книги / Оболочки и пластины

Формулы (5,8,18) значительно упрощаются при условии (5,8,13), когда

S, =0, в, = —; 0,.= —

ляются формулами (5,8,18), так и в случае 5У= 0. Внося сюда (5,8,20), получим

где через £ обозначена гибкость1

3ft

£

h '

Если длина оболочки велика сравнительно с радиусом и концы сво­ бодно оперты, то прогиб да можно взять в виде

да = С sin ах,

при этом наименьшее значение критической силы получается из условия

£

Исследование других случаев устойчивости основано «а применении либо уравнения (5,7,22), либо (5,8,21) при значениях 6МЬ бМ 2 согласно (5,8,18); оно вполне, аналогично исследованию соответствующих упругих задач, поскольку дифференциальное уравнение (5,8,21) линейно и со­ держит только четные производные от да.

1 При этом отброшены члены порядка hj2 сравнительно с единицей.

Весьма 'всесторонне задача устойчивости круговой цилиндрической оболочки исследована В. И. Королевым; им обследована устойчивость оболочки 'при осевом сжатии, при одновременном действии внутреннего давления и осевого сжатия, при осевом сжатии и наличии предваритель­

ного внутреннего давления и т. д.

В последнее время А. А. Ильюшиным [26] предложена новая поста­ новка задачи об устойчивости тонкостенных конструкций, содержащих стержневые элементы, для случая, когда она находится в упруго-пласти­ ческом состоянии.

§9. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

СУЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Изучение устойчивости оболочки «в большом» учитывает только геометрическую нелинейность, что означает, как отмечено выше, удер­ жание в рядах для выражения деформаций через перемещения квадра­ тичных Членов, например:

При этом независимо от величины нагрузки всегда предполагалось, что материал в процессе деформирования остается упругим, т. е. связь между напряжениями и деформациями линейна.

Однако в зависимости от геометрии оболочки и свойств ее материа­ ла при .некоторых значениях нагрузок могут появиться деформации, которые нельзя, описать линейными зависимостями о —е, и тогда необ­ ходимо при расчетах учитывать другое (вообще говоря, нелинейное) соотношение между а и е, учитывающее изменение физических свойстз материала в процессе нагружения. Эту нелинейную связь между а и е пытались учесть путем введения в расчет диаграммы Прандтля или диаграммы с линейным упрочнением.

С точки зрения необходимости получить более полное представле­ ние о работе оболочек интересен учет в теории их расчета на соответ­ ствующих стадиях напряженного состояния и деформирования обоих видов нелинейности — геометрической и физической. Сложность задачи видна хотя бы из того, что с момента появления, пластических дефор­ маций уже необходимо учитывать различие законов нагрузки и разгруз­

принимает для расчета пологих оболочек справедливость гипотезы Кирх­

гофа Лява, а материал предполагает нелинейно-упругим полагая совпадающими законы:

постоянные С, пг и а можно найти по условной диаграмме растяжения. Геометрическая нелинейность учитывается, как и -в § 8 этой главы, вводом квадратичных членов в выражениях деформаций через переме­

щения срединной поверхности:

Приравнивая вариацию внешней работы вариации работы внутрен­ них сил, получим соотношение

которое связывает между собой четыре функции.

1. Функцию F 0 срединной поверхности оболочки при начальном на­ гружении (эта функция входит в (5,9,18) через кривизны пологой обо­ лочки) :

В уравнение (5,9,18) эта функция входит через перемещения и, v, w.

3.Функцию нагрузки q (х, у, z ) .

4.Функцию о(еи), которая описывает физические свойства мате­ риала. •

Пусть заданы функция ou=o(eu), форма оболочки до нагружения

решение этой задачи, предполагая степенную зависимость напряжений от деформаций. Подставив (5,9,2) в (5,9,15), получим

При k = \ и А — Е получим энергию деформации линейно-упругого тела:

брать функции щ , Vi и Wi так, чтобы они удовлетворяли кинематическим граничным условиям и возможно лучше описывали деформированную

поверхность оболочки. Полезно представить функции щ, Wi в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от од­ ной координаты:

В качестве последних можно выбрать, например, балочные фунда­ ментальные функции, соответствующие граничным условиям. Изложен­ ный метод является довольно трудоемким для расчета оболочки с уче­ том физической и геометрической нелинейности.

Рассмотрим оболочку со смещающимися кромками. В этом случае возможно построить приближенное решение, применяя упрощенную формулу для интенсивности деформаций:-

Подставив (5,9,53) и (5,9,52) в (5,9,50), получим

Составляя из формулы (5,9,55) эти условия 1) и 2) и приравнивая соответствующие коэффициенты, получим систему пяти уравнений для определения пяти неизвестных коэффициентов. Решая эту систему, най­

дем следующие значения коэффициентов m , b 0, S , ш0, С0: