книги / Оболочки и пластины

где

уравнений равновесия для конической и цилиндрической оболочек, меж­ ду ними существует математическая аналогия — они одинакового типа.

Все члены уравнений, характерные для цилиндрической оболочки, содержатся и являются наиболее существенными в уравнениях для ко­ нической. Из решений уравнений для конуса, как частный случай, мо­

для конуса и цилиндра. Однако это различие не существенно для экс­ периментального решения.

В самом деле, уравнения для конуса и цилиндра в смысле наличия -производных по дуговой координате не отличаются друг от друга и имеют одинаковые решения по этой переменной. В силу этого уравнение (3,19,8) при а*=т* = 0 совпадает по своему типу с уравнением (3,21,3).

Допустим, что уравнение (3,21,3) решается любым* из приближен­ ных методов для какого-то вида граничных условий (например, свобод­ ное опирание).

После минимизации критической нагрузки и исключения волново­

конических оболочек из алюминия [135] константа С в формуле (3,21,5) изменяется от 2,18 до 2,74.

Однако в идеальном случае для определения константы С в этой формуле требуется эксперимент с одним образцом.

Для цилиндрической оболочки длины I в формуле (3,21,4) следует выполнить операцию предельного перехода, а именно

ного определения функции f ( t ) в опыте необходимо изменить лишь от­ ношение ri/ro. При этом вид этой функции не зависит от угла конусно­

мулы для критических нагрузок кони­ ческой оболочки могут быть получены из соответствующих формул для

цилиндрической оболочки путем введения в них вместо длины I и ра­ диуса R соответственные величины для конуса r xt и ritgy. При этом в формулы для конической оболочки следует также ввести в качестве множителя функцию вида f { i ) , подлежащую определению из экспери­ мента. Легко видеть, что для определения вида этой функции требуется минимальное количество экспериментов.

В рассмотренной задаче знание природы решения по одной из ко­ ординат позволяет при 'моделировании процесса выпучивания не соблю­ дать условия геометрического подобия. Этот же вывод является спра­ ведливым и при других видах нагружения конической оболочки.

2. Математическая аналогия в экспериментальных исследованиях

Установленная выше приближенная аналогия между задачами устойчивости цилиндрических и конических оболочек носит универсаль­ ный характер и с практической точки зрения особенно важна для не­ линейных задач устойчивости, математическое решение которых трудно­ доступно. Мы видели, что для конуса при деформации, доминирующей в окружном направлении, структура формул критических нагрузок как для замкнутой, так и для усеченной оболочки совпадает со структурой

;

аналогичных формул для цилиндра. Практически это означает, что для установления аналогий в каждом конкретном случае (граничные усло­ вия считаются однородными) достаточно уравнения равновесия кониче­ ской оболочки, сохраняя в них лишь старшие производные, привести к виду уравнений для цилиндрической оболочки.

Рассмотрим задачу устойчивости конических панелей под действи­ ем равномерного внешнего давления. Эта задача в настоящее время теоретически не решена. В литературе известны лишь некоторые прак­ тические рекомендации по -расчету свободно опертой по всем кромкам конической панели, находящейся под действием равномерного внешнего давления. Чтобы получить решения на основании излагаемого смешан­ ного теоретико-экспериментального метода, будем исходить из нели­ нейных уравнений равновесия конической оболочки с толщиной, меняю­ щейся по линейному закону, т. е.

h = h0r\ K = Eh0r/(l — ч*) = Ко'П D = Е/г^г3/ 12 (1 — v2) = D0r.

Здесь ограничимся случаем оболочки переменной толщины с целью по­ лучить уравнения (справедливые и для оболочек постоянной толщины), которые могут быть использованы для экспериментального решения различного рода задач устойчивости конических панелей.

При составлении уравнений -равновесия, в соответствии со сказан­ ным выше,- будем пренебрегать низшими производными по продольной координате по сравнению со старшими, характерными для цилиндриче­ ской оболочки. Для чисто теоретического решения такого рода упроще­ ния недопустимы и не могут быть приняты без обоснования поведения решения. Для экспериментального решения задач такого рода упроще­ ния безразличны.

Учитывая это, уравнения равновесия для оболочки переменной тол­ щины можно получить из уравнения (2,15,23), вводя вместо h значение Л = Л0г. Преобразуем уравнения с помощью подстановок:

ния. Так как функция %(Х, t) в формуле (3,21,8) не зависит от угла ко­ нусности, то значения ее определялись по результатам замера крити­ ческого давления-^хл для панелей 2у = 90° при переменных X и t.

На рис. 3.63 и 3.64 представлены значения функции %(Х, t) ДЛЯ алюминия с коэффициентом Пуассона v = 0,26.

На рис. 3.65 и 3.66 представлены значения функции х(Х, t) для константана с коэффициентом Пуассона v=0,31.

Zttj

Значение функции x(X, t) зависит от материала, что обусловленовлиянием коэффициента Пуассона. Функцию х(^> О для панелей с п/г0г^;1,2 можно считать постоянной для всех значений X.

нусности находим по формуле (3,21,8), определяя для данной панели с параметрами X и. t значение х(^> 0 по приводимым графикам. Крити­ ческое давление qh по формуле (3,21,8) получается завышенным для большинства панелей на 10—15% по сравнению с экспериментальным значением qxЛ. Можно получить нижнюю границу для критических дав­ лений конической панели, если при определении функции %{Х, t) в фор­

3.Локальная устойчивость конических оболочек

Втех случаях, когда при потере устойчивости оболочки на ее по­ верхности во взаимно перпендикулярных направлениях образуются

очень короткие волны, длина которых порядка V Rh, для исследования устойчивости можно применить уравнения локальной устойчивости. Эти

уравнения при допущении в них внутренней погрешности порядка / I

по сравнению с единицей являются уравнениями с постоянными коэф­ фициентами и содержат в себе лишь высшие производные. Эта идея упрощения уравнений, первоначально использованная в линейной тео­ рии краевого эффекта, в теории устойчивости впервые, по-видимому,, была применена И. Я. Штаерманом [138]. Позднее Ю. Н. Работнов раз­ вил эту теорию, назвав ее теорией локальной устойчивости оболочек [140]. В монографии [139] В. 3. Власов обобщил эту теорию на случай нелинейных задач. В статье [137] А. В. Саченков уточнил процедуру применения уравнений локальной устойчивости, показав, что последниеможно использовать не только в тех случаях, когда область выпучива­ ния незначительна по сравнению с характерными размерами оболочки, но и когда наблюдается общая потеря устойчивости с образованием одной полуволны по длине оболочки, например, в случае конической оболочки при внешнем давлении. Применительно к конической оболоч­ ке ниже излагаются результаты, принадлежащие этому автору.

Обратимся к упрощению нелинейных уравнений равновесия тонкой конической оболочки, допуская, что потеря устойчивости характеризует­ ся появлением мелких волн на ее поверхности, т. е. характер ее является локальным.

Преобразуем уравнения равновесия (3,19,2'), вводя следующие подстановки:

f и wx. Эта преобразованная система уравнений в свою очередь может быть значительно упрощена.

Уравнения равновесия, которым функция усилий ф удовлетворяет тождественно, приближенные. Они не учитывают влияния перерезыва­ ющих сил. Неучет этих сил эквивалентен пренебрежению единицей по сравнению с квадратом числа окружных волн п2. Если оболочка не является длинной, то п2^ 1, и пренебрежение единицей по сравнению с п2 не ведет к значительным погрешностям. Математически это озна­ чает пренебрежение функцией по сравнению с ее второй производной' по фЬ т. е. функции при дифференцировании считаются существенно

мощью (3,19,9) уравнениях функцией по сравнению с ее второй произ­ водной, приходим к следующей системе:

(3 ,2 1 ,1 0 )

Эти уравнения будем считать исходными для несимметричной дефор­ мации конической оболочки при /г2>1. Интегрирование их представляет большие трудности. Однако они могут быть сильно упрощены в случае весьма распространенных видов нагружения, сопровождающихся появ­ лением мелких волн во взаимно перпендикулярных направлениях. При этом функция усилий и функция прогибов изменяются как быстро воз­ растающие функции и отношение двух последовательных производ­

Так как в этих уравнениях сохраняются лишь старшие производные, а переменные коэффициенты при них, являющиеся геометрическими ха­ рактеристиками оболочки, изменяются плавно, то последние можно рассматривать как постоянные параметры, подлежащие определению из условия минимума критической нагрузки. Это соответствует рассмот­ рению устойчивости малой части оболочки вблизи z= zc, метрику кото­ рой можно считать евклидовой. Поэтому в уравнениях (3,21,11) мы по­ ложили

ez — eZf = const.

Выполняя в (3,21,11) дополнительные преобразования

/ = F/ezc\ wx = wlrx ctg уег< ; z = xfrxe \ cpx = у/гхег',