продольного напряжения возле отверстия.

ким образом, в отличие от оболочки без отверстия в данном случае вступает в действие новый определяющий параметр р2/Rh, от которого должна зависеть величина критической нагрузки. На основании про­ стых механических представлений, а также соображений метода раз­

где Т0,т— критическое усилие сжатия оболочки без отверстия, т. е.

To,m= C E h*/R (l-v*yiK

Таким образом, при фиксированном коэффициенте Пуассона экспе­ риментальному определению подлежит функция fi(p2/Rh). Очевидно, при р= 0 Ы (0) = 0 и, следовательно, T0ik= To,m-

Остановимся теперь на вопросе конструирования структурных фор­ мул критических нагрузок для упругой системы сложной конфигурации или нагрузок, природа которых не носит характер простейшей.

На основании уравнений (3,19,4) были установлены критерии по­ добия натурных образцов и моделей. Обращаясь к этим условиям, по­ стоянство которых должно соблюдаться при моделировании, следует

отметить, что лишь одно из них (qr\lEh4 = const) является силовым и искомым в задачах о потере устойчивости. Остальные условия подобия при фиксированном коэффициенте Пуассона касаются относительных геометрических характеристик конструкции. Отсюда следует важный вывод.

В задачах о потере устойчивости искомые определяющие силовые параметры при фиксированном коэффициенте Пуассона выражаются через определяющие безразмерные параметры, характеризующие отно­ сительные геометрические размеры оболочки. Естественно, этот вывод»

справедливый лишь при допущении изотропии материала, следует по­ ложить в основу конструирования структурных формул для критических нагрузок. Например, для цилиндрической оболочки, ослабленной Ъ сред­ ней части эллиптическим отверстием с полуосями а и 6, формула кри­ тической нагрузки при равномерном осевом сжатии будет

То,* = To,m : j l + Л (Р2№ ) I* 1 + /2 ( - ^ - )] |; Р2 = ab,

где /1 и /2— безразмерные функции, подлежащие определению в экспе­ рименте. При a = b f2(1)=0. В целях уменьшения объема эксперимента зависимость функции от параметра р2/Rh следует взять из опыта с обо­ лочкой, ослабленной круговым отверстием. При этом для определения функции /2 в опыте необходимо изменить отношение ajb.

4. Нелинейные задачи устойчивости

Рассмотрим нелинейную задачу устойчивости геометрически поло­ гой прямоугольной цилиндрической панели со сторонами а и b под дей­ ствием нормального внешнего давления. Предполагая краевые условия однородными, не зависящими от коэффициента Пуассона, докажем, что для полного теоретико-экспериментального решения задачи не требует­ ся выполнение всех перечисленных выше критериев подобия. Точнее, покажем, что синтез средств теории и эксперимента позволяет получить решение рассматриваемой задачи, варьируя в опыте лишь отношение сторон alb.

Будем исходить из уравнений (2,15,23), преобразуя их к безразмер­ ным переменным и функциям с помощью подстановок

любым из вариационных методов, например методом Папковича, в ус­ ловиях которого необходимо задаваться аппроксимирующей функцией прогиба, удовлетворяющей заданным краевым условиям

(ао, Ро) ’• Выбирая (х(а, 0)) в виде %(а, P)=xi(a. P)/Xi(«o. Ро), получим х(ао, Ро) = 1. Таким образом, в структуре функции (3,19,22) множитель £i будет безразмерным параметром полного прогиба в исследуемой точ­ ке. После применения к уравнениям (3,19,21) процедуры вариационного метода при решении задачи в первом приближении получим следующую кубическую зависимость q* от £i [141]:

<t = Xo(-f-) tf - jCl (■у ) Й + Xs(-f-) It + X , ( j ) E i / 1 2 ( l - V2)1 k '\

(3,19,23)

где Xo; Xi — безразмерные функции, которые в условиях эксперимента

подлежат определению. Для заданного отношения alb функции %i= Ci — константы, не зависящие от параметра кривизны k* Эти константы можно определить в эксперименте с образцом, кривизну которого сле­ дует выбрать подходящим образом. Значит, для решения задачи об устойчивости панели в опыте необходимо менять лишь отношение сторон.

Для уменьшения объема эксперимента следует, пользуясь условием экстремума — — =0, исключить из (3,19,23) параметр Получающееся

критическое значение q*, при фиксированном значении v с достаточной

степенью точности можно аппроксимировать выражением qk—Ck*m, где С, m — константы, подлежащие определению в идеальном случае из опытов с двумя различными образцами. Если, однако, при каких-то кри­ тических значениях k* наблюдается перемена равновесных форм, то, как показывает опыт, эти константы будут другими. Количество испытуемых образцов в этом случае необходимо увеличить.

§ 20. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕВЫХ СИЛ И МОМЕНТОВ

1. Произвольное число локальных сил

Как известно, верхние критические напряжения в цилиндрической оболочке, находящейся под действием осевых усилий, равномерно рас­

пределенных по торцам, вычисляются по формуле вь = kQE — .

что оболочки, как правило, имеют начальные неправильности в форме срединной поверхности. Так, если стрела начального прогиба f<0,4h, то &о=0,180 [95]. Для вычисления верхней критической нагрузки с ис­ пользованием формулы Ob=kEh/R, когда нагрузка представляет собой локальные осевые силы, необходимо знать зависимость k от числа дей­ ствующих сил2. Эта зависимость выявилась после проведения экспери-

1 В эксперименте, по-видимому, иногда удобнее вместо параметра £i вводить в

рассмотрение изменение объема, ограниченного поверхностью панели.

2 Применение этой формулы вполне правомерно, поскольку потеря устойчивости носит, как показывает эксперимент, локальный характер и, следовательно, параметр длины оболочки должен быть исключен из базы определяющих явление параметров.

ментов над стальными оболочками. Граничные условия соответствовали свободному опиранию. Осевые усилия передавались на торец оболочки по отрезкам дуги, равным R/3, так как при меньшей длине дуги проис­ ходило смятие оболочки в месте передачи усилия. Число локальных осевых сил было равно 1, 2, 3, 4, 6, 8 (рис. 3.57). Кроме того, оболочки испытывались при действии равномерно распределенной нагрузки. Во всех случаях воздействия локальных сил число образовавшихся вмятин

вокружном направлении было равно числу действующих сил, а при рав-

АА(Й* к й

Рис. 3.57

номерно распределенной нагрузке число вмятин по окружности равня­ лось семи. Образование вмятин происходило в области действия сил и

экспериментальные точки отношения f = kj/kо (где ko— значение kj при действии равномерно распределенной по торцу сжимающей нагрузки) при различном числе локальных сил. Как видно из рис. 3.58, графиче­ скую зависимость kj/kQот } можно представить прямой линией. Когда число локальных сил более девяти, kj можно принимать равным k0.

Таким образом, верхнюю критическую нагрузку для цилиндриче­ ской оболочки можно просто определить, если воспользоваться графи­ ком на рис. 3.58 и формулой

р" = Ч х ) £Т<2яИ)'

Но для этого необходимо знать k0 с учетом начальных неправильностей оболочки.

2. Подкрепленная оболочка под действием локальных осевых сил и моментов

Рассматривается устойчивость цилиндрической оболочки, на торец которой действуют четыре локальных осевых силы и четыре локальных момента (рис. 3.59). Торец оболочки подкреплен круговым поясом ши­ риной 2 6. Толщина оболочки с поясом равна Я. Локальные моменты прикладываются на середине ширины подкрепляющего пояса (на рас-