книги / Оболочки и пластины

В случае квадратной панели сферической оболочки (у=1) формулы (5,2,40), (5,2,41) перейдут в следующие:

параметры прогибов £о и £i совпадают:

а соответствующее экстремальное значение параметра нагрузки будет

или, так как

то ^ г = 34,9

а* *

Оболочки такого типа являются граничными между оболочками и пластинами. Их поведение под нагрузкой, как это видно из рис. 5.12, несколько отлично от поведения пластин и не может быть охарактери­ зовано как поведение оболочки, имеющей параметр кривизны больший,

Дальнейшее возрастание прогибов такой оболочки, уже изменившей знак кривизны, связано с быстрым возрастанием нагрузки.

г)^ Прогибы оболочки с параметром кривизны xi>8,45 (здесь на кривой рис. 5.12 xi='12) медленно возрастают с увеличением нагрузки до значения J;0= 1,33, которое соответствует верхнему критическому на­ пряжению q*B =63,3 (см. формулу (5,2,46)). По достижении значения £о

нарастание прогиба может продолжаться уже при уменьшении парамет­

равновесия отмечена точкой С. Эта форма устойчива, и дальнейшее уве­ личение нагрузки сопровождается постепенным увеличением прогиба

вию поперечной нагрузки, 'позволяет установить разницу между понятиями слабо искривленных пластин и пологих оболочек. Найдем точки £о и £i, соответствующие

экстремальным значениям произвольной поперечной нагрузки q*n 'Исходя из формулы

одна форма 'равновесия, а зависимость q*(t>) является монотонно возрастающей функ­ цией без участков убывания. Если же сумма параметров кривизн x i+ x 2 больше правой части (5,2,63), то функция q*\t>) имеет участок убывания «нагрузки» q* на некотором интервале изменения £ и такие оболочки прощелкивают. В связи с этим представляет­

следует отнести к категории слабо искривленных пластин. Их поведение под нагрузкой характеризуется монотонно возрастающей кривой, имеющей точку перегиба, где кривая

данными экспериментов, если они поставлены достаточно аккуратно, или путем сравнения с точными решенияхми, или путем теоретического исследования сходимости, причем должна быть показана и практиче­ ская сходимость решения, если оно строится приближенными методами в рядах.

Точные решения подобных задач ввиду их сложности неизвестны. Точное решение в рядах для гибких круглых пластин получено Уэем [9], а также М. С. Корнишиным и X. М. Муштари [2] для круговой цилинд­ рической панели под действием внешнего нормального давления.

для решения задачи в «четвертом» приближении.

Такая система функций выбирается для более полного удовлетворе­ ния условиям работы шарнирно закрепленной по всем кромкам оболоч­ ки под действием равномерно распределенной по ее выпуклой поверх­ ности нагрузки (здесь предполагается симметричный выхлоп). Подходя к решению задачи более строго, удается построить уравнения для пол­ ной системы аппроксимирующих функций. Однако в рассматриваемом случае симметричного выхлопа пологой оболочки члены ряда вида

sin------ sin-----— (m Ф п)

аЬ

не имеют существенного влияния на решение.

Нетрудно видеть, что эти функции удовлетворяют всем граничным условиям, причем последнее выполняется в'«среднем»

dx = 0.

дхду

Составляя уравнение Бубнова — Галеркина

J I O6(pd(o = 0,

(ш)

J j Wbwda = 0,

(ш)

получим систему алгебраических нелинейных уравнений.

Приведем здесь лишь последнюю систему, когда задачу решали в «четвертом» приближений:

Решения систем уравнений типа (5,2,64) для всех четырех прибли­ жений в виде графиков зависимости нагрузка — прогиб приведены на рис. 5.15—5.17. Решения получены на электронной машине «Стрела».

На всех графиках кривые нагрузка — прогиб построены для перво­

значительной, особенно в областях, примыкающих к значениям «верх­ ней» (qB) и «нижней» (qn) критических нагрузок, то разница между вторым и третьим, третьим и четвертым, вторым и четвертым приближе­ ниями незначительна, причем, как легко видеть из таблиц, она умень­ шается с увеличением индексов /, /. Отличия решений Д23, Дз4, Дм и Д24 настолько малы, что почти_на всех графиках, построенных для отноше­

ний сторон панелей 1, V 2 и 2 с суммой параметров главных кривизн от 0 до 60, кривые q2i ?з, </4 на значительных участках изменения проги­ ба сливаются в одну.

Отсюда можно заключить, что метод Бубнова — Галеркина для данной задачи дает сходящееся решение, причем для практических рас­ четов достаточно ограничиться решением во втором приближении. В этом случае можно не прибегать к помощи электронных машин. До-

статочно после преобразований воспользоваться существующими табли­ цами решений кубических уравнений.

Учитывая существующее доказательство сходимости процедуры Бубнова — Галеркина для этих задач, а также весьма малые значения A{j (/>1, /> 1 ), полученные решения можно считать практически точны­ ми. Заметим, что полученные решения задачи об изгибе круглой защем­ ленной пластины во втором приближении по методу Бубнова — Галер­ кина совпадают с точным решением Уэем [9].

На рис. 5.18 приведен график зависимости параметров «верхней» и «нижней» критических нагрузок от суммы параметров главных кривизн

оболочек с отношением сторон Y = V"2. При этом даны соответствую­ щие значения параметров стрелы прогиба всех гармоник, входящих в четвертое приближение, что делает эти графики удобными для расче­ тов напряженного состояния оболочек в их критическом состоянии. Для расчета оболочек в других состояниях следует пользоваться отдельными графиками типа 5.15—5.17 или специальными таблицами. Из графиков вида 5.18 следует, что оболочки прищелкиваются, если параметры их кривизн больше некоторого значения. Например, панели оболочек с от­ ношением сторон у= |1 прищелкиваются, если с^мма параметров глав­ ных кривизн

что для у=1 дает значение Xi+X2=17. Панели оболочек су = ]/"2 прощелкиваются, если xt+X2^20,4, а при у=2, если xi+x>30.

Формула первого приближения дает для этих отношений сторон значения, мало отличающиеся от приведенных.

Панели с параметрами главных кривизн, меньшими указанных, це­ лесообразно называть слабо искривленными пластинами, а при больших значениях—оболочками, если же в процессе потери устойчивости на