книги / Оболочки и пластины

Графики зависимостей (5,9,62) изображены на рис. 5.37 оплошными линиями Pi

и р2.

Рассчитанная оболочка была испытана в ИМЕХ АН СССР на равномерно распре­ деленную нагрузку, При испытаниях измеряли прогибы в центре оболочки. Эксперимен­ тальные зависимости р—g для двух образцов также нанесены на >рис. 5.37 пунктирными

тем, что в данной оболочке большие прогибы сопровождаются большими деформация­ ми, значительная часть которых лежит в зоне упрочнения.

Зависимости (5,9,62) дают кривые Pi и р2, расположенные при малых деформа­ циях выше экспериментальных и даже выше кривой 7, подсчитанной по линейно-упру­

что критическая, сила, при которой происходит прощелкивание оболочки, должна лежать

зонтальным участкам пунктирных линий, получилось равным в среднем р « 2 8 ,5 . Из рисунка видно, что это значение лежит в пределах зоны неустойчивости, даваемой не кривой 7, а кривой р2, и отличается от верхнего значения теоретической критической силы на 3,5%, а от нижнего — на 72,5%.

Кривая Р! дает значение верхней критической силы меньше экспериментального на 1,5%. Среднее теоретическое значение верхней критической силы, подсчитанное по

состояние по достижении верхнего критического значения, а не нижнего.

Это сопоставление с результатами экспериментов подтверждает необходимость уче­ та физической нелинейности, так как этот учет дает лучшее совпадение с опытом, чем расчет по упругой нелинейной теории.

Часть кривых Pi и р2, расположенная правее точки d\ лежит значительно ниже

экспериментальной кривой, хотя и совпадает с ней по своему характеру. Эти расхож­ дения объясняются тем, что .в данной теории материал рассматривается как нелинейно­ упругий; в действительности сталь в зоне упрочнения является упруго-пластическим материалом. Иными словами, расхождение в длинах участков прощелкивания и в ве­ личине после критической нагрузки объясняется тем, что данная теория не учитывает влияния разгрузки.

чение нагрузки .приведет к выпучиванию, такому, что 'Срединную по­ верхность можно представить (это действительно .наблюдается) состав­ ленной из трех упомянутых выше частей: Gb G2 и G i2. Будем уменьшать толщину Л, а вместе с ней и нагрузку q так, чтобы порядок рассматри­ ваемой деформации сохранялся. Так .как жесткость оболочки на изгиб

G , г

Рис. 5.38 Рис. 5.39

убывает быстрее, чем жесткость на растяжение, то напряжения .в сре­ динной поверхности, а следовательно, и ее деформации при этом убы­ вают. Переходя к пределу ( h - + 0), мы должны заключить, что упругое выпучивание строго выпуклой 'оболочки F q сводится к зеркальному, и чем меньше толщина оболочки, тем лучше приближение зеркального выпу­ чивания к упругому (рис. -5.39).

Такое приближение упругого выпучивания при закритических де­ формациях позволяет линеаризировать задачу об определении упругого состояния оболочки вне окрестности ребра зеркального выпучивания, внутри которой задача существенно нелинейная.2

2. Энергия упругой деформации

Построим энергию упругой деформации для упомянутых выше час­ тей оболочки Gi, GI2. Область G\ — та часть оболочки упругого выпучи­ вания, в которой форма деформированной поверхности хорошо прибли­ жается зеркальным выпучиванием. В этой области изгиб значителен, нормальная кривизна меняет свой знак, а срединная поверхность строго

энергия упругой деформации, связанная с изгибом оболочки внутри об­ ласти выпучивания, сосредоточена в областях G1 и G12.

Так как при зеркальном выпучивании оболочки нормальная кривиз­ на изменяется от значения k до —k, т. е. на 2k (по главным направле­ ниям изменение кривизн происходит на 2k\ и 2&2), то энергия оболочки, отвечающая такому изгибу, вычисляется по формуле

При достаточно малой толщине оболочки область G\ .сходится к об­

ласти G. В этом случае индекс !1 можно опустить и выражение для энер­ гии записать в виде

G

где

Область G12— кольцеобразная область, включающая границу вышу­ чивания. Площадь этой области мала по сравнению с (площадью Gb но энергия упругой деформации будет значительной из-за большого изгиба оболочки и растяжения (.сжатия) 'срединной поверхности. Пусть у — пересечение плоскости а (рис. 5.40) со срединной поверхностью обо­ лочки. Ослабим шарниром вдоль у оболочку F * и приложим к каждой

из частей оболочки распределенный момент М, спрямляющий ребро обо­ лочки F*. В окрестности у упругие состояния оболочек F * и F будут эквивалентны, так как в этой окрестности упругие деформации обуслов­ лены главным образом спрямлением ребра у.

Следовательно, деформации оболочки F * вдоль у определяются ее строением у ребра »и зависят по существу только от 'кривизны ребра и угла, который образуют «вдоль него касательные плоскости.

Таким образом, для того чтобы найти энергию упругой деформации на границе области выпучивания при достаточно милой толщине оболоч­ ки, мы можем брать любую другую оболочку с теми же геометрически­ ми параметрами границы зеркального (выпучивания. Возьмем кониче­ скую оболочку (рис. 5.41) F0. Энергия упругой деформации вышученной формы F оболочки вблизи линии у состоит из энергии растяжения (сжа­ тия) срединной поверхности вдоль меридианов и 'параллелей и энергии изгиба вдоль меридианов (для оболочки малой толщины энергией из­ гиба параллелей можно пренебречь).

Пусть /?*—произвольная точка зеркального выпучивания оболочки' F0. Форму F * примем в качестве исходного приближения формы F. Со­ ответствующая точка р формы F получается при радиальном смещении: р * на и и осевом смещении на v. Отсюда уравнение меридиан-а оболоч­ ки F в цилиндрических координатах г и z будет

г = р + scosa + и, z = s sin a + b,

где р —.радиус окружности; у —ребро оболочку F *; s — расстояние по образующей, отсчитываемое от у, а а — угол, который составляют обра­ зующие с плоскостью круга у.

Введем

Энергия растяжения 1(-сжатия) 1срединной поверхности оболочки при закритичеокой деформации вне -малой окрестности зоны -сильного изгиба границы выпучивания равна энергии упругой деформации оболочки при докритической деформации, обусловленной той же внешней нагрузкой [28]. Отнесенная к единице площади поверхности -она, как известно, вы­ числяется по формуле

х = о"(| + ц ')-ы "(л + v').

Для функций v из второго уравнения (5,10,10) получим интегро-диффе- ренциальное уравнение

решение которого можно искать в виде о = ахд: + сщ/ + а п х 2 + 2 а 12х у + а22у 2 +

где х = e®*s\ у = e0)2S,a соь о)2 — некоторые комплексные числа с отрица­ тельной вещественной частью. Определив и и и, реализующие минимум функционала /0, найдем, что min /0» 1,2, *Л°)=1, шах |и |« 0 ,5 . Схо­ димость / к /0 при независимом стремлении К и а к нулю будет иметь

место, если е*-*~оо,в интеграле /. Для этого предела имеем

Как выше указано, в случае любой выпуклой оболочки энергия уп­ ругой деформации на единицу длины грани выпучивания должна вы­ числяться по этой же формуле, но а и р имеют значение:

а — угол, лсд которым плоскость, определяющая зеркальное выпу­ чивание, пересекает поверхность оболочки, а р — радиус кривизны кри­ вой у, по которой происходит это пересечение. Энергию упругой дефор­ мации вдоль всех границ у выпучивания определяют формулой

В случае малых областей .выпучивания при малом а по формуле Менье имеем

Таким образом, во всех трех областях G ь G2, G и энергия упругой де­ формации выпуклой оболочки с выпучиванием найдена и определяется по формуле

Энергия Uo находится решением задачи об упругом состоянии оболочки в линейном приближении.

Энергия U G определяется по формуле

" • - - п г г д г Я * ’ * *

tfv = & + **)*-2 ( l - v ) ^ .

Здесь областью интегрирования является область зеркального выпучи­ вания.

Энергия U у вычисляется согласно

U y = f Uds-,

где \IJR — нормальная кривизна оболочки в направлении линии у, гра­ ницы зеркального выпучивания; р — радиус кривизны кривой у. Интег­ рирование выполняется по границе у зеркального выпучивания. При v=0,3 и /0=(1,2 постоянная с = 0 ,12.