книги / Оболочки и пластины

закреплена) истинное напряженное состояние отличается от любого статически, возможно, тем, что работа внутренних сил (при упругих де­ формациях— потенциальная энергия деформации) принимает экстре­ мальное значение.

Для случая упругих деформаций есть строгое доказательство, что требование экстремума потенциальной энергии деформации (3, 5, 17) математически эквивалентно требованию, чтобы компоненты напряжен­ ного состояния удовлетворяли уравнениям совместности; их можно по­ лучить из (3, 5, 17). Имеется доказательство того, что экстремум рабо­ ты внутренних сил соответствует ее минимуму.

Вариационное уравнение Кастильяно (3, 5, 17) и вариационное уравнение Лагранжа (6Э = 0) служат исходными для построения вариа­ ционных методов решения задач теории упругости и пластичности, в частности теории оболочек и пластин.

§ 6. МЕТОД РИТЦА-ТИМОШЕНКО

Постановка задачи теории упругости и пластичности как вариа­ ционной задачи позволяет использовать прямые методы решения, с по­ мощью которых можно получить приближенное решение с наперед за­ данной точностью практически любой задачи теории упругости и плас­ тичности, т. е. определить перемещения по заданным внешним силам, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

Идея прямых методов в теории оболочек состоит в отыскании экстремальных значений функций непосредственно из функционала энергии. Основополагающими в развитии прямых методов явились по­

ного им метода для некоторых простейших случаев. С. П. Тимошенко

причем функции м0, v0y w0, fu, f2и Ы выбираем так, чтобы удовлетворить геометрические связи, наложенные на тело. С другой стороны, эти функции должны быть непрерывными и достаточное число раз диффе­ ренцируемыми, что следует из условия сохранения сплошности тела.

Кроме того, нужно подобрать эти функции так, чтобы удовлетворялись внешние связи, наложенные на тело, т. е.

на всей области S2. При условиях (3, 6, 2) функции (3, 6, 1) образуют поле кинематически возможных перемещений при произвольных а*, С{. Чтобы из этого поля выделить ту систему перемещений, которая дей­ ствительно возникает в теле, воспользуемся вариационным уравнением Лагранжа в форме (3, 5, 1). При вычислении 6М и 8V полагаем

= 2 ь м , i

bv =

i'

bw = YthfiCi, i

так как u0, v0, w0, /и, f2il fzi — заданные функции. Вариации баи б б С{ полностью произвольны. В выражении б'А части поверхностных интег­ ралов по S2, как видно из уравнения Лагранжа (3, 5, 4), обращаются в нуль, так как на этой части вариации перемещений равны нулю.

При упругих деформациях потенциал W является однородной квадратичной формой компонент тензора деформаций, а потому, соглас­

Ci. Учитывая это, можно переписать (3, 5, 1) в виде

2(Шт ^+Лад‘*Si _-5 )(ц+

Так как вариации ба,-, 6бг-, бс4 произвольны, получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов а,, Ьи со

т

= J J J p Z f 3ldx + £j* Zv/3ids (i = 1, 2, 3, .. .)•

т

Найденные из этой системы коэффициенты aiy bi, Ci выделяют из бесконечного множества кинематически возможных систем перемещений

приближенное решение.

Фактически при применении метода Ритца в теории оболочек ищется минимум некоторого функционала /, однако он получается несколько завышенным, так как берет­ ся конечное число членов в аппроксимации.

Приведем способ Свирского [86] получения приближенного значения минимума функционала по недостатку, что позволяет сделать оценку точности приближенного ре­ шения. Заметим, что данный метод применим, когда в оболочке имеют место растяги­ вающие (положительные) главные мембранные напряжения. Рассмотрим частный слу­ чай, когда нужно определить минимальное значение интеграла

принадлежать классу Г, в котором функции непрерывны и удовлетворяют граничным

имеет место при некоторых функциях класса Г. Будем предполагать, что первый и вто­ рой функционалы имеют в классе Г один экстремум, имеющий характер минимума. Можно показать, что это требование выполняется, если класс функций Г представляет выпуклое множество и вторые вариации функционалов (3, 6, 7), (3, 6, 8 ) положительны при любых W\ и до2 из Г. Очевидно, что минимум функционалов (3, 6, 6 ) будет не боль­

ше минимума функционала (3 , 6 , 3). Необходимыми условиями минимума функционала (3, б, 6 ) будут соотношения

Эти формулы символизируют совокупность уравнений Эйлера при соответствующих гра­ ничных условиях. Решение системы (3, 6, 9), (3, 6, 10) облегчается тем, что в нее входят две функции wu w2 и одна произвольная функция Я, вид которой можно подбирать. Решение системы (3, 6, 9), (3, 6, 10) будем искать следующим образом.

Выберем w2, удовлетворяющую граничным условиям, подставим в (3, 6, 10) и най­ дем из полученного уравнения конкретный вид функции Я

нетрудно найти решение Wi этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям.

Следовательно, в данном случае решением (3, 6, 12) будет функция

щ = w2.

Практически вид функции w2(x) удобно искать в виде линейной комбинации не­ которых функций фг(х), удовлетворяющих граничным условиям

получим значения коэффициентов Си Как указывалось выше, чтобы оценить минимум функционала сверху, мы должны

выбрать ожидаемую функцию ш2, дающую минимум функционала, и вычислить зна­

не будут линейными относительно аг-, Ьи с*, так что решение их даже при ограничении числа членов в аппроксимирующих рядах требует приме­ нения ЭЦВМ.

Развитием и обобщением метода Бубнова — Галеркина занимались многие ученые. Так, В. 3. Власов предложил метод раздельного интег­ рирования уравнений нелинейной теории пологих оболочек (2, 15, 23),

Дадим краткий вывод вариационной формулы смешанного типа в теории пологих оболочек при больших прогибах. С помощью этой формулы укажем, в каких случах можно применить метод раздельного интегрирования разрешающих уравнений пологих

Q<— перерезывающие усилия, (бu)i — проекции на деформированные оси х \

Отсюда следует, что при выполнении условий (3, 7, 5), (3, 7, 9) и (3, 7, 10), (3, 7, И) имеет место соотношение бс^=0.

3)при приближенном решении все основные уравнения нелинейной теории оболо­ чек удовлетворяются с одинаковой степенью точности;

4)в отличие от принципа Кастильяно, не требуется заранее удовлетворять усло­ виям равновесия.

Если соотношения упругости для моментов выполняются, то из (3, 7, 16) инте­ грированием по частям можно получить

dF

<^ ns= ~d^kxinft’

x — геодезическая кривизна контура оболочки, ni и т1 — контравариантные компоненты единичных векторов нормали и касательной к контуру С оболочки.

В силу произвольности вариаций бw и бф в области а из (3, 7, 18) следуют урав­ нение равновесия и условие совместности теории пологих оболочек

Следовательно, условие бс^=0 является вариационной формулировкой этих уравнений. Если в вариационном уравнении (3, 7, 18) контурные интегралы исчезают, то из

него следуют уравнения метода Бубнова — Галеркина

обоим уравнениям теории пологих оболочек указал В. 3. Власов [88].

В качестве функций, аппроксимирующих решение, им предложены балочные фун­ даментальные функции. Ряд применений метода В. 3. Власова дан в работе [89]. При­

дрической оболочки на возможность раздельного интегрирования основных уравнений указано в статье Т. В. Невской [91].

Вопрос о раздельном интегрировании методом Бубнова — Галеркина основных уравнений общей нелинейности теории оболочек при общих соотношениях упругости рассмотрен в статье К. 3. Галимова [87]. В частности, рассмотрен случай пологих обо­ лочек при больших прогибах с учетом физической нелинейности.

Раздельное интегрирование основных уравнений имеет то достоинство, что оба уравнения (3, 7, 23) удовлетворяются с одинаковой степенью точности.

Вариационное уравнение (3, 7, 18) позволяет установить граничные условия для функции тангенциальных усилий при произвольной зависимости между деформациями, усилиями и моментами.

Спомощью этого уравнения можно обосновать метод раздельного интегрирования

В.3. Власова. Следует отметить, что уравнения (3, 7, 24) имеют место при точном удовлетворении всем четырем краевым условиям теории оболочек. Тогда контурные

интегралы в (3, 7, 18) обратятся в нуль. Контурные интегралы исчезают, например,

вследующих случаях.

Г.При выполнении статических граничных условий на всем контуре.

2°. Если контур жестко заделан

ний (3, 7, 23).

1 ) Пусть на контуре заданы нормальное и касательное усилия Т и S:

Относительно w пусть выполняются краевые условия жесткой заделки w = dw /dn=0 или

выше однородным краевым условиям. Тогда из условия /2= 0 следуют краевые условия для функции тангенциальных усилий*

тангенциальные усилия. Следовательно, эти граничные условия содержат для физиче­ ски линейных задач только одну функцию усилия ф.

и. При этом предполагается, что краевые условия относительно w удовлетворяются точ­ но или интегрально.

В этих случаях, как показано в статье К. 3. Галимова [87], можно сформулировать краевые условия для функции усилия ф. Если же не все краевые условия удовлетво­ ряются точно, то в равенствах (3, 7, 24) справа вместо нуля будут контурные интегра­ лы, соответствующие этим краевым условиям.

При приближенном решении задач надо уметь указать границы — нижнюю и верх­ нюю, в которых заключена искомая величина, т. е. дать двустороннее приближение к этой величине. Чем ближе между собой указанные границы, тем меньше будет ошибка в определении искомой величины.