книги / Оболочки и пластины

7. Нижняя критическая нагрузка для пологих выпуклых оболочек

Выпуклую оболочку называют пологой, если при любом ее выпучи­ вании н-е возникает пластических деформаций. Поясним это на примере сферического сегмента.

Пусть сферический сегмент с кривизной 1/R имеет высоту 6(ь Всякое выпучивание та­ кого сегмента имеет высоту 6<6о. Требова­ ние, чтобы с;егмент был пологим, состоит в том, чтобы при любом 6<6о

работа, «производимая «внешней нагрузкой при выпучивании, a U — энер­ гия деформации. Точки пересечения 1 и 2 этих графиков соответствуют состояниям равновесия сегмента с выпучиванием. Именно в точке 1— неустойчивое равновесие, а в точке 2 — устойчивое. График С изобра-

дА

жает функцию :— , соответствующую нижней критической нагрузке qYl.

дЬ

Чтобы определить нижнюю критическую нагрузку, достаточно знать прямую С. В связи с определением прямой С заметим следующее..Вплоть

шой ошибки, если вместо С возьмем прямую С', проходящую через точ­

нижняя .критическая нагрузка определяется как нагрузка, уравновеши­ вающая выпучивание на высоту 6о, и, следовательно, находится из соот­

Если «место высоты сегмента 6о «вести радиус основания р, то эта формула принимает вид

Аналогичное соображение может быть 'положено в основу определе­ ния нижней критической нагрузки для произвольной пологой выпуклой оболочки. 'Приведем окончательный результат.

.Пусть выпуклая пологая оболочка с мало 'изменяющейся средней К и гауссовой Г кривизной защемлена по краю. Пусть 6о — максималь­

ная высота сегмента, который можно отсечь от оболочки плоскостью,,не пересекающей ее края. Тогда нижняя критическая нагрузка для такой оболочки определяется «з соотношения

(5,10,82)

Я

Ранее полученная оценка для нижней критической нагрузки q a те­ перь, когда мы пренебрегли энергией изгиба по области выпучивания, упрощается. Именно

к нижней критической нагрузке? Можно ответить так, что в случае четко

представляет собой параболу, за этой точкой он резко поднимается вверх из-за пластических деформаций.

'Прямая С определяет нижнюю критическую нагрузку, а прямая С Е—полученную для нее оценку. Чтобы эти прямые 'были 'близки, надо, чтобы энергия деформации резко возрастала с появлением пластических деформаций. А это будет в том случае, если материал оболочки обладает четко 'выраженным пределом текучести.

В заключение заметим, что формулой для нижней критической на­

где k\ —-большая из главных кривизн. В частности, для сферической обо­ лочки

(5,10,86)

Г л а в а V I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СПЕЦИАЛЬНОГО РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

Действительность нередко ставит задачу о расчете тонкостенных элементов конструкции с учетом особых физических условий, например, нагрев излучением, радиационное облучение, тепловой удар и т. д. Все это выдвигает необходимость специального расчета оболочек и пластин.

Некоторые вопросы этого рода освещены в настоящей главе, а именно: постановка задачи об определении несущей способности обо­ лочек; задача расчета прочности оболочек, подвергнутых нагреву излу­ чением, или подвергнутых радиационному облучению, тепловой удар и теория теплового пограничного слоя.

В этой же главе дана постановка и примеры решения задачи об оп­ ределении оптимальных параметров оболочки.

§ 1. ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК

Напряжения, возникающие в теле при активной упруго-пластиче­ ской деформации, имеют потенциал, представляющий собой работу внут­ ренних сил [il], В случае несжимаемого Материала работа внутренних сил, приходящаяся на единицу объема тела, равна

W = f a ad ea.

О

Правомерно ожидать, что силы Т и моменты М, возникающие в обо­ лочках, также имеют потенциал, который представляет работу внутрен­ них сил, приходящуюся на единицу площади срединной поверхности:

h_

2

Вариация функции U, соответствующая вариациям деформаций 6ь бег, 6е 12 'Иискривлений 6хь 6x2, 6x12, должна равняться работе сил Гь T 2l Т 12 и -моментов Мь М 2, М \ 2 на вариациях деформаций и искривлений:

имеем способ выражения сил и моментов через деформации и искривле­ ния:

Теперь рассмотрим возможность постановки задачи без уравнений равновесия элемента в виде вариационного уравнения равновесия обо­ лочки. Для этого необходимо составить вариацию работы внутренних сил оболочки:

и2 ______

=j 0НV e l — e \Q deHsign (еи2 — еи1). *И1

Л я Отметим, что точка z = z 0 есть точка минимума е и, так как — 51 > 0, и,.

dz2

следовательно, (всегда имеют .место неравенства

здесь приняты обозначения:

1н0

/ * V .

эти формулы дают значения интенсивности деформаций в трех точках, расположенных на оси z.

В обоих 'случаях величины e u\i eU2, euo выражаются формулами (6,1,12). Рассматривая последние -как уравнения относительно трех квадратичных форм Р е, Рек, Рк, перепишем их в виде

/>е+ АРе* + -4^ Р* = 44 еи!’

P * - k P at + £ -P x = - j e l 2,

Р г Р х - P t x =

Решение этих уравнений относительно квадратичных форм приводит к следующим результатам:

Для того чтобы определить знак в последней формуле, необходимо учи­ тывать доминирующую деформацию. Так, в случае доминирующей де­ формации изгиба имеем

Оно будет выполняться, если для Р х в скобках (6,2,7) взять знак (—). Итак, далее во всех формулах, имеющих два знака, верхний знак будет относиться -к случаю доминирующего изгиба оболочки, а ниж­

ний— к случаю доминирующего растяжения — сжатия.

Введем два основных параметра К и р следующим образом:

поскольку е и0 — минимальное значение интенсивности деформаций® дан­ ной точке оболочки. Тогда формулы (6,2,7) можно переписать в .виде

Зе;111

Я**- 8/t ААх, Р е — 16

(6,2,10)

Р— Зеи1 Д2

*х —

4/i2

.где Д1 и Д обозначают следующие функции:

Al

В'ид формулы (6,2,10) для Р г станет вполне понятным, если принять во ■внимание тождество

4р2 + Д2 = 1 + А2 + 2р2 ± 2 /( 1 — р2) (А2 — р2).

Пользуясь обозначениями л, р и установленным правилом применения двузначных формул, можно теперь переписать выражения функций А , В , С в виде

C = Z ~ Y в £ л [X (*-. И) — М-N» (*-. Ю].

причем функции ф, W и %определяются так:

ср = X — 1

Из формул (6,2,10) и (6,2,12) теперь можно видеть, что .квадратич­ ные формы P s, Р н, P Su являются функциями только параметров X, р и не зависят от величины еи1

ром равенстве (6,2,14) слагаемые имеют общий м-ножитель as /г4, а еи\ в них сокращается, а в третьем равенстве (6,2,14) слагаемые не зависят

от е и\ и имеют общий множитель а? Л3.