книги / Оболочки и пластины

Если это имеет место, то усилия с достаточным приближением можно выразить так:

все одного и того же порядка; на расстояниях от концов, превышаю­ щих величину (a h )'>*, ei, 62 становятся малыми по сравнению с Лхг. Нетрудно показать, что в данной статической задаче потенциальная энергия растяжения будет порядка величины, равной произведению

(тУна потенциальную энергию изгиба.

В случае колебаний легко усмотреть, что растяжение, обеспечивав­ шее выполнение условий на краях, ограничено практически узкой поло­ сой вдоль краев. Связанные с этим изменения общей потенциальной энергии и периода колебания настолько малы, что ими можно прене­ бречь.

§ 3. КОНИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА

Задача о собственных колебаниях некруговой конической оболочки, следуя Л. Г. Агеносову и А. В. Саченкову [4, 5], может быть рассмотре­ на по аналогии с некруговой цилиндрической оболочкой. Действитель­ но, структура исходных уравнений неразрывности деформаций и равно­ весия в направлении нормали к поверхности оболочки, по продольной координате для некруговой оболочки полностью совпадает со структу­ рой подобных уравнений для круговой оболочки, следовательно, пред­ ставляется естественным после замены переменных проинтегрировать указанные уравнения сначала по продольной координате методом Буб­ нова—Галеркина. Полученная система двух уравнений в обыкновенных производных тождественна аналогичной системе для соответствующей цилиндрической оболочки. Указанное совпадение дает возможность распространить имеющиеся решения для некругового цилиндра на пря­ мые конуса соответствующего поперечного сечения. Указанная здесь методика используется при получении характеристического уравнения собственных колебаний некруговой конической оболочки. Оболочка счи­ тается пологой, и учитываются только нормальные силы инерции [5].

Квадрат элемента длины на поверхности конической оболочки про­ извольного поперечного сечения можно представить в виде

где г — расстояние по образующей от вершины конуса, ср—-угол между некоторой аксиальной плоскостью и плоскостью отсчета, уо — угол меж­ ду высотой конуса и образующей некоторого аксиального сечения, /(ср)— заданная функция, характеризующая геометрию оболочки. Ко­ эффициенты первой квадратичной формы и кривизны нормальных сече­ ний определяются равенствами

уравнений собственных колебаний упругой изотропной оболочки имеет вид

причем при интегрировании по координате z величины 5f выносятся за знак интеграла, так как Si=S<0p). Уравнения (4,3,6), (4,3,7) являются исходными для решения задач устойчивости и собственных колебаний конических оболочек произвольного поперечного сечения при любых нагрузках и граничных условиях. По своей структуре они совпадают с аналогичным^ уравнениями для круговых конических оболочек [4].

Если оболочка нагружена равномерным внешним давлением интен­

Так как рассматриваем только замкнутые конические оболочки, то решение должно быть периодической функцией координаты Ф, к тому же принимается w 2= F 2. В силу этого имеем из (4,3,8)

S i—Sj, S2=Se, S 3 = S 9.

Итак, решение задачи разбилось на два этапа. С одной стороны, задаваясь определенным контуром поперечного сечения и вычисляя интегралы S u можем определять по уравнениям (4,3,6), (4,3,7) часто­ ты и критическую нагрузку для оболочки заданной формы при любых граничных условиях. С другой стороны, удовлетворяя заданным гра­ ничным условиям и интегрируя уравнения (4,3,6) и (4,3,7) по коорди­ нате z, получим характеристическое уравнение для оболочки произволь­ ного поперечного сечения.

В качестве примера рассмотрим коническую оболочку эллиптиче­ ского сечения. Пусть а — большая, Ъ — малая полуоси эллипса, е — экс­

центриситет, причем е2 = 1 — 4 ".

Функции f ( cp), i|3i(cp), характеризующие геометрию оболочки для эллиптического сечения, имеют вид

[1 — е os8 ф (1 -£• cos2 ур — е8 cos8 уо)]'^

/ ( ф) =

(1 — еа cos8 ф.cos8 Yo) (1 — е2 cos2 ф)'^

(4,3,11)

(1 — е8) (1 — е8 cos8 ф^соэ8 ур)^г

Ы ф ) =

fl — с8 cos8 ф (1 4- cos8 Yo — в8 cos8 Yo)]3^

угол yo берется в аксиальном сечении конуса, проходящем через малую ось эллипса, а угол ф отсчитывается от осевого сечения, проходящего через большую полуось.

Вычислим интегралы S,. Функции w 2 и F 2 примем равными

Интегралы S { можно вычислить, разлагая подынтегральные выра­ жения в ряды Маклорена по степеням е2, ограничиваясь (для малых эксцентриситетов) тремя членами разложения. После интегрирования получим

где ef. = et (е) соответственно равны:

Пользуясь полученными выражениями для S*, из уравнений (4,3,6), (4,3,7) можно определять частоты и критическую нагрузку для кониче­ ской оболочки эллиптического сечения при произвольных граничных условиях. Проиллюстрируем это на примере свободно опертой по краям оболочки. В качестве аппроксимирующих функций примем

tг0

г1 — расстояния по образующей от вершины конуса до точек малого и

большого оснований соответственно.

У некруговых конических оболочек длина образующей, т. е. рас­ стояние (г1—г0), величина переменная, зависящая от угла ф, так как Го= го(ф) и Г\ = Т\ (ф). Однако отношение n /го, а следовательно, и зна­

пендикулярным аксиальным сечениям конуса, в которых радиус кри­ визны поперечного сечения имеет максимальное и минимальное значе­ ния, обозначим соответственно через г*, г\ и г*1, г”. Так, для эллип­

тического конуса вида (4,3,11) это будут сечения, проходящие через малую и большую оси эллипса и определяемые значениями угла

где а — радиус сферы. При колебаниях второго класса аналогичное соотношение будет

второго класса, и наиболее низкий тон соответствует наиболее медлен­ ному из двух колебаний этого класса при п = 2 . Его частота

если коэффициент Пуассона v = 0,25. Частоты всех этих колебаний не зависят от толщины оболочки.

В предельном случае плоской пластины виды колебаний распада­ ются на два главных класса: один соответствует деформациям без удли­ нений со смещениями, нормальными плоскости пластины, второй — деформациям, сопровождаемым удлинениями, когда смещения парал-v лельны плоскости пластины. Здесь могут быть продольные колебания, когда смещения параллельны плоскости пластины; колебания этого класса распадаются на два подкласса: к первому относятся такие, в которых срединная плоскость не испытывает деформации, ко второму относятся колебания, в которых смещения аналогичны касательным смещениям в замкнутой сферической оболочке. Возможны также коле­ бания второго класса, при которых смещение имеет как нормальную к плоскости пластины компоненту, так и компоненту, лежащую в этой плоскости; если пластина тонкая, то первая компонента будет мала по сравнению со второй. Нормальная компонента смещения исчезает на срединной плоскости, а нормальная компонента вращения исчезает всюду, так что эти колебания аналогичны колебаниям второго класса в замкнутой тонкой сферической оболочке. Есть еще класс колебаний изгиба, когда смещение имеет и нормальную и касательную компонен­ ты, причем последняя мала по сравнению с нормальной в случае, если пластина тонкая. Касательная компонента исчезает на срединной пло­ скости, так что деформацию приближенно можно считать не имеющей удлинения. При этих колебаниях линейные элементы, которые вначале были нормальны к срединной плоскости, в течение всего движения остаются прямолинейными и нормальными к той же плоскости. Часто­ та колебания приблизительно пропорциональна толщине пластины. Подобные колебания без удлинения, как уже отмечалось ранее (см. § 2 этой главы), в замкнутой сферической оболочке невозможны.

Между этими крайними случаями находится незамкнутая сфера, или сферический свод (купол). Если отверстие мало и оболочка почти замкнута, то колебания ее близко подходят к колебаниям замкнутой оболочки. Если же телесный угол, под которым отверстие в оболочке видно из полюса, находящегося на части сферы, замыкающей оболочку, мал, а радиус сферы большой, то колебания приближаются к таким же, как и у плоской пластины. В промежуточных случаях встречаются колебания, которые практически принадлежат к типу протекающих без удлинений или к типу колебаний с удлинениями.

Исследование колебаний без удлинений тонкой сферической обо­ лочки с граничным контуром в виде окружности впервые дал Релей [6]; он применил энергетический метод. В случае полусферы частота наи­ более низкого тона

(4,4,4)

Когда определяющий величину отверстия угол а близок к я, сфера бу­ дет почти замкнута и частота самого низкого тона этих колебаний равна

(4,4,5)

Пусть угол (я—а) становится достаточно малым; оставляя h неиз­ менным, можно для частоты самого низкого тона колебаний без удли­ нений получить значение, сколь угодно большее, чем самая низкая частота колебаний замкнутой сферической оболочки (колебания послед­ ней, конечно, будут с удлинениями). Таким образом, в случае почти замкнутой оболочки отпадает основной аргумент, при помощи которого мы убеждаемся в существовании колебаний, практически не имеющих удлинений.

Когда основные уравнения колебаний образованы методом, кото­ рый указан в § 2 этой главы для цилиндрической оболочки, берутся компоненты смещения в форме, содержащей два фактора: первый — это синус или косинус дуги, кратной ср, второй представляет собой эле­ ментарную гармоническую функцию от t\ после этого уравнения при­ водятся к линейной системе восьмого порядка, служащей для опреде­ ления зависимости компонент смещения от широты 0. Условия на сво­ бодных краях выражаются при помощи приравнивания нулю для опре­ деленного значения 0 некотрых линейных выражений, связывающих компоненты смещения и их производные по 0. Порядок системы доста­ точен для того, чтобы удовлетворить этим условиям. Если бы решение системы уравнений, подчиненное краевым условиям, было найдено, то это привело бы к определению типа колебаний и их частоты.

Колебания удлинений исследуются методом, который выяснен в за­ даче о цилиндрической оболочке. Система уравнений будет в этом слу­ чае четвертого порядка, при этом нужно удовлетворить двум краевым условиям.

При любом виде колебаний движение слагается из двух движений: в первом отсутствует радиальная составляющая смещения, во втором— радиальная составляющая вращения. Каждое это движение выражает­ ся при помощи сферической функции, но порядок последней вообще не будет целочисленным.

Порядок сферической функции, выражающей колебание без ради­ ального смещения, связан с частотой соотношением (4,4,1 ), в котором а поставлено вместо Л; порядок (3 сферической функции, выражающей смещение, когда радиальная составляющая вращения равна нулю, свя­ зан с частотой соотношением (4,4,2), в котором h заменено на р. Оба числа а и р связаны трансцендентным соотношением, которое представ­ ляет собой уравнение частот.

Колебания не распадаются на классы, как в случае замкнутой обо­ лочки; по мере того как незамкнутая оболочка приближается по форме