книги / Оболочки и пластины

уравнениями для состояний с большим показателем изменяемости, ана­ логичные оценки даны Болотиным Им ж е12 предложен метод для изуче­ ния поведения пластин и оболочек при случайных нагрузках, существен­ но использующий множественность возбуждаемых степеней свободы.

При определенных, достаточно ши­ роких условиях получены инте­ гральные оценки для корреляцион­ ных функций и спектральных плот­ ностей обобщенных координат. Применение теории динамического краевого «эффекта» позволило ему вычислить средние квадраты напря­ жений, возникающих вблизи линий искажения у оболочки, и исследо­ вать их зависимость от параметров задачи. Болотин рассмотрел также вопрос об ограничениях, которые должны быть наложены на свойства оболочки и свойства нагрузки для того, чтобы стационарное распреде­ ление динамических переменных си­ стемы описывалось распределением Максвелла—Больцмана3. Им пока­ зано, что дельта-'коррелированность нагрузки во времени является недо­ статочным условием. Нагрузка должна быть коррелирована на сре­ динной поверхности; кроме того, на­ кладывают определенные ограниче­ ния на демпфирующие силы.

§ 6. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

Задача устойчивости оболочек — определение ее форм равновесия — связана с решением уравнений нелинейной теории оболочек. В зависи­ мости от значения параметра К нагрузки возможна та или иная форма равновесия. Однако если бы даже удалось точно решить нелинейные уравнения теории оболочек, то и в этом случае задачу нельзя считать исследованной до конца, так как остается неясной степень реальности каждой из возможных при Хо<К<К2 форм равновесия оболочки.

Для выбора наиболее реальной формы равновесия оболочки следует внести в рассмотрение некоторые дополнительные соображения. И. И. Ворович [24] считает рациональным принять за меру реальности той или иной формы равновесия оболочки вероятность пребывания обо­ лочки в этой форме.

Привлечение теории вероятностей >к исследованию оболочек позво­ лит продвинуть вперед решение вопросов: о назначении допускаемых нагрузок на оболочку при исследовании устойчивости с учетом условий ее работы и погрешностей в изготовлении; о назначении допусков в выполнении основных параметров оболочки.

Рассмотрим приближенный подход к построению статистической теории устойчивости оболочки, предложенный И. И. Воровичем. Разде­ лим все факторы, определяющие случайный характер изгиба оболочки, на три группы: 1) рассеяние упругих и геометрических свойств оболоч­ ки; 2) рассеяние параметров, характеризующих способы заделки обо­ лочки; 3) рассеяние внешних нагрузок, приложенных к оболочке.

Далее, хотя в указанные группы могут входить и функциональные параметры, например отклонение в форме срединной поверхности обо­ лочки, отклонения «в толщине оболочки и т. д., тем не менее примем, что вся совокупность факторов первых двух групп может быть описана

аь ..., ат. Предположим теперь, что параметры аь ..., ат зафиксирова­ ны, и запишем уравнения движения оболочки под действием нагрузки

'В этих уравнениях р — массовая плотность оболочки, отнесенная к единице площади срединной поверхности оболочки; рассеивание энергии

в оболочке учитывается членом 2 у -^ -. Для простоты в уравнениях

(5,6,1) и (5,6,2) мы здесь^ пренебрегли инерцией продольных движений

оболочек и считаем, что F(p,t) имеет лишь одну составляющую Z(p,t). От всех этих предположений можно отказаться за счет некоторого

гая, что fh ортонормированы в Ьв. При этом получаем следующую си­ стему:

Здесь V — потенциальная энергия деформации оболочки, выражен­

ная через qk-

Систему (5,6,5) можно рассматривать как уравнения движения не­ которой точки в n-мерном пространстве коэффициентов q\,..., qn. Это точка движения в поле сил с потенциалом p-1V и под действием слу­

Здесь ф^/) — некоторые фиксированные функции времени. Непре­ рывный случайный процесс считаем заданным, если известен закон рас­ пределения Q(cthi) параметров аы. В соответствии е (5,6,6) имеем

срединной поверхности белый шум по времени, то для моментов време­

В уравнении (5,6,9) параметр 6 характеризует рассеяние толчков, воздействующих на оболочку, и чем б меньше, тем меньше рассеяние толчков. Параметр характеризует условия, в которых работает оболоч­ ка, и должен определяться из опыта.

Поскольку f — некоторый закон распределения, то к (5,6,9) нужно добавить следующие условия, имеющие место при />0:

Рассмотрим ‘некоторые важные случаи, когда осуществление изло­ женного выше плана возможно до конца и когда могут быть получены расчетные формулы.

Пусть Z<3)=0, aZO) от времени не зависит. В этом случае распреде­ ление f(qь ..., qn), которое установится при t-+oо, определится из урав­

Легко проверить, что функция

решение.

Условие 6-коррелированности процесса Z&\ принятое в работе [24], позволило получить замкнутое решение в форме (5,6,13), (5,6,14). Если отказаться от этого условия, то закон распределения / из (5,6,9), (5,6,10) придется находить численно.

Отметим существенные черты предлагаемого способа статистическо­ го анализа равновесия оболочек.

1.Расчет по формуле (5,6,14) не требует предварительного решения задачи о равновесии оболочки, анализа числа форм равновесия, замены реальных зависимостей между прогибами и внешними силами, однознач­ ными функциями и т. д. Требуется только знать выражение потенци­ альной энергии системы через обобщенные координаты.

2.Расчет закона распределения по формуле (5,6,14) сводится к взя­ тию квадратур. Поскольку подынтегральные выражения в формуле

(5.6.14) — достаточно гладкие функции, то эти квад­ ратуры без каких-либо осложнений могут быть взяты численно, даже если для увеличения точности решения задачи мы прибегнем к использованию большого чис­ ла параметров qu ..., qn. При этом, естественно, не встает никаких специальных вопросов, связанных с использованием машин для расчета по формуле (5.6.14) .

3. Формула (5,6,14) принципиально учитывает все основные факторы, определяющие случайный ха­ рактер изгиба оболочки, в том числе и такие, как слу­ чайные силы, меняющиеся во времени весьма быстро, и силы с периодом изменения, сравнимые с периодом колебаний самой оболочки и т. д. При этом она дает возможность проследить процесс изменения вероятно­ стей во времени. Правда, при этом потребуется пред­ варительное решение соответствующей краевой задачи для уравнения (5,6,9).

Но уравнение (5,6,9) принадлежит к числу тех, для решения кото­ рых численные методы приспособлены очень хорошо.

Рассмотрим устойчивость квадратной цилиндрической панели под действием продольной сжимающей силы Q (рис. 5.28). При решении задачи будем учитывать случайные отклонения в форме срединной по­ верхности и воздействие случайных быстро меняющихся внешних сил.

Потенциальную энергию оболочки можно взять в .виде [1]:

Здесь а — сторона квадрата оболочки; 2h —толщина оболочки; Е — модуль юнга; / — стрела прогиба оболочки; /0 — начальная стрела про­ гиба.

В соответствии с (5,6,13) условный закон распределения £ (закон распределения при детерминированном £0) дается соотношением

рис. 5.29, 5.30 для случая, когда £0 подчинена треугольному симметрич­ ному закону распределения.

На рис. 5.29 дана зависимость p{D'Q0), где £>£о — дисперсия £0. Рас­ четы проведены для случая р= 0,5 (т. е. для случая, когда сжимающая

б — величины, характеризующей условия работы оболочки. Чем больше б, тем более «спокойны» условия работы оболочки. Из рис. 5.29 видно, что при достаточно малых р, т. е. не в очень «спокойных» условиях ра­

рис. 5.30 видно, что p(D£o) имеет разный характер для разных р. Если р<0,544— нижнего критического числа для данного случая, то увеличе­ ние о ведет к уменьшению р. Если же р>0,544, то при увеличении D£o

величина р также увеличивается. Это на первый взгляд парадоксальное обстоятельство вполне объяснимо.

Действительно, подробный анализ числа форм равновесия оболочки и степени их устойчивости показывает, что при р>ро (ро — нижняя кри­ тическая нагрузка) при больших положительных £0 имеется единствен­ ная форма равновесия, которой соответствуют £, лежащие на [—1, +1].

При малых положительных £0 оболочка имеет три формы равнове­ сия, причем одна из этих форм лежит внутри отрезка [—1, +1].

Однако этой форме соответствует более высокий уровень потенци­ альной энергии оболочки, чем формам, лежащим вне (—1, +1]. Поэтому хотя при малых положительных £0 и есть формы равновесия Внутри [—1, +1], но они мало что дают для увеличения вероятности осуществ­ ления неравенства |£ |< 1 . При отрицательных £о также имеются поло­ жения равновесия, которым соответствуют 'Qиз отрезка [—1, +1]. Но для

Р

Рис. 5.31 Рис. 5.32

отрицательных £0 именно эти формы наиболее устойчивы, и чем больше £о, тем устойчивее соответствующая форма. Поэтому .когда мы умень­ шаем рассеивание £0, уменьшая при этом вероятность появления доста­ точно больших отрицательных £о, то вероятность р может уменьшиться.

Если р<0,544, то каждому £о соответствует единственная форма равновесия оболочки, и чем меньше £о, тем меньше значения £, соответ­ ствующее форме равновесия оболочки. Конечно, с уменьшением рассеи­ вания £о величина р должна увеличиваться. Отметим также, что если уменьшить £>£о, сосредоточивая закон распределения I на отрицатель­ ных £о, то мы всегда при этом будем иметь увеличение р. Поэтому естественно поставить вопрос о введении мер технологического, конст­ руктивного и других порядков, при помощи которых можно создавать искусственное рассеивание, сосредоточивая закон распределения £0 на отрицательных значениях.

На рис. 5.31 дается зависимость р от Р для разных Dio- Можно от­ метить, что функция р(Р) испытывает резкое изменение при значениях ■нагрузки, несколько больших нижнего критического числа. Эти значения нагрузки характеризуются тем, что им соответствуют три формы равно­ весия оболочки, причем в двух устойчивых формах равновесия оболочка имеет равные уровни потенциальной энергии.

Графики рис. 5.31 построены для (.1=1 и, следовательно, могут быть

разных р. Это дало бы возможность по заданному уровню .вероятности пребывания оболочки в том или ином состоянии в заданных условиях работы определять допустимое рассеяние в форме срединной поверхно­ сти оболочки. На рис. 5.32 изображен график потенциальной энергии системы оболочка — внешние силы. При некотором значении р>0,544 хлопок оболочки будет иметь место, если под действием случайных толчков будет преодолен потенциальный барьер t* . Поэтому можно при­ ближенно принять, что при фиксированном to вероятность хлопка р *

V

Применяя теорему о полной вероятности, по­ лучаем следующую формулу для расчета вероят­

—с о

Далее, если учесть, что хлопок может иметь место только для to, удовлетворяющих нера­ венству

£о<£о*(Р), (5,6,22)

Здесь можно также отметить, что при увеличении Dt>о вероятность хлоп­ ка убывает. Это объясняется тем, что, уменьшая £>tо, мы делаем малове­ роятными большие по модулю значения to (напоминаем, что закон рас­ пределения был принят симметричным). Но при больших положитель­ ных to хлопок вообще не происходит, а при больших отрицательных to хлопок маловероятен, ибо дохлопковое состояние равновесия в этом случае имеет более низкий уровень энергии, чем послехлопковое.

В заключение отметим, что при использовании изложенной выше методики, очевидно, придется все возможные реальные условия эксплуа­ тации оболочек разбить на расчетные случаи по уровню «спокойности» работы и для каждого расчетного случая установить эксперименталь­ но р.

§ 7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

Явления неустойчивости характеризуются тем, что при некоторых значениях внешних сил наряду с данным (безмоментным)^ состоянием равновесия оболочки возможны и другие состояния равновесия.

Исследуем устойчивость в случае упруго-пластического состояния материала оболочки.

Следуя А. А. Ильюшину [25], рассмотрим бесконечно близкое к дан­

расположенном на расстоянии z от срединной поверхности; вариациям деформаций бе**, 8еУУ) 8еху соответствуют вариации напряжения 6а*, 6ау, боху, которые можно вычислить на основании законов пластичности. Поскольку в данном случае речь идет о действительных вариациях де­ формаций, а не о виртуальных, как в вариационном уравнении равновесия, необходимо различать два возможных случая: случай нагружения и случай разгрузки, поскольку формулы, связы­ вающие напряженное и деформирован­

ное состояния, при этом различны. Область нагружения характери­

зуется тем, что в ней за счет вариаций 6е*.х, , ба* интенсивность деформа­ ций и напряжений возрастает; в обла­ сти же разгрузки эти величины убыва­ ют. Поверхность, пересекающая толщу оболочки и разделяющая области на­ гружения и разгрузки, определяется из

условия равенства нулю вариации интенсивности деформаций или интен­ сивности напряжений. Ввиду того что вариация работы внутренних сил в единичном объеме оболочки равна

т. е. пропорциональна 6еи, то уравнение указанной поверхности будет