Решение уравнения (4,27,7) должно удовлетворять следующим на чальным и граничным условиям:
w |
= |
dw |
= |
~ |
|
л |
(4,27,9) |
— |
0 при |
t = 0, |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
£ |
+ |
„ I V |
> |
= |
|
(4,27,10) |
0 ,ip " * = ± a ' |
а' = °* a*; |
+ |
(, _ |
v |
V |
‘‘ - |
0 n p * у - |
(4,27,11) |
± ь - |
Подставляя выражение (4,27,5) в равенство (4,27,8), получаем для чисто тепловой деформации Тм выражение
(1 — — |
У |
— е-"*РЛ |
(4,27,12) |
V я* |
— |
п« |
) |
|
|
п = 1,3... |
|
|
|
Так как Гм не зависит от координат х , у , то |
|
|
|
У*Гм = 0; |
|
(4,27,13) |
при этом уравнение (4,27,7) |
примет вид |
|
|
9 |
9 |
1 |
d^vu р |
а |
(4,27,14) |
v 2si2w |
+ |
----- = |
0. |
v v |
|
D |
dt* 1 |
|
|
Решение w уравнения (4,27,14) представим в виде сумм квазиста- |
тического прогиба w s и динамического прогиба w R: |
|
|
|
ш = ш5 + шд. |
|
(4,27,15) |
Квазистатический прогиб w s должен удовлетворять уравнению |
|
|
V2V2^s = 0» |
|
(4,27,16) |
при граничных условиях (4,27,10), |
(4,27,11), в которых |
следует заме |
нить w н а w s. |
|
|
|
|
|
Подставляя решение (4,27,15) в уравнение (4,27,14) и учитывая
уравнение (4,27,16), |
получаем |
уравнение для |
динамического |
прогиба: |
9 9 |
|
, 9 |
(PWll |
9 Td2WS |
|
o |
|
Ph |
(4,27,17) |
у2и2ш л + x2 |
--- = — X2 b--------, |
X2 = |
-------. |
V v |
дт |
dt2 |
dta |
|
|
|
D |
|
Так как квазистатическая часть прогиба |
w s |
удовлетворяет гранич |
ным условиям (4,27,10) |
и (4,27,11), динамическая часть прогиба должна |
удовлетворять начальным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
— |
—0 при t — 0 |
|
|
(4,27,18) |
и однородным граничным условиям |
|
|
|
|
|
шд = 0, |
у 2Шд = 0 при л- = + a, |
у = |
± Ь. |
(4,27,19) |
Решение уравнения |
(4,27,16) выбираем в виде |
|
|
w s = |
— 4 - (1 + |
v) т м (*2 + у2) + |
w' + |
w ;, |
(4,27,20) |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
31 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов
где функции |
до' и до* бигармонические, которые подчиняем следующим |
граничным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
w s’ — О,= |
d2w |
X = ± а, |
(4,27,21) |
|
|
0 при |
®; = |
- f |
(1 + |
v) Т и (Ь2 + х 2), |
= 0 при у = ± Ь, |
(4,27,22) |
^ = |
X |
(1 + |
v )r«(a2 + y2)’ ^ Г = ° » Р и * = ± я > |
(4,27,23) |
|
|
= 0, |
— — = 0 при |
у = |
± Ь . |
(4,27,24) |
|
|
|
|
ду2 |
|
|
|
При этих условиях для функций до' и до* |
полностью выполняются |
граничные условия для функции w s.
Выражения для бигармонических функций выбираем в виде
WS = |
£ |
(Лл ch а пу |
+ а пуВ „ sh а пу) cos а пх , |
|
п=1,э... |
|
|
(4,27,25) |
< = |
£ |
(С„ ch Р„х + Pnx D n sh р,,*) cos рл{/, |
где |
л=—1,3... |
|
|
|
|
ХС/2 |
|
7lfl |
|
|
|
Q |
• |
|
|
ап—~Z , |
Рл = |
26 |
|
|
2а |
|
|
Выражение для w s |
автоматически удовлетворяет условиям (4,27,21), |
а выражение для w s |
— условиям (4,27,24). |
|
|
Для удовлетворения остальных граничных условий разлагаем в ря ды Фурье следующие величины, входящие в граничные условия (4,27,22)
и (4,27,23): |
|
|
|
|
|
|
|
|
---- ^ |
(1 + |
v) Г“ (6* + |
**) = |
2 °n C0S а,,Х’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
л= 1,3... |
(4,27,26) |
- |
± |
(1 + |
v) Т н (a2 + |
1/2) = |
Р„ cos рлх, |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
а„ = |
— |
12 (1 Ч- v) Тм |
|
а 2 + b2 -----— 1 sin ЛИ. |
|
|
|
|
|
a nah |
|
|
|
(4,27,27) |
|
|
|
12 ( l - f у )Г м |
/ |
2 _|_ р |
-----— \ sin |
Р |
л = - |
|
|
|
|
|
РлРА |
1 |
Т |
Рл |
|
Внося выражения |
(4,27,25) и (4,27,26) |
в граничные условия |
(4,27,22) |
и (4,27,23), находим постоянные |
|
|
|
|
■4" = _ l i ^ r ( c h o "4 + ^ - s h a "f’) -
ап
В =
2 c h a пЬ
(4,27,28)
д .
Ьп
2 ch рпа
Теперь определим динамическую часть прогиба. Условия (4,27,19) удовлетворяются, если динамическую часть выбрать в виде выражения
WH= £ |
2 |
(О cos а пх cos pmy. |
(4,27,29) |
л = 1 ,3 ... |
m = l,3... |
|
|
Представляя функцию w s в виде двойного тригонометрического ряда-
w s = |
12 |
|
|
|
(4,27,30) |
---- |
Тм S |
S |
C0S «л* COS РтУ> |
s |
h |
|
/1=1,3... ш—1,3...
где
л-fm
16 (1 4 - у) (— l)
/с„,,
n 4 m (a* + P„)
и подставляя ряды (4,27,29) и (4,27,30) в уравнение (4,27,17), получаем дифференциальное уравнение для определения коэффициента q mn:
& Япт |
1 |
„ 2 л |
I |
i s |
12 |
м |
/л |
(4,27,31) |
d l2 |
+ |
^nnflnm + |
A nm |
h ‘ |
д(2 |
~~ °> |
где
с начальными условиями |
|
|
|
Япт = 0, |
= |
0 при / = 0. |
(4,27,32) |
Применяя преобразование Лапласа и учитывая |
условия (4,27,32) |
и равенство |
Ты(0) = |
|
|
|
0, |
|
находим алгебраическое уравнение для изображения q*nm‘. |
+ < J С + |
к - |
- 1 |
- о |
После обратного преобразования, выполненного с учетом выраже ния (4,27,12) для Гм и равенства
dTM |
= qah_ _96Р_ |
у |
1 |
1 |
д ф |
dx К |
24Х ' п* |
Z J |
пг |
2 |
’ |
|
|
л= 1,3,5 ... |
|
|
|
получаем окончательный результат для динамической части решения в виде
6gpg
до„ = д Хпг
л=1,3... w=l,3.
— 4 |
Я2 |
У |
------ 7-(«И Ю п «* + |
р |
— Sin (I\ mt ■ |
X |
|
“ |
/4R2 4- 0)2 \ |
/ |
|
|
|
/=1,3... |
|
|
|
|
X cos a n JC COS Pml/.
Авторы работы [62] провели вы числения отношения максимального прогиба аУтах в центре пластины к наи
большему |
квазистатическому прогибу |
w sm3LX при |
различных |
значениях пара |
метра |
|
|
|
h |
D |
|
В = |
|
|
2а i 7 |
Рh o i |
и отношениях а/Ь.
На рисунке 4.18 приводятся кри вые изменения w max/ w smax от парамет
ров В и а/Ь.
Эти результаты показывают, что динамический эффект увеличивается по мере уменьшения значения па раметра В , например за счет уменьшения толщины пластины. При В->-0 отношение w maxJ w smax становится равным двум.
§28. ТЕРМОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИИ
ВМЕМБРАНАХ
Рассмотрим прямоугольную мембрану, омываемую -с обеих сторон горячим газом, в котором происходят пульсации температуры. Решение этой задачи заимствовано из (63]. Уравнение поперечных колебаний та кой мембраны может быть записано следующим образом:
{N0x + N lx sin Qt) 4 5 - + ( N 0y + N Jy sin Qi) |
d # |
m — |
, (4,28,1) |
dx2 |
dy* |
v |
где N 0x и N Qy — статические растягивающие силы |
на |
единицу |
длины, |
действующей в направлении осей х н у , N ixs i n Q t |
и Afi„sinQ£ — динами |
ческие добавки к статическим силам, вызванные пульсацией темпера туры в пластине; т = рА = h\ Q — круговая частота пульсации тем
пературы.
Решение уравнения (4,28,1) будем искать в виде
“ »= > U ( 0 sin плх sin kny а Ь
где а и Ь — стороны прямоугольной мембраны.
Подставив выражение (4,28,2) в уравнение (4,28,1), получим
пг &Ank |
|
|
|
+ АГ,Оу |
k2n2 + (N, |
п ‘п‘ |
+ N |
|
лпк О, |
dt2 |
|
|
|
|
|
\ 1 х ~& ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я, k = |
1, 2, 3 |
|
|
|
Итак, |
мы |
пришли |
к уравнению |
Матье. |
Приняв |
в |
этом уравнении |
N \x = |
N \ y = |
Q, |
получим уравнение, |
из которого могут быть найдены соб |
ственно частоты поперечных колебаний мембраны: |
|
|
|
(О |
/ |
1 |
/ д. |
П2К2 |
k2n2 |
п, k |
= |
1, 2, 3 ... |
|
l n |
|
+ |
N ( |
!5_Л |
|
|
nk |
\ N ox~ d r |
Оу' |
Ь■ У |
|
|
|
Теория уравнений Матье подробно разработана. Воспользовавшись известными результатами, можно написать следующие границы для об ластей динамической неустойчивости мембраны, т. е. для областей, в ко торых могут быть возбуждены термопараметрические колебания:
первая область неустойчивости
— л/ |
+ —1 q > — > — л [ 1 — |
q>— |
2 У |
2 |
4 |
Q |
2 |
У |
2 4 |
вторая область неустойчивости |
|
|
|
|
1 / |
1 + — |
Яг > — > |
1 / |
1 ------- — |
q2> |
У |
24 |
4 |
Й |
У |
24 |
4 |
где |
|
|
Ллпл |
|
п2№ |
|
|
|
|
1у" |
|
|
|
М. |
■+ |
Ь2 |
|
|
|
1V] |
|
|
|
|
|
|
я2#2 |
|
|
|
No, |
+ |
Noy |
Ь2 |
|
Г л а в а V
УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
Проблема устойчивости оболочек и пластин освещается в настоя щей главе. Читатель найдет здесь линейную и нелинейную постановки задачи статической и динамической устойчивости оболочек и пластин, материал которых вязко-упругий и обладает неизменными во времени механическими свойствами. В ней рассмотрены методы и примеры ре шения типичных задач на устойчивость оболочек и пластин в упругой и упруго-пластической области при нормальной и высокой температуре (термоустойчивость). Также изложена постановка и пример решения задачи устойчивости ортотропной вязко-упругой оболочки, указаны спо собы определения верхней и нижней критических нагрузок в зависи мости от режима нагружения и критического времени.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
Пусть на оболочку действует нагрузка, возрастающая пропорцио нально некоторому параметру Х\ условия закрепления оболочки таковы, что при некотором X, например Я= 1, имеет место безмоментное напря женное состояние.
В процессе нагружения возможны изменения форм 'равновесия обо лочки. Для значений X, меньших некоторого Хо, имеет место единствен ная безмоментная форма равновесия оболочки, которой соответствует минимум энергии системы «оболочка — внешние силы». Далее, сущест вует нагрузка, которой соответствует число Х\^Хо, такое, что при
наряду с безмоментной формой равновесия оболочка имеет и моментные, но безмоментная форма имеет более низкий уровень энергии, чем любая моментная.
Далее можно указать число X2^ X i, такое, что при Xi<X<X2 безмо ментная форма равновесия оболочки хотя и имеет относительный мини мум энергии, но есть по крайней мере одна моментная форма равнове сия, которой соответствует более низкий уровень энергии. Наконец, при Х>Х2 безмоментная форма равновесия оболочки вообще перестает быть точкой минимума энергии '.
1 Здесь излагается распространенная точка зрения на устойчивость оболочек; авторы считают возможными и иные точки зрения. Обзор современного состояния про блемы устойчивости оболочек читатель найдет в статье Фын Юань-чженя и Е. Е. Секлера «Неустойчивость тонких упругих оболочек». Упругие оболочки. ИЛ, 1962 и в [51]. Интересные результаты в СССР принадлежат Казанской школе. См. об. «Ис следования по теории пластин и оболочек», т. 1—V, 1963—1967.
Такая смена форм равновесия установлена в ряде исследований по ведения оболочек путем решения приближенными методами уравнения нелинейной теории оболочек.
При выводе таких уравнений нелинейной теории устойчивости обо лочек предполагается, что кривизны вдоль осей о х и о у сохраняют по стоянные значения, что имеет место у поверхностей второго порядка.
F = Y |
a x * + - y b y * + СХУ + d x + еУ + |
1 = о. |
Следовательно, |
рассматриваемая нелинейная |
теория применима к |
оболочкам, срединная поверхность которых может быть выражена урав нением второго порядка.
Направим ось о г по нормали к срединной поверхности в сторону центра кривизны, начало координат выберем в точке срединной поверх ности одного из углов прямоугольного контура панели оболочки. Осп о х и о у пусть совпадают с направлениями линий главных кривизн обо
|
|
|
|
|
|
лочки. Обозначим |
толщину оболочки через Л, его размеры |
вдоль осей |
о х и о у — через а |
и b (рис. 5.1). |
|
сохраняющая |
постоянное |
Пусть k\ = const — кривизна оболочки, |
значение вдоль оси ox; ft2 = const— кривизна, |
остающаяся |
постоянной |
вдоль оси о у . Через и , v , w |
обозначим |
перемещения точек |
срединной |
поверхности соответственно |
вдоль осей |
о х , о у , ог. Перемещения w ха |
рактеризуют прогибы оболочки, положительные значения которых соот ветствуют их направлению к центру кривизны. Прогибы w не малы по
сравнению с толщиной h. |
— линейные относительные деформации в |
Пусть далее еРхх |
и eQ |
срединной поверхности вдоль осей о х |
и оу; еху—относительная дефор |
мация сдвига;-^- = |
х х9 |
= к и— изменение кривизны деформирова-н- |
dx |
dy |
у |
|
ной оболочки вдоль осей о х |
и о у ; к ху — кручение срединной поверхности. |
Для компонентов деформации |
срединной поверхности, изменений |
кривизн оболочки и перемещений ее срединного слоя получаются сле дующие приближенные соотношения:
|
е° |
= |
ди9 |
1 / |
dw У |
, |
|
|
|
|
+ |
Т |
( |
1 Г |
) |
- |
М |
’' |
|
X X |
|
|
|
|
дх |
|
00 |
— |
ди0 |
2 V ду |
) |
|
|
|
(5,1,1) |
|
УУ |
|
ду + |
|
|
|
|
|
о |
= |
|
I |
|
dw |
dw |
|
|
|
|
ху |
ду |
дх |
|
дх |
ду |
|
|
|
|
d2w |
*У = |
d*w |
*ху = - |
d2w |
|
(5,1,2) |
|
дх2 |
ду2 |
дхду |
|
|
Найдем деформации ехх, е уу, еху для |
слоя, отстоящего от срединно |
го на 'расстоянии г. |
|
|
|
|
можно |
полагать, что для то |
Согласно |
гипотезе прямых нормалей |
чек этого слоя |
(рис. 5.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw0
Так как толщина оболочки h мала по сравнению с радиусом кривизны, то можно считать здесь и в дальнейшем, что прогиб срединного слоя w о равен прогибу любого другого слоя оболочки.
М
Ввиду того что прогибы w считаются настолько значительными, что
/ |
dw \ 2 |
/ |
dw |
\ 2 |
ди0 |
( |
---- |
и ( ---- ) |
являются величинами одного порядка малости с — — |
\ |
дх J |
\ |
ду |
J |
дх |
ито (5,1,3) можно переписать в виде
ду
пd2w
и по аналогии
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*** = |
е°~ — |
* |
дх2 ’ |
|
|
|
|
(5,1,4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2г- дЬа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е ги = |
е° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
ху |
|
|
дхду ’ |
|
|
|
|
|
|
где величины е°хх, |
е°уу, е°ху |
определяются формулами |
(5,1,1). При этом |
|
в силу гипотезы прямых |
нормалей e yz = ezx= 0 . |
Согласно |
закону Гука |
|
компоненты деформаций и напряжений связаны |
|
между |
собой зависи |
|
мостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e * = |
7 |
K |
- v |
K |
+ |
a |
|
ex y = |
2{l + v) |
rXy, |
|
|
|
eyy = |
- J |
[a‘' ~ V(<S* + |
a^ |
’ |
ey : = |
- ~ t |
V) |
ty ” |
(5 ,1 ,5 ) |
|
|
e» = |
± [ ° z - v ( o x + o y)], |
егх = |
^ |
± |
Л |
г гх, |
|
|
где Ox, Gy, |
xXy , TyZ, Tzi- — компоненты напряжений. Из |
этих равенств |
|
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° х ~ |
1_v2~ (ехх ~Т~ veyy) > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — V2 ('e y y |
+ v e xx ) . |
|
|
|
|
Здесь v — коэффициент Пуассона; Е — модуль упругости. Внося сюда значения ехх,... из (5,1,4), имеем
а = |
Е |
|
Г е° — г — |
+ v f e ° — 2 — М = |
* |
l — v* |
L |
хх |
дх2 |
+ |
V |
«« |
|
|
ду> ) \ |
= |
Е |
(<# |
— ve° ) ____ — |
Г— |
+ v |
или |
1 — V2 |
' |
хх |
|
уу |
1 — V2 |
V |
дх2 |
^ |
ду2 ) ' |
|
|
|
о |
|
/ |
|
. |
|
|
\ |
|
|
|
|
Е г |
d2w |
d*w |
|
|
* |
|
* |
1 — v2 |
\ |
дх2 |
|
|
ду2 |
у |
|
|
. |
|
л |
Е г |
f |
d2w |
. |
|
d2w |
\ |
|
|
и ~~ |
у |
1 |
|
|
+ |
v ------- |
), |
|
|
|
|
|
|
дх2 ) |
|
x vt, = т |
Ег |
|
п |
v |
d2w |
|
|
1 — V2 |
(1 — v) |
|
|
|
|
|
х у |
|
х у |
|
|
д хд у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где осюзначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст° = |
— - |
ч_ |
|
Ю |
' |
|
|
|
|
|
|
х |
J |
'(«XX£* + |
|
|
|
|
|
|
|
1 __ V2 |
(С + v e ° J ’ |
|
|
|
|
|
|
4 |
у у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
1 — еV3 |
|
|
|
|
|
% х у |
1 — V2 |
|
2 |
|
ху |
|
|
компоненты напряжении в срединном слое.
Рис. 5.3
Выделим плоскостями, параллельными координатным, элемент обо лочки. Усилия, действующие на единицу ширины сечения элемента, бу дут (рис. 5.3)
А |
А |
2 |
2 |
7\ = j a xd z , |
Т2 = j a yd z, |
h_ |
|
2 |
|
_h_ |
|
2 |
|
Sj — J xxlJd z , |
S 2 — j* Xyxd z y |
+ о у .
|
h_ |
|
h__ |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
(5,1,9) |
N1 = |
f |
r2X z, |
N 2 = |
J |
V * * , |
|
" h |
|
|
___h_ |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
h_ |
|
h_ |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
= |
j* |
axzd z, |
M 2 |
f |
OyZdz, |
|
|
__h_ |
|
J A |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
_h_ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
H l = |
f |
Xxy2dZ, |
|
|
|
|
|
h_ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Эти усилия считаются положительными, если их направления сов падают с положительными направлениями внешних нормалей в сторо ну + о х и В силу известного из теории упругости соотношения
Хху ХУх
можно считать, что
S 1 = S t = S , ЯХ= Я2 = Я. |
(5,1,10) |
Внесем в (5,1,9) значение о х, о у, хху из (5,1,7). Получим для M i
dz =
I * [ < - т М |
- S + ' - w ) |
= Г a l z d z - |
- ^ - |
( - ^ L + v ^ L ) |
J |
1 |
— v2 |
\ дх2 |
ду2 ) |
Г z 4 z = - D ( - ^ + - ^ \ J \ дх2 ду2 /
где |
D = |
Eh3 |
|
жесткость. |
Аналогично найдем |
—-----цилиндрическая |
М2 |
у |
12 (1 — v)2 |
|
|
|
|
|
и Н. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ дх*3 ^ |
ду* |
) ' |
|
|
|
М 2 = - |
д*ш |
+ |
V J ^ L ] |
(5,1,11) |
|
|
D ( - ^ L |
|
|
|
\ ду* |
^ |
дх* |
J ' |
|
|
|
Я = — D(1 — v) |
d*w |
|
|
