книги / Оболочки и пластины

(3,21,42) следует, что i|)i=cp(/i/a, k ). Для экспериментального .решения в этом случае в опыте необходимо для каждого фиксированного значения k перебрать всевозможные значения отношения h ja . Зачастую эта задача технически .невыполнима.

Таким образом, правильный выбор базы определяющих параметров, согласный с основным критерием, который в рамках возможностей тео­ рии размерности должен предъявляться к эксперименту, требует все­ стороннего предварительного теоретического анализа основных уравне­ ний. Задача теоретического анализа при этом сильно упрощается, если в основу его положены установленные выше приближенные математиче­ ские аналогии.

Ж. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗГИБА И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ

§ 22. ОБОЛОЧКИ И ПЛАСТИНЫ ИЗ МАТЕРИАЛА С НАСЛЕДСТВЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ

В § 24 гл. 2 были построены уравнения гибких пологих ортотропных оболочек: уравнение неразрывности деформаций (2,24,12) и уравнение равновесия (2,24,16). Рассмотрим путь решения этой системы относи­ тельно прогибов w (x,y,t) и функции напряжений ср(лг, у, t). Пусть ма­ териал, например ортотропный стеклопластик, задан значениями коэф­ фициентов модулей упругости Ьцтп и релаксационными кривыми с из­ вестными ядрами релаксации Rij(t), допускающими преобразование

Лапласа, так что можно найти R*j(p) и 6*/ = 6,Д1— Rq). Предполагая возможным представить прогиб оболочки w(x, у, t) в виде произведе­ ния упругого решения w0(x, у) на некоторую функцию времени W\{t), задаваемую с неопределенными параметрами так, что известно ее пре­

образование Лапласа w\(p), и внося w = w0w\ в уравнение неразрывно­ сти (2,24,12), получим линейное относительно преобразованной по Лап­ ласу функции напряжений ср*(р) уравнение. Если представить ф(х, y,t) в виде ф=ф0(х, у) quit), где ф0(х, у) — упругое решение, то задача све­

дется к отысканию инверсии функции ф! (р). Внося w и ф в уравнение равновесия, получим зависимость «нагрузка—прогиб» и критическое время. Проследим этот способ на примерах.

1. Прямоугольная панель ортотропной оболочки

Пусть имеется панель пологой оболочки, изготовленная из стекло­ пластика, с известной системой упругих постоянных 61Ь й22, 612= 621.

6= 61212 и кривыми релаксации растянутых образцов, ориентированных под углами 0°, 90 и 45°

Для построения решения упруго-вязкой задачи нам понадобится

решение упругой задачи, которая сводится к интегрированию двух не­ линейных уравнений

которые получены из уравнений (2,24,12) и (2,24,16) исключением чле­ нов, содержащих время, т. е. опусканием звездочек, означающих пре­ образование Лапласа. Решения этих уравнений должны удовлетворять граничным условиям, которые здесь принимаются для шарнирного за­ крепления кромок в виде

Упругое решение [151] будем искать методом Бубнова—Галеркина, при­ меняя прием раздельного интегрирования Власова. Аппроксимирующие функции выберем в виде рядов

В [152] доказано, что всякое решение w0, не соответствующее мо­ менту хлопка оболочки, может быть получено как предел приближен­ ных решении по методу Бубнова—Галеркина, причем оценка погреш­ ности метода записывается в виде

I w0— wNII <

N p

где p может быть сколь угодно большим, если контур, нагрузка q и функция ф бесконечно дифференцируемые. Это означает, что если ре­

падать с решением в п, приближении, которое, следовательно, будет точным решением (вернее, обладать заданной количественной точно­ стью).

Четырех членов в рядах (3,22,4) вполне достаточно для получения решений с большой количественной точностью. Внося w и ф из (3,22,4) в уравнения неразрывности и равновесия и применяя метод Бубнова— Галеркина, получим систему восьми алгебраических нелинейных урав­ нений

(ш)

которая просчитана на электронной цифровой машине для разных зна-

сторон b/a. Счет проведен применительно к полиэфирному стеклопла­

= (1,1) + (1,3) + (3,1) и четвертом, когда (тп, п) = (1,1) + (1,3) + (3,1) + + (3,3). Решения задач в виде графиков зависимости параметра нагруз­

ки q= qa2b2/EhA от параметра прогиба 1 = х u—*13—*з1+*зз приведены на рис. 3.68—3.74.

До прогибов порядка одной толщины пластины различие решений в разных приближениях невелико. При f> h рекомендуется учитывать

два члена ряда, решение в четвертом приближении q\ находится между

решениями в первом q\ и втором q2 приближениях. Для цилиндрической слабоизогнутой панели (&i = 0 kib2lh= 12) хлопка не наблюдается. Ин­ тересно поведение панели сферы с k\a2)h=kib2lh — \<l. Квадратная в плане панель (b/a= 1) прощелкивает, достигнув прогиба /« 1 ,5 А, во

всех четырех решениях. Панель с b/а = ]/2 прощелкивает в решении q1

и ведет себя как слабоизогнутая пластина в решениях <72, q%, <74 в более высоких приближениях, а панель с Ь/а = 2 хлопка не проявляет ни в- одном решении. Следовательно, явление хлопка у ортотропных, прямо­ угольных в плане оболочек зависит не только от кривизны, но и отно­ шения сторон, с увеличением которого уменьшается возможность хлоп­ ка. Из этих решений также следует, что с увеличением значений пара­ метров кривизн следует увеличивать число членов аппроксимирующих, рядов. Такая же картина решений и для панели цилиндрической обо­ лочки с параметрами кривизны (0; 24).

Из рассмотрения решений для панели оболочки двоякой кривизны (рис. 3.68—3.70) (12; 24) следует, что решения в высоких приближениях уменьшают верхние критические нагрузки и прогиб (максимум сме­ щается влево и вниз) и увеличивают нижнюю критическую нагрузку.

Из графиков видна ощутимая разница в решениях q\ и <72, <7з, <74, при­

Рис. 3.70

ласти прогибов, меньших 4,5 7ь, решения q2, <7з, q\ -практически сливаются в одно, для

Рис. 3.71

рассмотрения решений для оболочек с суммой кривизн 12+36 = 48, b / a = 1; 0 + 48 = 48, о / а = \ и 48+ 48= 96, Ь / а = 2. В случае оболочки большой кривизны (48+48= 96) четыре

члена рядов не вывели нижнюю критическую нагрузку из области отрицательных зна­

иой оболочки, материал которой обладает свойствами линейной наследственности, так

22 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

Ядро релаксации будет

Удовлетворяя уравнению неразрывности в точке (л-*, ун ), внося в (2,22,12) выражения

а2^0 а2ш0

(<d2w0/d x d y )2

«1=

ах2 а*/2

V2V2?0

постоянные (значения w0(.v, у) берутся в точке .v = a/2, «/=6/2 в центре панели)