W (х, у, 0 ) = w0 (х, у),

ф(*. у, 0) = ф0 (х,у).

Будем считать, что кривые релаксации напряжений в материале обо­ лочки могут быть аппроксимированы функциями вида

<*ц( 0 = М 1 Уu— ( 1 —

Опыты на релаксацию растянутых образцов стеклопластиков показы­ вают, что некоторые параметры Yij и atj для образцов, по-разному ориентированных к основе ткани, могут быть с достаточной для инже­ нерной практики точностью приняты одинаковыми:

Yu = Y22*» а1Х= а12 — а22 — а -

Так, для полиэфирного стеклопластика (ПН-1, Т-1) имеем Оц = а12 = а22 = а = 0,5,

Yu = Y*a=-g-’ Y12 = M'l’Yii> Y= 3Yu.

(3,22,25)

*ц = 1,49-10»-^-, 622 = 1,14-Ю5- ^ - ; bn — bn = 0,18-10®

6 = 0,13-105

Примем

где \i\ есть неизвестный параметр. Представим прогиб w(x, у, /) в виде

где w0(x, у) есть упругое решение, а W\(t) выбирается в форме

Параметры X и р, подлежат определению. Очевидно, что X—ц=1. Функ­ цию напряжений возьмем в виде

ф(*, У, 0 = Фо(*, y)-q>i(0,

где ф0 (JC, у) есть упругое решение задачи, а <pi(0 при заданной a>i(f) найдем из уравнений (2,24,16) и (2,24,12). Таким образом, задача сво­ дится к построению упругого решения w0, <р0 и определению параметров jxi, X и ji. Полагая в уравнениях (2,24,12) и (2,24,16) &i= 0 и <7=0, полу­

Результаты вычислений для материала (3,22,25), (3,22,26) пред­ ставлены на графике (рис. 3.76) в случае 0= 0,5 и -л=0,22. Определяя критические нагрузки, получим для верхнего значения

Рв = 0,558,

а для нижнего

РИ= 0,171.

Из анализа значений вторых производных от да0 и <р0 по х и у в точке (x=L/2, у) легко видеть, что для m-нечетного решение задачи о влия­ нии времени на прогиб получается без затруднений. Рассмотрим случай /n-четного. Преобразуя по Лапласу уравнение (3,22,28) с учетом форму­ лы (3,22,29), имеем

Внесем (3,22,36) в уравнение (2,24,12). Решая полученное уравнение относительно <pi, получаем после инверсии

где

Л = А ( * 1 » . “'о, Фо. К ц. Hi).

где Ki = Ki(bn, w0, фо, К ц, |xi), причем в К\, /С2, Кз, Кб и К7 входит ли­ нейным образом нагрузка Р. Используя метод коллокации и полагая

jii = 0,12 сохраним для всех Р. Рассматривая прогиб для различных зна­

чений ^=const на участке 0<Р<Рь (£i = 0, £2= 0), получаем методом коллокации (полагая /= 0, 1, 2, 3, 4, с») систему уравнений, из которой

с помощью формулы Крамера найдем Х=1,2. На участке 0<Р<Рь из­ менение прогиба во времени при постоянных нагрузках будет выражать­ ся формулой

w (x,y t) = w0(x,y)(l,2 — 0,2е-°.5'),

т. е. прогиб может изменяться по сравнению с упругим на 20%, если /—>-оо. Предполагая нагрузку изменяющейся во времени

Время критического состояния можем найти из условия dP/dw = 0, учтя, что прогиб задан в форме

Для Х= 1,242, ц = 0,242, Ро = 0,171, ш0=1,76 (получим кубическое уравне­

Таким образом, учет линейной наследственности снижает значение кри­ тических нагрузок для оболочек из стеклопластика.

Упругое решение РВу = 0,558; с наследственностью Рвн=0,470. Упру­ гое решение Рну=0,171; с наследственностью Лш=0,137. На рис. 3.76 дан график зависимости нагрузка—прогиб: а) упругое решение; б) из­ менение прогиба во времени при t->оо и Р = const; в) с учетом наслед­ ственности при нагрузке, изменяющейся во времени. Заметим, что кри­ тические нагрузки оболочек, материал которых обладает линейной на­ следственностью, существенно зависят от режимов нагружения, увели­ чиваясь с увеличением скорости нагружения.

3. Применение табулированных сингулярных ядер в задачах

устойчивости упруго-вязких оболочек

В предыдущих пунктах при решении задач использовалась простей­ шая функция влияния — ядро релаксации в виде экспоненты. Однако, как уже отмечалось в § 23 гл. II, в начале релаксационных процессов наблюдаются весьма большие скорости, которые не могут быть описа­ ны экспоненциальной функцией или их суммой и довольно хорошо ап­ проксимируются сингулярными функциями влияния типа (2,23,17) или (2,23,18). Однако их применение в расчетах ползучести элементов кон­ струкций ограничивалось трудностью вычисления интегралов от них, появляющихся в решениях. Эти трудности в значительной мере снижа­ ются при использовании таблиц сингулярных функций влияния и их интегралов [156]. Покажем, что решение задачи об устойчивости гиб­ ких упруго-вязких оболочек может быть выражено через табулирован-

(2.23.12) и (2,23,17). Задача сводится к решению системы уравнений (2.24.12) и (2,14,16) при определенных граничных условиях. Примем их такими же, как и в п. 1 для шарнирно закрепленных кромок обо­ лочки.

Приближенное представление прогиба во времени примем в виде

(2.24.12) , получим уравнение, разрешая которое относительно ф1*, по­

где

величины, определяемые по упругим решениям. Используя теорему умножения операционного исчисления [157], согласно которой, если интегралы

сходятся абсолютно в области Rep>yi, то функция

П (Р ) = П ( Р ) П ( Р )

есть преобразование Лапласа функции

нием точек разрыва функции ф!* (р)"», — получим из (3,22,45) уравнение

лезно эти интегралы свести к табулированным функциям, чтобы избе­ жать трудностей вычисления интегралов типа

t

^ R (t — s) Ф (s) ds,

о