книги / Оболочки и пластины

При решении уравнений в каждом конкретном случае необходимо иссле­ довать выражение

З Ф 'х Ф Р х ') U r ,

гPi

в точке Г\.

Уравнение (6, 8, 12а) равновесной'поверхности запишется:

[л ^ P ( r ) r d r + -у j

-0 гран!ичи1вая'сь рассмотрением поверхностей, симметричных относи­

Значит, параметры К\, С\, £2i, характеризующие нагрузки на поверх­ ность, и соотношения между щах и min отверстиями, не могут 'быть за­ даны произвольно, а связаны соотношением (*). В координатах К, С, У уравнение (*) представляет собой конус с вершиной в точке £2= 1.

При £2i='l Ki=0 и Ci =0. При £2i = 0,/Ci + С? = 1, т. e. все значе­ ния Ki и Ci лежат на окружности радиуса 1.

4.Формы поверхностей

Вработе [35] подробно исследуются возможные равновесные формы при действии постоянного давления и центробежных сил. Если в форму­

ле ('6, 8, 126) ©вести следующие параметры и переменные:

где Го— значение экваториального радиуса, Г0— 'натяжение в нити .на экваторе, Ро— угол нити *с меридианом *в .плоскости экватора, то она получит вид

Здесь ср — центральный угол траектории нити.

х2 и *3. Используя эти критерии, получим физически реализуемые ком­ бинации:

А /С > й , * * 0 20 < 1 ,

Для каждого из этих случаев аналитическая форма решения может быть различна.

Из условия осевой симметрии форма поверхности .может быть .полу­ чена .вращением кривой в меридиональной плоскости <p = const вокруг оси z. Наклон меридиана задан уравнением (6, 8, 12в) и запишется а. виде

Определяя у выражением (6, '8, 30), введем обозначение

(6,8,34)

X

Тогда уравнение меридиана можно записать в следующем виде:

Для .случаев Б к В модуль k будет мнимым, и выражение для ме­ ридиана примет вид

Подставляя «предельные оценки из (6, 8, 37) и др. в (6, 8, 40), най­ дем выражение для центрального угла

(6,8,43)

Эта формула «справедлива при /С = й для всех четырех случаев (6, '8, 33). Полагая здесь х-+х2, «получим ф-^:п;/2, т. е. при изменении радиуса от мак­ симального до «минимального значения волокно для случая K = Q и С Ф О делает четверть «оборота вокруг «о«си г.

Нам остается -построить формулу для длины волокна. Пространст­ венное положение волокна найдено — «оно полностью определяется функ­ циями Z(R) и cp(R). Однако для многих целей необходимо знать длину волокна. Например, для определения характера деформации витой обо­ лочки .при различных комбинациях давления и центробежных сил необ­ ходимо сохранить инвариантность длины волокна и приращения угла

где

Случай /С= Q может быть п-олучен из (6, 8, 46) путем перехода «к пре­ делу. При K-+Q «получим

(6,8,48)

где

Анализ полученных результатов начнем с классификации форм ме­ ридиана. Классификация «осесимметричных оболочек, навитых из «воло­ кон, может быть представлена путем исследования совокупности «реше­ ний (6, 8, 35) —(6, 8, 37), «определяющих форму меридиана. Из этих вы­ ражений следует, «что форма меридиа-на зависит от .трех «параметров К,

Q, С, отределяющих 'соотношение между интенсивностью давления и центробежных сил -и углом соответственно. Будем .полагать К и Q неот­ рицательными, что соответствует внутреннему давлению и |растягивающим силам, действующим в волокнах. Тогда совокупность возможных решений можно разбить на два класса 1периодических -функций: «волно­ образный» (.рис. 6,13) и «петлеобразный» (рис. 6.14). Соответствующие поверхности вращения имеют вид гофрированных труб, или торов.

Эти два класса меридиональных кривых разделены переходной фор­ мой, имеющей точки возврата (рис. 6.13,д), и ограничены выродившейся

периодической кривой, которая в случае волнообразного класса прини­ мает гиперболическую форму (рис. 6.10а), а в едучае петлеобразного класса представляет 'кривую с одной петлей « асимптотическими ветвя­ ми (рис. 6.146).

Каждый класс можно разбить на два подкласса. Кривые, принад­ лежащие волнообразному классу, могут быть «вогнутыми» в 'случае, если при Z = Z0имеет место минимум и R> 1 '(рис. 6Л0в), или «выпуклыми», если на экваторе реализуется максимум и R < \ (рис. 6.13d). -Переходная форма этих подклассов — прямая R — 1, соответствующая круговому ци­ линдру (рис. 6.10с). Кривые, принадлежащие петлеобразному классу, могут быть «прогрессивными» (рис. 6Л4а), когда последовательность значений R= 1 принимается ординатами кривой, начиная от R= 1, Z = 0, в точках, которым соответствует возрастание положительных Z, или «регрессивными», если точкам, где R —Л, соответствует возрастание от­ рицательных Z (рис. 6.14с). Переходной кривой между этими видами оказывается замкнутая петля, которая образует меридиан торовой обо­ лочки (рис. 6,14в). Изучая переходные формы, можно установить пре­ делы изменения К, £2 и С, соответствующие различным классам оболо­ чек. В результате для некоторых поверхностей получим 'условия для К, £2, С. Для гиперболоида необходимо, чтобы К = 0, £2=0, так как гипер­ болическая форма соответствует неограниченно возрастающим напряже­ ниям по сравнению е напряжениями от внутреннего давления или цент­ робежных сил.

Для цилиндра, определяемого постоянным значением радиуса, тре­