так что Р пе зависит от р н они являются известными функциями криво линейных координат. Тогда функция Т записывается в виде
—(— —z)
Gp V Р г — 2 z P ^ + z2P*
(6,5,16)
T = a s [ N ze 2 ] —2
и является линейной функцией р и известной функцией координат а, р, z:
Т = Т ( а, р, 2, р).
Поставим задачу: найти то значение нагрузки р#, при котором .в оболочке .в какой-нибудь точке М* (z = z,, а = а #, p= p j впервые воз никает текучесть, т. е. аи=сг5.
Поскольку обычно аи в упругих оболочках достигает максимума при z=i±h/2, казалось бы, что и текучесть впервые начинается где-то в наружной или внутренней поверхности. Но, с другой стороны, радиа ционное упрочнение будет наибольшим именно на одной из этих поверх ностей, и потому возникновение начала текучести на поверхности облу чения становится менее вероятным.
В общем случае,
если точка М * находится
внутри тела оболочки
(т. е. |z|< h /2
и а ф, р* не находится на границе
оболочки), условия,
оп
ределяющие р 0 и точку А!*, должны иметь вид
дТ __
дТ
(6,5,17)
д а
др
Задача сильно упрощается, если поток N постоянен на поверхности,
т.
е.
др
= 0.
Действительно, в
этом
случае условия
=
д а
д а
=
—- =
0 совпадают с условием
= -^е_= о, т. е. с обычным в тео-
ар
условием отыскания
да
ар
рии оболочек
точки
максимальных .напряжений,
значит, а*., Р. становятся известными на основании обычных приёмов их
нахождения. После этого остается найти только
координату слоя z= z.,
где и'начинается текучесть. Для этого из (6, 5, >13) находим z
через N z:
z =
— + — ln -^ -
(6,5,18)
2
1
N
Теперь, считая в
(6, 5, 16)
z
замененной этим
выражением,
условия
_
а г
n
dz
1
N
,
/
Т = ---- =
0 записываем в виде ( ——
= ------ )
во-первых, уравнения
дг
\ dNz
\iN z J
для z,:
z =
z„
<p( N z) —- t y ( N z),
(6.5.19)
где
<PЮ
=
N z
d a s (N z)
o f (N z)
bN z
(6.5.20)
T" ZPy,
' H N Z) =
~
’
1*
причем z имеет значение (6, 5, 18), и, во-вторых, выражение для р ,:
Р. =
< h (N ztt)
(6,5,21)
2 V 3 G V P t - 2 & m + f ? „
одним уравнением Т = 0.
решаем графически. Точка .пересечения графи
Уравнение !(16, 5, 19)
ков ф( N )
и t y ( N )
дает А/*
и ф( N + ) . После этого находим a s( N m)
и z* из
уравнения
(6, 5,
18), а затем из ;(б, 5, 21) определяем /?,, при
котором
начинается .пластическая деформация оболочки.
Может «случиться, что кривые ф и ф имеют несколько точек пересе
чения N *, каждой из них 'будет соответствовать свое pi, р*, Теперь вопрос о том, где впервые возникнут пластические деформа
ции, решается путем определения наименьшего из найденных выше зна чений р 0
В формулы расчета •прочности4'тел под действием радиационного об
лучения будет входить размерная физическая константа [ р ] ~ —— , и
см
потому геометрически и механически подобные тела из одинакового ма териала совершенно неравнопрочные [21].
§ 6. ТЕПЛОВОЙ УДАР И ТЕОРИЯ ТЕПЛОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Резкое изменение температуры тела в .процессе теплового удара про исходит лишь в весьма тонком .слое, прилетающем к его поверхности. Этот слой мы будем называть пограничным слоем тела при тепловом ударе [30].
При тепловом ударе большой интенсивности в пограничном слое возникают значительные пластические деформации сжатия, после окон чания удара они меняют знак, достигая примерно той же абсолютной величины. Такие явления наблюдаются в орудийных стволах и могут иметь место в Двигателях, контейнерах, при прессовании сильно нагре того металла и др.
1. Температура в пограничном слое при тепловых импульсах
Тепловым пограничным слоем при действии на тело тепловых им пульсов называется тонкий слой, примыкающий к поверхности, в кото ром за счет резких перепадов «больших значений температуры могут воз никнуть знакопеременные пластические деформации. Рассмотрим .пове дение особых решений в области малых z и t, где эти решения являются строгими независимо от формы тела, если тепловые импульсы неточеч ные (по поверхности) [22].
Температура Т в пограничном 'слое принимается равной нулю перед тепловым импульсом, при действии одиночного теплового импульса
Q = Qo = const,
0 < f < f ,
Q = 0, 7 < г < о о
(6,6,1)
определяется формулой
оо
Обозначая:
t > t ,
(6,6,2)
из (6,6, li) интегрированием по частям получим
J ? - = 2 V a \ /
+
< t < t ,
0
- ^ = a V 2 j / ^
- { ^ - ) /
1 - 7
^ + [ Ф
( С 0)-Ф (У ]^оУ п},
(6,6,3)
где Ф(д) — интеграл Гаусса. Область резких перепадов больших значе
ний температуры,
как .видно из
(6, 6, 3), 'определяется условием
£ < 1 ,
z < 2 V a t
(6,6,4)
Обозначая
£о = 2 yf at
’
Cxi
5i =
Но
— ,
t > t ,
(6,6 ,2)
/' - T
из '(6, 6, »li) интегрированием по частям получим
^ L = 2 V a l / Л { е- ^ + [ ф (у _ 1 ] | 01 ^ }) 0 < t < f ,
Qo
r n
(6,6,3)
X T
2V a Y
-£-{e~t° | / 1 —7 ^ + [Ф0(Ы-Ф(УНо1/^},
Qo
где Ф(е) — интеграл Гаусса. Область резких .перепадов больших Значе
ний температуры, как видно из
(6, 16, 3),
определяется условием
Д < 1 ,
z < 2 V a t .
(6,6,4)
Значит, при этом условии и при t< t
можно воспользоваться
разложе-.
ниями
(6, 6, 3)
по £0:
т
2/gQo
/
J _
± о&
» 0 < / < t.
(6,6,5)
X
V
я i - u V a
+ $
-
Толщиной пограничного слоя назовем глубину 2 = 6m=const, на которой
в конце теплового удара t = t температура Т обращается в нуль в ли нейном приближении разложения ее по z, т. е. согласно (6, 6, 5) при
£0 = —?=^ ■Следовательно,
у я
Xt
б„ - к
(6
,6,6)
у * - т т \ / cYi
'Внутри этого слоя ( z ^ A m) в период теплового импульса ( 0 < f < 0 температура Г с ошибкой менее 2% представляется трехчленной фор мулой
| / JL(1
(6,6,7)
X
причем толщиной подслоя 6 ( t ) ,
в котором такая температура возникает
в момент времени t, называется величина
Ь = - 1 = г У 'й
= Ьт у
Г 4 т , t < t ,
(6,6,8)
следовательно, £0 в формуле (6, 6, 7)
имеет значение
2 у at
о у л
2 < 6 ( 0 < 6 т .
(6,6,9)
Основанием для выделения пограничного слоя 6ОТи подслоя 8 является не только достаточная точность формулы (6, 4, 7) для распределения температуры, но еще и то, что .в этом .слое практически концентрируется
все передаваемое тепло, к моменту t ^ t телу
сообщается Q 0t. Найдем
тепло, содержащееся
к этому моменту в слое
б, ;по (16, 6, 7)
б
1
J * Н Т d z =
cYlб У я £ Т d l 0 = у = -
Q 0t ,
о
о
г. е. получается величина на 1% превосходящая Q 0t. По более точной формуле (6, 6, 5) получим недостаток до Qot в 7,5%, что и подтвержда ет наше высказывание. Температура Т0 на поверхности тела (2 = 0) для
из точной :(6, 6, 3) и приближенной (6, 6, 7) формул получается одинаковой.
Обозначим при t = t , z = 0 температуру:
(6,6,10)
Отсюда вытекает
элементарное равенство
Получим при
закон возрастания температуры слоя:
\ ^ т „ у г 4 ,
z = 0,
Т = Т,
Z у/~ я
0 < г < 6m.
(6,6,11)
l
/ f 1 1 - 2Y at + ■
4at
Рассмотрим состояния слоя z ^ . b m
после теплового
удара
( t > t ) .
В каждом фиксированном слое z = z I = const<6m температура Т в интер
вале t > t m некоторый момент t = t \ достигает максимума, после чего на чинает убывать. На поверхности (z = 0) убывание начнется сразу же при
t > t . Из второй формулы (6, 6, 3)" при z= 0 находим температуру поверх ности Т0 для t > t ; при этом надо положить £o=?i = 0:
г -
г - | /т ( ‘ -
/
‘ - т ) -2 = 0 , t ^ > t .
(6,6,12)
Найдем теперь 'максимум температуры в фиксированном слое z=zi<6,„. Обозначая по-прежнему
(6,6,13)
найдем
из (6,6,3) для
дТ_
=
7 i n h № & < > ) - < ! & ) } ,
(6.6.14)
dt
2iОт V Я
Ф(0 = С(1 + S2)*-£2
(6.6.15)
Функция <p(S) (рис. 6.1) обращается в •нуль при £=0 и 5-оо и имеет один мак симум при £=1. Значит, максимум темпе ратуры в слое Z\ наступает в момент t = t b если
So ^
1
± > ( — У
(6,6,16) 0.7
■)/"я
t
\ 6т )
так как при этом условии найдется такое
Рис. 6.1
Si, что условие
t = k,
ф(So) = Ф (Si)
(6,6,17)
будет выполнено. Уравнение (6,6,17) вместе с (6,6,13) определяет момент времени t x и соответствующие значения So и Si при этом t\.
■Простое решение получается с помощью табл. (6.1). В ней по зада
ваемому So 'С 1/Кя
найдено решение (6, 6, 7), т. е. соответствующее
Si, и на основании (6,6,13) найдены соответствующие t i t и z i / 6 m и мак симальная температура Т\1Тт по формуле (6, 6, 3), которую можно за писать .в виде (см. рис. 6.1).
1 - ^ - е “ С? + Кя£о[Ф(Со)-Ф(81)]} (6,6,18)
Последние две строки табл. 6.1 дают распределение максимальных тем ператур Т\ по толщине слоя Zi:
I I
(6,6,19)
Trn
и функция f определена по табл. 6.1. Мы аппроксимируем зависимость (6, 6, *19) 'следующей формулой:
=
0,3345 ( -^ -Y
—0,989(
+
1,
(6,6,20)
Т т
\ Ь т J
\ Ь
т
)
которая в интервале 0^Zi/6m-<l дает ошибку, не превосходящую ±5% относительно точного решения (6, 6, 16).
Заметим, что толщину пограничного слоя Ьт и максимальную тем пературу Тт на границе можно определить приближенно 122]. Подслой
6(0
/< 7, определим из условия, что температура Т 0 от границы
2i= 0 падает до пуля при 2=6 по, линейному закону согласно условию теплопроводности:
(6,6,21)
Т
причем
Приравнивая собственное тепло Qot теплу, находящемуся в слое
Q0t = сух6 TjL ,
получаем формулы
б = \ f
-5- • ~4 =^
Т0 =
X
б.
(6,6,22)
у
2
у п
В частности, максимальные значения 6 и Т0при t=t будут
8« “ / т • у т ' V 7t- т " - т * -
<6’6* >
Ч
Сравнивая .с найденными .выше значениями (6, 6, 6) и (6, 6, 10), видим, что толщина пограничного -слоя 6т и максимальная температура Тш по этим формулам оказываются Завышенными приблизительно на 20%• Мы .получили основные 'соотношения для пограничного слоя в 'слу чае действия на поверхности тепловых импульсов Q0. Совершенно ана логично можно развить теории для случая непродолжительного .касания двух различно нагретых тел.
2. Напряжения и деформации в пограничном слое в предположении независимости механических свойств материала от температуры
Максимальные значения температуры Т\/Тт по глубине слоя z i^ 6 m возникают в различных слоях в разное время, но именно они определя ют наибольшие напряжения и деформации. Мы рассмотрим только тем пературные напряжения и деформации, пренебрегая .влиянием внутрен него давления.
По условию напряжения и деформации равны
стг = 0, а2 = ст3 и ехф 0, е2 = е3 = 0,
причём индексы 1, 2, 3 означают направления по радиусу в окружном направлении и осевом соответственно.
Относительное изменение объема вещества в слое на глубине zb равное 0= еь связано со средним напряжением 2/3а законом Гука в любой стадии деформаций:
ff2 = - | - * (e i“ 3 a iri)’
T z = F ( y )
(6, 6, 24) объемный закон упругости прини
модуль объемного сжатия К , как и другие механические 'свойства, пред полагается независящим от температуры. Максимальное касательное напряжение т и максимальный сдвиг у на каждой глубине Z\ выража ются через а 2 и ei
т = -------<т2, Y = ei
(6 ,6 ,2 4 )
и связаны между собой функцией упрочнения т = F ( y ) .
Величины т и у
могут иметь положительные и отрицательные значения, функция F ( y ) •нечетная, процесс разгрузки обычный для упруго-пластических дефор маций.
,В обозначениях т и у
мает форму
т =
- ^ ( - у + З а ^ ),
(6,6,25)
к нему добавляется закон упрочнения для стадии нагружения
T =
F ( Y ) = GY [1 — CD(Y ) ] ,
(6,6,26)
в .котором в 'случае линейной аппроксимации имеем следующее выражен'ие для со (у) (через G s обозначен модуль упрочнения):
О, Y < Y s =
-7- ;
со =
U
(6,6,27)
ттг)-
Из ('6, 6, 25) 'и (6, 6, 26) всегда легко найти у= 7 ', T=ti, .соответст вующие наибольшей температуре Тх слоя в .случае (6, 6, 27), обозначая T s — температуру перехода материала .в пластическое состояние и п — параметр упругости
т =
l(3K + 4G) Ys
=
4G
(6,6,28)
5
9 К а х
’
3 K + 4G ’
получим максимальные деформации (сжатия) в слое
Y
== Ys Л .
Т г >
T S
(6,6,29)
Тх
3. Вторичные пластические деформации
Через определенное время после действия теплового импульса тем пература слоя вновь обратится в нуль. При некоторых условиях по свой ству улруго-пластической 'разгрузки слой Ъюжет получить вторичные пластические деформации, и потому теорема об упругой разгрузке А. А. Ильюшина в этих условиях неприменима. Вопросы вторичных, тре тичных и более высокого порядка остаточных деформаций подробно с большой полнотой поставлены и исследованы в книге В. В. Моокви-
гина [23].
Здесь, следуя Москвитину, приведем основные положения о вторич ных пластических деформациях для закона упрочнения материала
при первом нагружении в виде ломаной прямой линии.
На рис. 6.2 изображена диаграмма x = F ( y ) и случае линейного уп рочнения, причем предполагается, что эффект Баушингера при первой разгрузке и 1Возни1Кновение вторичных пластических деформаций изобра жается прямой, параллельной линии упрочнения. Расстояние по .верти
кали между этими двумя линиями равно
2rs = —^=г o s.
Уравнение линии O S M
у з
T = GY [1—<*>(Y)1.
где
а ( у ) определяется соотношением
(6,6,27). Если при разгрузке напряжения
т -ни в одной точке слоя не достигает ли
нии
то остаточные напряжения
и деформации определяют по теореме о
разгрузке А. А. Ильюшина.
Рассмотрим случай появления вто
ричных пластических деформаций. Пусть
точка слоя z x при тепловом воздействии
Рис. 6.2
получила деформацию сдвига у (точка М на рис. 6.2). После разгрузки точка М попадает в положение М '(у'). ли
бо Mi (у') в зависимости от того, достигает она точку М или перейдет через нее. Из треугольника М М \ М 2, в котором М М 2 — 2 T s, получаем
(6,6,30)
Величины напряжений и деформаций .после разгрузки, соответству ющие т, у до 'разгрузки, будем отмечать штрихом наверху. Тогда для х'
независимо от того, будет эта точна АТ или Mi на рис. (6.2), получаем выражение
х' = х — G ( y — y ' ) — {G — G ') (Yi - у') б (у'),
(6,6,31)
где 6 (Y') — разрывная функция,
s = o, Y' >
Y;
6 = 1 , Y' <Yi =
У
2TS
О
При изменении деформации у в пределах от у' до у ' —2ys происходят упругие сдвиговые деформации разгрузки по закону Гука:
причем tie — значение т (5.32) при Y= Y'—2Y5, т. е.
*ls = *! — 2Ts.
Следовательно, для области Y^Y^—‘2YSимеем .зависимость т от Y 'в виде-
( т - Tl) = G(1 - Xs) (Y - Y') - 2X, TS)
(6,6,34).
Y < Y' — 2YS-
Поскольку после охлаждения, т. е. при Т = 0, объемный закон упругости,
останется прежним
(6,6, 25), т. е.
х =
(6,6,35)
то из (6, 6, 32), (6, 6, 34) и (6, 6, 35)
мы находим остаточные .напряже
ния и деформации в слое T2, у,/;
У" — У' = — Ys
Т г < 27у,
(6,6,36)
* S
Ys
■ ( ^ — 2п К ) , T ^ > 2 T S.
у — у
= —1П%о
Как видно из формул '(6, 6, 32) и (6, 6, 36), на различных (глубинах слоя согласно закону распределения максимальных значений темпера
туры Т х по
глубине (6, 6, 20)
'будут различные области деформаций.
В области
T \ ^ / T s (возникают
только упругие деформации -как ,при воз
растании температуры до Т ь так и при падении ее до нуля, в области TS< T \ ^ . 2 T S при нагревании возникают пластические деформации, но остывание будет упругим процессом без вторичных пластических дефор маций, наконец, в верхнем слое, где T i > 2 T s, при нагревании возникают пластические деформации сжатия, а при остывании— вторичные плас тические деформации обратного знака (растяжения).
(Повторное действие тепловых ударов на слои после первого тепло вого импульса приводит к повторным .пластическим деформациям.
Рассмотрим какой-нибудь слой z ь в котором при каждом тепловом ударе возникает и исчезает одинаковая температура Т\. Нечетные ин дексы (2/(-Побудем приписывать состоянию при Т ^Ф О , четные (2k) —
состоянию после
охлаждения. Поскольку
амплитуда
напряжений
Т2/И-1—т2kсвязана
с амплитудой деформации у2/н-1—'\2h ври переходе из
состояния 2k в состояние 2 k + [l (соотношением
т2*+1 — % — 2TS = Gs (у2*+1 — у и —2Ys)
(6,6,37)
и для -каждого из этих состояний 'имеет место объемный закон Гука
Т2АН-1 =
К ( — Y2A+1 + 3 a l ^ l ) .
и, следовательно, амплитуда напряжений |ра.в,на
T2ft+1 -
x2k =
Т , - ^ К
(Y2A+1 - Ytt),
(6,6,38)
то из (6,16, 37) и (6, 6, 38) «аходим амплитуду деформаций
Ау =
у2*+, -
y2ft =
- 2пК).
(6,6,39)
Если амплитуда упругой
деформации
при
таком
переходе
'равна
9т
деформаций
равна
—L = 2ys, то амплитуда пластических
G
д^ =
Т ^ ( т 7
-
“
*)-
(6'М 0>
Как видим, амплитуда общей и пластической деформации при повтор ных тепловых импульсах не зависит от порядкового номера импульса и состояния, т. е. совпадает с амплитудой у"—у* (6, 6, 36) по величине и только меняет знак. Значит, если первый тепловой удар при условии Tm> Ts не приводит к образованию трещин на поверхности цилиндра, то многократные повторные тепловые импульсы поведут к растрескиванию поверхности вследствие пластической усталости.
Формула (6,6,40) показывает, что параметр разупрочнения Xs, из меняющийся в пределах от 0 до 4',' по мере увеличения, т. е. по мере уменьшения модуля упрочнения материала, увеличивает амплитуду пластических деформаций. Однако влияние упрочнения несущественно.
4. Влияние зависимости механических свойств от температуры на амплитуду деформаций
Учитывая полученные выше результаты, для решения этого вопроса мы можем пренебречь влиянием упрочнения, тем более, что оно умень шается с ростом температуры.
Пусть К(Т), G(T) и rs(T) — известные функции температуры, опре деленные экспериментально. Необходимо отметить, что из этих величин слабее всего изменяется с температурой .модуль объемного сжатия К и
сильнее всего предел текучести xs(T).
При отсутствии
упрочнения (Gs= 0) напряжения в состояниях 2k
при температуре Т= 6 и 2k +1 при температуре Т\ будут"
^2k =
f s(0),
(7\),
(6,6,41)
где xs(T\ ) — предел
текучести при
наибольшей
температуре
в
слое,
тДО) — при нормальной температуре.
состояний
дает
•Объемный
закон
упругости для
рассматриваемых
соотношения
x2k = -
^
K
(0)у2А, t 2ft+1 =
(7\)( - y2ft+1 +
Заг7\).
(6,6,42)
Из (6, 6, 41) и
(6, 6, 42) получаем выражение амплитуды деформа
ции при переходе из состояния 2k в состояние 2k+l:
