Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4629 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
71.66 Mб
Скачать
☆

“ 2 46 — 2 ( _ mXl)k ~

2

m *Xkdk {~ mx4)i -

k=l

k=\

 

OO

 

oo

-

> - 2 Й

5 -2

l 6 a ‘ < - mx4)ft+

2

 

 

k=\

 

 

 

 

k=\*=

 

 

kx\nx^r

— ^

(46 +

2) (4 6 + 1 )

 

 

46

 

 

 

 

 

*=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф4 (x) =

In x — дс —

P i —

V i

In x — 2x +

- y - j ■

P iY i

rx

 

 

Pi

i6*ax* (- mx4)ft] -

^ln x 3x + -y xa —-yx3j.

Входящие в выражения (3. 8 . 43) — (3, 8, 49) ряды знакопеременны, члены которых стремятся к нулю, все время убывая по абсолютному значению. Поэтому по признаку

Лейбница эти ряды сходятся при

всех значениях х и т .

Кроме того, величина

Pi почти

всегда положительная, так

что 0

< х ^ 1 .

 

 

В некоторых случаях

в зависимости от параметра

m можно ограничиться

первым

или двумя первыми членами рядов, входящих в выражения (3, 8, 46) — (3, 8, 49). Ошиб­ ка, совершаемая при замене суммы всего ряда суммой k его членов, меньше по абсо­ лютной величине первого из отброшенных членов и может быть легко оценена в каждом конкретном случае.

В случае больших значений m степенные ряды медленно сходятся. Поэтому при больших значениях тп для отыскания общего решения однородного уравнения восполь­ зуемся методом асимптотического интегриров*ания, который, как указывается в моно­ графиях А. Л. Гольденвейзера [164] и А. И. Лурье [165], в состоянии обеспечить необхо­ димую точность, отвечающую^точности полученного уравнения (3, 8, 40).

Вводя обозначение k = у т , интегралы уравнения (3, 8, 40) будем искать в виде

'&= ф(х, k)ek^x\

(3,8,50)

где ф(х, k ) — функция интенсивности, f(x) — функция изменяемости.

Функцию интенсивности ф(х, k) представим в виде асимптотического ряда

ф(х, A0 = flo М

$i(x)

,

М*)

 

 

kn

'

 

(%Ф0).

(3,8,51)

 

 

 

 

 

k

 

k2

 

 

 

 

 

Подставив

(3, 8 , 50)

с учетом (3, 8 , 51)

в уравнение

(3, 8, 40), получим

 

0 0

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

2

„

k

W')4 ♦

11+ 2

“ i r

Г6 W

f"*n♦ 4

К ♦

у у - (п 3

4-

 

 

 

 

л = 0

k

L

 

 

 

 

 

 

п=0О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 -

2

 

[*ГГ*п +

3 (П2К + ВГГК ♦

6

(ГГ-К 4 - у - гг«п 4-

 

 

л = 0

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

V

</'>•К -

 

v')2] ♦

2

ф

г [ fl4 n +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п = \

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+ Я 1 » ;

2/"0„

4/'

 

 

 

 

 

4-

лп —= 0п

 

L

 

 

3

-

] -

 

(3,8,52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потребовав, чтобы коэффициенты при всех степенях k обращались в нули, полу­ чим бесконечную систёму рекуррентных уравнений для определения f } Фо, Оь $ 2, Фп

(П4 + 1=0,

 

4 ( Г Г К +

[ 6 ( П Т

+

- J

V')3] ^0 =

0 ,

 

 

Г

2

1

 

 

 

(3>8>53)

 

4 ( Г ) % + ^ 6 (Л2 /" -f — (Л3J*„ = 4/7'"^п_, 4- з (П Ч _1 *

 

+

4 6( П 2К - \

4 - f

 

4

6/дс (Л2

- 2

,

Ограничиваясь первым приближением асимптотического интегрирования, т. е. рас­ сматривая лишь уравнения, которые получаются при kA и &3, получим

(П4^1 = 0,

(3,8,54)

2 / '^ 4 ( З Г 4 Г / * ) # . = 0.

Из первого уравнения для функции изменяемости найдем

 

 

f\.

2 — i

(1 -

О

 

 

 

/ 3,.4 =

“

/2

 

 

 

 

V 2

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

± ^

7

Г - ) ( * - * » ) •

 

 

 

 

 

 

 

Х0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда из второго уравнения (3, 8 , 54) для Ф получим

 

 

 

 

 

 

fl0= x -

,/г [Схе- 1 1 - 0 5

4 С2е+(1- ‘>1 4

C3e+{l+i& 4

 

С4е_ (Ж )&],

(3,8,55)

где l = k{x9 — x ) l V 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда общее решение однородного уравнения

(3, 8, 40) можно

записать

в виде

Фо = *

 

[Cie~^ cos £ 4 - С2е~:®sin g +

С3е ^

cos

 

sin £].

(3,8,56)

В качестве частного решения неоднородного уравнения

 

примем

степенной

ряд

А

 

*2

,

k3

,

кг

—

Шг

\1

 

 

 

57)

vп— —

m

■ф’

m

*4"

 

»

 

я «

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mx2

 

x em2

п=о

 

 

 

( З Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определив Ф, по формуле (3, 8, 39)

получим следующее

выражение для V:

V = угх ~ ч ‘ j e - ^ C x ^ ^ - c o s l +

^ x s i n g ^ C a ^ - ^ - s i n l — ft2x c o s |^ j

4

4 - [С 3 ( - Т - cos |

— k2x sin

 

+

C4

 

 

sin q> 4

&x cos

J | 4

 

 

 

4kty2

 

60кгъ

у '(п - б )2 ( - l)"x«-’

 

 

 

+ —

 

—

^

Г

- 2

J ---------- ~n------------ •

 

(3’8 '58>

 

 

mx*

 

 

 

n=о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зная V и Ф, по

формулам (3, 8 ,

17)

и

(3, 8, 30)

можно

определить перемещения,

усилия и моменты.

 

 

 

4

Сь С2,

С3, С4 определяются из краевых условий за­

Постоянные интегрирования

крепления оболочки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . Ортотропные конические оболочки вращения. Для конических оболочек враще­ ния имеем

1

Ki = 0 , / ? 2 = s - tg 0 , r = s -sin 0 .

Выражения для компонентов деформаций срединной поверхности и изгиба через перемещения и и w запишутся в виде

 

 

 

du

и — w ctg 0

 

 

 

 

 

г- = 1 Г '

— ;—

•

 

 

 

 

 

dfl*

 

dw

 

(3,8,59)

 

 

 

 

 

 

 

Усилия Ти Т2} N и моменты М\,

М2 в переменных 0 и V примут вид

т __ т

V

,Fi(s)

N = -

 

 

(3,8,60)

2

d s /

1

s

s

 

s-sin 0 ’

s sin 0 *

M 1 = — D2

dfl — v2D2$ ls — M XT, M 2 = — V2D2

d#

V2D2

( — M,

 

 

 

 

 

ds

ViS

2Г*

 

 

 

 

 

 

Основные разрешающие уравнения (3, 8, 2 0 ) и (3,

8, 22)

можно

записать в виде

 

 

d2V

dV

ф (s),

 

 

 

 

ds2

■А 1 ~

— A 2V -ф- ЛзО =

 

 

 

 

ds

 

 

(3,8,61)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2$

dO*

-

B2fl

+

В3У =

Ф(s).

 

 

 

—

- +

—

где

 

 

ds2

ds

 

 

 

 

 

1

1

* *

 

R

_

1

 

_

L

Ax—

 

dP2

 

 

 

 

 

 

____Va_

 

s

D0

ds ’

B l ~

s *

 

D2

ds

* 2

ViS2

B2 .

v2

 

v2

dP2

An— Р 0У2 (1 — VaVi) ctg 0

 

ViSa

 

s-P2

ds

 

 

 

vr

s

 

v2

dP0

sPQ

ds

B3 = -

ctg 0

 

D2s *

4>(«)=V2(^ — V2Vl)^0 /. w -

/,<*> -

 

(£>-].

Лw —

 

 

FlS

1Г

 

 

ViVi) D,s,sln e

Vis-sin 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f* («) =

VIFI (s)

 

VxT2T

 

1

Г F2 (s)

 

(1 — ViV2) P0s- sin 0

V2D0 • ф(5)=

D2S l

sine

* Фг(5)"ф’

 

 

 

 

 

dOi (s) 1

 

 

 

(3,8,62)

 

 

 

+<M »)+‘ - £ U J*

 

 

 

 

Ф1 (s) == (v ir Ф v1 ^

2r) »

(s) ------ (V a^ir -ф"

г) •

 

Рассмотрим некоторые частные случаи решения системы

(3, 8, 61).

С л у ч а й

1 . Оболочка равномерно

нагрета

по всей поверхности. Решение задачи

сводится к интегрированию

следующей системы

дифференциальных

уравнении:

 

daV

*Ф"

1

dV

vV

я,?«

===kxls,

 

 

ds2

s

ds

s2

s

(3,8,63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2d

1

1

dft

 

 

k2/s,

 

 

ds2

__ ,

ds

s2

s

 

где

*T

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= v (1 — ViVa) P 0 ctg 0, Я,| = ctg 0/D 2,

kx = (1 — ViV2) (vTlr — 7 2r) ,

 

/г2 = [О — v2) M lT — (1 — vx) M 2T]/P 2,

v =

 

v2/v1 .

 

 

Решение

системы

 

дифференциальных

уравнений

(3, 8, 63) путем введения комп­

лексной

функции

а = 0

 

— i ^гД гУ

сводим

к решению следующего

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

^

 

 

^2 — Л а Д г ^ 1

 

 

/о о

 

 

 

 

 

 

 

L (а )— -------- а =

----------------------- ,

 

 

(3,8,64)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

где

L =

d2

4

1

 

 

d

v

 

— линейный дифференциальный оператор.

 

~ , о

—

• —— — —

 

 

 

os2

 

s

 

 

as \

s3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводя новую независимую переменную х ; и новую функцию т по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

х =

 

 

 

 

 

 

т = У " х а ,

 

 

(3,8,65)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T^

-

[ ( 4 v -

- ^

)

-

т ) " 7

Г

+

t‘] T==(*!1_

 

(3.8,66)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

i = =

k f X 2 t

/^2 = = ^ г /^ 2 *^1 •

 

 

 

 

Общее решение уравнения (3, 8 , 56) складывается из решения однородного урав­

нения и

частного

решения

неоднородного

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т =

/ 5

• Ь

Ы

2 1 Г 5 (

i

V

h+ )с аУ2^ (i КЬ)] +

 

 

 

 

 

 

^

Т

 

У 2 vV*

 

 

У xV8/2 VV

У7 *) & — ***)

“

 

 

 

 

-

Т

 

; 2 / V (£ V7 *)У * 3/^

2

 

(* / * * ) • & -

Я д dx,

(3,8,67)

гДе

W

^ 9

Vv — ФУНКЦИИ Бесселя

соответственно

первого

и второго рода

индекса

2

У v; C i, С 2 — комплексные постоянные.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для длинных оболочек аргумент бесселевых функций принимает большие значения

и их вычисление с точностью 1 /х можно проводить по асимптотическим формулам

 

 

 

 

 

 

 

- =

1 /

----- --- —

 

COS (i Y 'ix — я /4 — K v n ),

 

 

 

 

 

 

2 Vv

у

щ у

ix

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,8,68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

- 1 /

----- — sin (* ] / Б — я/4 — / v n ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Vv

 

я* У/x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для функций Ф и V с учетом

(3, 8, 65)

и (3, 8, 67) тогда получим

 

 

 

 

ех1V2

 

 

 

 

 

 

 

 

p-*/V2

 

 

 

 

 

 

Ф =

— — — [Сх cos ф 4

С2 sin ф] 4

 

 

 

■(С3 cos ф ф* С4 sin ф) 4

»

 

 

 

V'x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тГх

 

 

 

 

У = — ^>1

 

——— (С2 cos ф — Ci sin ф) 4

е

х1У2 j Y x (С3 sin ф — С4 cos ф) 4 &а

 

 

 

 

exl V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v -

-

 

 

 

 

 

 

 

Ух

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,8,69)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n> = -

 

 

 

 

 

 

 

 

C i(i= 1 , 2 , 3 , 4)

 

 

постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Подставляя О и V в формулы

(3, 8, 60)

и учитывая

(3, 8, 65), получим:

а)

для усилий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1==-

 

e*lV2

 

 

 

 

,-х /У 2

(Cs sin -ф — С4 cos I|J) -ф k2

1

~— (Са cos ^ — Ci sin \(>) ,ф

Ух

 

*а

Ух

 

 

 

 

 

 

] •

 

2%\ |

ех/У2

 

 

 

„-х/У2

 

 

 

 

Т, = —■

у 2 х [С1(р1(х) — С2(р2(х)]ф

 

У 2х

[С4ф з М - С 3ф4(*)] ,

(3.8,70)

JV =

4Х| ctg е

 

JCIV2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*а

L

Ух - (С2 cos ф — Сх sin ф) ф-

к ;

• (С3 sin ф — С4 cos ф) ф

б)

для моментов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Х к D

\ ех^ ^

[С1 Ф1 (х) -ф С2фа (х)] —

 

 

 

М 1Г ф-

*

| — ——

 

 

 

 

 

I

у

2х

 

 

 

 

 

 

 

 

e - x ,V l

 

 

 

 

 

 

2 va

J

(3,8,71)

 

 

 

[С3фз (*) 4* С4Ф4 (х)] ф

х

^ ( *»

 

 

 

У 2 х

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

2у2ХУ2Р2| е*//2

- [С1Ф 1 (х) ф С2ф2 (х)] —

 

 

 

М 2Т "ф М 2 — ■

*

1

/

2 х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'e~x l V l

 

 

 

 

 

 

2

ttl

 

 

 

 

---------—-----(СзФз (*) ф- С4ф4 (х)] ф- — — О ,

 

где

 

 

у 2 х

 

 

 

 

 

 

vi*

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф1 (х) =

 

cos ф

 

ф2 (х) =

 

 

sin ф

;

 

cos ф ф sin ф — — — ;

 

sin ф — cos ф — — —

 

 

 

 

У^2 х

 

 

 

 

 

У2х

 

 

Фз (*) = cos ф — sin ф ф

cos ф

 

ф4 (х) =

 

 

sin ф

 

 

— :— ;

 

sin ф ф cos ф ф ———

 

 

 

 

 

у

2.x

 

 

 

 

 

У2х

 

Если края оболочки достаточно далеко удалены друг от друга, то можно вести расчет для одного края независимо от другого. В этом случае решение задачи распа­ дается на два независимых решения и процесс определения постоянных упрощается.

С л у ч а й 2 . Распределение температуры вдоль образующей усеченной конической оболочки, находящейся в потоке газа, может быть аппроксимировано выражением

Т = Г0е - а£,

тде Т0— температура у меньшего основания, £=lns/s0 — новая независимая перемен­ ная, а — некоторый постоянный коэффициент, s0— расстояние от вершины до меньшего ■основания.

В этом случае выражения (3, 8, 25) можно представить в виде

 

 

Dn =

D°0 (1 -

ftfV -**) я

Dt e^

;

 

 

D22=

D\ (1 -

piT0e—aE) я

D j * ;

 

T i r = W

[e- ° t _ (Pl _ Yl) т ,е --2^ -

plYl (T,)2e - 3^ ];

(3,8,72)

W 1 — MjM2

где DQ,

— величины жесткостей D0 и D2, взятые при температуре у меньшего осно­

вания; b — некоторый постоянный коэффициент.

 

 

Тогда, вводя вместо v новую

функцию v = ve~b^t преобразуем систему

уравнений

(3, 8 , 61)

к виду

 

 

 

 

- ^ 7 - + Ъ

— (v — Мф)

= ч» (£).

(3,8,73)

- ^ 7 - f ь

— (v — мф)Ъ—

А » = о ,

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7?х = s o£?oftvctg 0 ,

%\ =

12 (1 — V]V2) S0 -ctg 0/£°oft3,

 

ф g) =

М "(а+Ь- 1)Е -

^

- (2a+b- 1)S -

fese-(3a+6- 1>E,

(3,8,74)

 

&x ^ SQVEIQHTQ [a10 — G20 (1 4 a 4 Ь)],

 

 

 

 

 

 

 

 

k2== s0v £ 10fi (T*)2 [a10 ф х — Yi) — <*20 (P2 — Y2) (1 4

2a 4 - 6)],

 

k3 = s0v E10h (T0)3 [axoYiPi — а ^ У г (1 4- 3a 4

&)].

 

 

Система уравнений

(3, 8, 73)

с

помощью

замены

функций

и

независимой пере-

менной по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ _

 

 

 

 

 

 

 

a = О — X2l^ iiv , г] =

2 V

'к2к1е~~У2,

a = тт]

v 2

*

 

сводится к одному уравнению вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сРт

-ф-i j

г =

ет] 2

 

(PiTj

2а — р2Ц~*а — р3г\ 6а1.

(3,8,75)

^ 4 р —

 

dr\8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р = V — v26 -ф- Ь2Ц ,

Pi = — - г 1 *1(4 ^ 7 1)а+ь

1

 

 

 

 

 

 

 

 

^1

 

 

 

 

 

Рз = -----h

(4Х2Х,)2а+г’-

1 ,

р3 =

4

*з (4X2Aa>3a+b—1

 

 

 

 

 

 

 

 

Ях

 

 

 

 

 

Полученное уравнение представляет

собой

одну

из форм

уравнения

Бесселя..

Общий интеграл этого уравнения можно представить в виде

 

 

 

'

■*= Ч 2 +& [ ы 2УЬ<*' ^

 

 

^

п (i VIri) + ~ T YzVp*

 

х J Л

12 /р (»К^л) 2 (л)<*Л

4

72 Vp

 

 

Х

 

 

х j Л

 

 

(»У7 л) z (л)*|-

 

 

 

(3,8,76)

где z ( TJ) = Р 1т| 2а—Р2г\~Аа—РзЛ“6а»Ci, С2— комплексные постоянные.

Зная т, определим Ф и и, пользуясь которыми можно определить усилия, моменты и перемещения. Для случая, когда аргумент бесселевых функций принимает большое значение, можно воспользоваться асимптотическими формулами для этих функций. Та.к, для функций v и Ф получим следующие выражения:v

v = — -г^ “ jCich —3— cos т]х — С2 sh —— sin тц 4 С3 ch TJ/ ) ^ 2 sin т|х —

Я2 I

/ 2

У 2

— Ct sh

 

cos %

Tli

 

sh

 

cost)! Гt| t3+ fc)z (т)) (

c h —^ c o s t | i 4 -

 

V2

 

 

 

 

 

Г2

L

 

J

 

 

 

v

V2

 

 

4- sh T) / / 2 sin Т)! ] dt) - f

sini)

ГT)~(3+ fc) z (i))

f ch —

sin n - f

sh —

cos

d\

 

 

 

/

J

 

 

 

V

v s

 

 

 

 

V i

 

J

 

 

Ф =

Cich r]JV2 sin % -ф- Cs sh

V 2

cos ть — C ish —^— sin ть —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V i

 

 

 

 

(3,8,77)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— Cs c h —

 

cos Т)!— t) ^l+ ^ c h —7 —

sin% i T)

*3+ ^ Z (T)) (

ch

 

cos r|t -ft-

 

F2

 

 

 

 

 

F2

L

 

J

 

 

 

\

V%

 

 

4 - sh —

I- sin ть

 

dn — cos r|i

\

т Г (3+(,) г (T))

(

ch —-— sin

-J- sh —

cos T),) dr\

V i

 

)

 

J

 

 

 

\

/ 2

 

 

 

 

V i

 

 

 

где r)1 =

T)/'K2-f 7

+ я / р .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л у ч а й

3.

Температура

вдоль

образующей конуса изменяется

по

закону

 

 

 

 

 

 

 

T==T*e-<i(l-s/s„),

 

 

 

 

 

 

 

 

где d — некоторый постоянный коэффициент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае выражения

(3, 8, 25) запишутся в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£>i и ---------- ec(l~x),

 

 

4)*3

ес(1

*)^

 

 

 

 

 

 

D2 л ---------------

 

 

 

 

 

 

 

1 — ViV2

 

 

 

 

12 (1 — ViV2)

 

 

 

 

 

 

 

N IT =

(£юа10ЛТ0)/(1 -

Vlv2) [e~d^

-

(рх -

Yl) T 0e ~ 2dxx- X)-

 

Ш Т о Г е ~3“{' - х)],

T 2 T =

(EmamhT0)H 1 -

Vlv2) [e7d(l- x) -

(p2 -

yt) T0e~2dxx~ x) -

 

p2y2 (T .)* "3* 1- * '] ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,8,78)

где x=«o/s — новая

независимая

переменная,

£ JO — модуль Юнга,

взятый

при

темпе-

ратуре у меньшего основания, С — некоторый постоянный коэффициент.

 

 

 

Тогда посредством

замены

V =

 

 

 

разрешающие

 

уравйения

(3, 8, 61)

запишутся в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,8,79)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ! (х) = k1e~dil~ x) — kle~2d(X~ x) — fe3e—М(1_х);

klt

k2 и k3

 

 

определяются формулами

(3, 8,

74),

в которые

вместо

а и

Ъ соответственно

следует

подставить d u e .

 

система уравнений

путем

введения

новых

функций

независимой

Однородная

переменной по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о =

(с 4 - 2 xt)

о =

тх- Yv

 

 

 

 

 

 

(3,8,80)

 

 

 

 

 

 

 

Ц,

1 =

СХ

 

 

 

2Ц

сводится к дифференциальному уравнению так называемой вырожденной гипергеомет­ рической функции

сРт

+ (У -

dx

™ = 0 .

(3,8,81)

Е

Э

где

р ,= 1 + 2V2 — Vу , р = и /с ,

 

а = |х ^ - р /,

 

X =

1““

4АД;

Y= 1 — 2 |Av.

 

 

 

 

 

Общее решение уравнений (3, 8 , 81)

при условии

 

у ф О, ± 1 , ± 2 , zh 3,

± д ,

 

которое для ортотропных оболочек практически всегда выполняется, может быть пред­ ставлено в виде

t = C iF (a, у, |) + С 8^ ( о + 1 - у , 2 — у , |) ,

(3,8,82)

тде гипергеометрическая функция ^ (а , у, £) определяется рядом

оо /г—1

*(«*. Y. £) = 1 * ^

[ П

 

___ 1 Е*.

(1

+ п) (У + П )]

k=l

n=0

 

 

Применяя к полученному ряду признак Даламбера, нетрудно убедиться, что этот ряд сходится при любых значениях а, у и £.

Частные решения неоднородной системы уравнений (3, 8, 79) отыскиваются в виде

i ?

- * * " '’ 1-

' 1£

р,„л

i '1-

' 1£ „ , * " ,

тде

 

л=0

 

л=0

 

mi =

c ^ r d ,

 

 

i =

1 , 2 , 3 ;

т 2 = с-ф-2^,

т 3 = с-ф* 3d.

После подстановки и” и Ф” в систему уравнений (3, 8, 79) получим следующую систему для определения коэффициентов Pin к qin’.

 

j Рin (n* - V) * »

+

£

[Xfon - (lin 4

/ i ) p in ] * Л + ‘

4 - 6 i £

P in * n + 2

=

* 2 ,

 

n—Q

 

л=0

 

 

 

 

 

(3,8,83)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

qiP (n2 — v) %л + V

[ _

pin — (//n + f t — c) qtn] xn+i 4- б,- £

<?/„хл + 2 =

0 .

л=0

л=0

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z; = с — 2mi,

/; = /я* -ф cv2-^ с,

6 i = m? +

w/c (i =

1, 2,

3).

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х\ будем иметь бесконеч­ ную систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов pin и ^ п.

Общее решение неоднородной системы уравнений (3, 8, 79) представится как сум­ ма общего решения (3, 8, 82) однородной системы и частных решений. Для функций V и О получим следующие выражения:

Це с{Х~ х)

—[СЛ (сх) -ф С2ср (сх) -ф С3Х (сх) — C4q>i (сх)] тф

XXVv

 

о

оо

4- X2 ^

к ё ~ т ~ х) (рй — *Рг , 4 ^ Р/П*л| ;

/=1

п=2

■ г г » ) ]

где

w о о

ф (сх) = 1 4- А

2(а04 £

a n e w );

X (сх) =

А * ( £ hicnxn 4 &о)!

 

 

п=1

 

 

п=1

*

 

ОО

 

 

ОО

 

<Pi (сх) = (сх)2 [ 1 4 A *

(ooi 4

ancnxn j ;

Хх (сх) =

(сх)2<1+ ^ v) ( Ь014 £

6Я1Слхлj ,

 

П=\

 

П—\

 

Си ^2, Сз, С4— произвольные постоянные интегрирования, определяемые из граничных

условий.

Коэффициенты a n, bn, ani, bnь pin, <7in вычисляются с помощью рекуррентных

формул

 

 

 

а„ =

(|г 4 1 4 п) ая_ ,

 

 

 

6Я_ ,

 

 

 

 

 

 

(24n )(Y4 1 4 « )

P (2 4 n )(Y4 l

4 « ) ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рап-1

 

 

 

 

(ц 4

1 4 п)

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 4 п )(у 4 1 - fn )

( 2 4 / t ) ( v 4

! 4 n ) ’

 

 

 

 

_

(ц 4 2 — у 4 я)

 

 

an—1, 1

P

 

&n -i, i

 

 

an, 1 — /о _к

n _

_±

n)

(24ft) ( 3 - Y *

«)’

 

 

 

 

(2

4

/1) (3 — у 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pa« - i, 1

 

 

 

(u ф

2 — V +

n)

 

 

 

Я. 1 ’

 

(2

4 n) (3 — Y 4

 

+

гт—

1--------—

ft'n—I»

 

 

 

 

 

 

«)

(2 4 ft) (3— Y 4

ft)

 

_

j H

M

_

 

 

_

 

 

 

 

 

 

M>+

2 — 7

 

^01— ‘

<h—

л /

,

14 »

ft)—

2 (Y

+ 1)’

 

°01

 

?

 

2 (7 + 1 )’

' u

 

 

 

2 (3 - 7 )

"01

2(3 — у) '

 

 

Ptn --- ---

^ 1

Qj,

n—1

 

 

+ 2) lj ф

/i] Pit

n_ \ — 6fp/t n__2

 

 

 

 

 

 

 

 

(a ^ 2 ) 2 — v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ят =

 

 

л-1 +

Кл +

2) h +

Л* — c ]

 

n__x — 6/<7£f л—2

 

 

 

 

 

 

 

 

(п-f 2)2 —v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fyo — ‘

1

,

qib —0 ,

Pii —

 

 

3l i ^ f j

-,

Qii =

■

 

— v

(4 — v)(^ — v)

 

 

4

’

 

 

 

 

 

 

 

 

(4 — v)(9 — v)

Зная ft и v, по формулам (3, 8, 59), (3, 8, 60) определим усилия, моменты и пере­

мещения.

§ 9. ПРИЕМ П. Ф. ПАПКОВИЧА. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА

Рассмотрим применение метода Ритца—Тимошенко к задаче устой­ чивости круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии силой Р и поперечном давлении q [92]. Опыты показывают, что при действии на

цилиндрическую оболочку осевой сжимающей силы и поперечного давления осуществляется «несимметричная» относительно начальной срединной поверхности волнообразная форма потери устойчивости. Функцию прогибов удобно выбирать в форме [94]

а» = /о + A sin

sin - ^ - + / 2 sin2 ^

- ,

(3,9,1)

I

K

L

 

отражающую симметричные (/2= 0) и несимметричные (/2=^=0) формы потери устойчивости [93]. Слагаемое /0 учитывает радиальное обжатие концевых диафрагм оболочки. Без этого слагаемого напряженное со­ стояние оболочки до потери устойчивости нельзя считать безмоментным. В (3,9,1) 2п — число полуволн по длине окружности, m — по обра­

зующей, х — координата вдоль

образующей,

у — по направляющей,

г — по направлению к оси цилиндра.

Бурдина

[92],

перепишем (3,9,1)

Рассматривая решение П.

Г.

в форме

 

 

 

 

ш = /0 + / 151п ^ 5 1 п ^

+ / 251г^

( у

(ЗД2)

Применяя прием П. Ф. Папковича, внесем (3,9,2) в. правую часть уравнения неразрывности для гибкой цилиндрической (при fci= 0) обо­ лочки (2,15,23) и, разрешая его относительно функции напряжений, получим

 

 

 

(sn)2

l - L -

COS-----

— Н-----------

 

 

c o s 2 ---------

2 sx

 

 

 

 

Ф = E f\

 

 

2

пу

. - " 1

 

„

)+

 

 

 

 

\ 16л*

R

 

16s*

 

R

 

+ £/1/2(sn)2 Г----

(3s,-----n)

sin3

sin — --------

 

 

^— sin — sin —

] -}-

 

 

L

 

R

 

R

 

(s,n)

R

R

J

1

c r

&R •

sx ,

ny

 

R

 

2

sx

 

kRx*

Py2

(3,9,3)

 

 

 

 

 

2h

 

 

(s-n)

R

R

, 2 8s2

 

 

R

 

2

 

Здесь k R / h — среднее нормальное напряжение, действующее в се­ чениях по образующим и подлежащее определению, а

 

 

 

(as,

bn)=[(asy+(bn)*r.

 

 

 

 

Из

(3,9,3)

найдем формулы для напряжений

ах

ду2

у

дх2

 

д*<р

 

 

 

 

 

 

®ху

и внесем их в выражение для полной энергии системы

 

дх ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э={Уср + (/изг + Ц ^ _ Г р,

 

 

 

(3,9,4)

где потенциальная энергия деформации срединной поверхности

 

 

 

/2я«-

 

 

 

 

 

з*ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

дх2

ду2

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,9,5)

потенциальная энергия изгиба оболочки

 

 

 

 

 

 

 

L2KR

 

V

 

 

Г

 

 

 

 

U

— D Г Г

I f д2w 1

0 / 1

.л

d2w

f d*w

\ 2Т|

j j

 

 

 

^

 

 

_v)

№ ■

 

(- ш ,) Jr ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,9,6)

работа поперечного давления на радиальных перемещениях

 

 

 

 

 

 

 

l2nR

 

 

 

 

 

 

 

 

Wq = q J f

wdxdy,

 

 

 

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности