книги / Оболочки и пластины

этих величии через первичные, называются производными, или вторич­ ными единицами измерения.

Выражение производной единицы измерения через основные еди­ ницы измерения называется размерностью. Размерность записывается

ввиде формулы. В системе CGS формулы размерности содержат три аргумента: символ единицы длины L, единицы времени Т и единицы массы М. Например, символ единицы измерения для силы записывается

ввиде

где показатели степеней /, f, m — некоторые целые или дробные веще­ ственные числа.

В системе MKS формулы размерности имеют вид

определить численные масштабные множители для пересчета соответ­ ствующих величин при изменении первичных единиц измерения.

Если вместо заданных единиц измерения длины L, времени Т и массы М перейти к новым единицам измерения, меньшим для длины в а раз, для времени в р раз и для массы в у раз, то новая единица из­ мерения для величины N с -размерностью (3,18,1) будет меньше перво­ начальной в а ьр*ут раз. Э то позволяет устанавливать переходные, мас­ штабные множители для вторичных единиц измерения при изменении первичных единиц измерения. Если число первичных единиц измерения больше трех, то формулы размерностей представляют собой степенные одночлены вида (3,18,1) с большим числом аргументов. Вообще говоря, можно вводить системы единиц измерения с любым числом первичных единиц.

Рассмотрим структуру функциональных зависимостей, описываю­ щих физический процесс, состояние среды и т. д. или вообще физиче­ ские закономерности, не связанные с выбором координат и единиц из­ мерения.

Допустим, что имеется размерная или безразмерная величина Q, которая является функцией независимых между собой размерных ве­

Некоторые из этих величин qu q2, ..., q n могут быть постоянными пара­ метрами в рассматриваемом явлении, другие переменными (например, текущие координаты, время и т. д.). Предположим, что переменные величины либо не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность, либо сама

измерения значения параметррв Q,qk+1, . . qn будут определяться по формулам

бора первоначальной системы единиц измерения. Таким образом, вели­

где,я и все аргументы функции f безразмерные.

Таким образом, функциональное соотношение (физический закон), выражающее связь между п + 1 размерными величинами, из которых k имеют независимые размерности, может быть представлено в виде соотношения между п + 1—k величинами я, я ь ..., яп-ь, представляющими собой безразмерные комбинации из п+1 размерных величин. Причем число независимых безразмерных комбинаций равно п—k. Этот вывод теории размерностей и составляет содержание я-теоремы.

Значение я-теоремы заключается в ее приложениях. На основании этой теоремы можно утверждать, что всякое физическое соотношение (уравнение), связывающее размерные величины, можно представить как .соотношение между безразмерными комплексами. Чем меньше число параметров, управляющих изучаемым явлением, тем больше ограничена форма функциональной зависимости и тем проще вести исследование. Например, если число основных единиц измерения k равно числу опре­ деляющих параметров п, имеющих независимые размерности, то с по­ мощью теории размерности эта зависимость определяется с точностью до постоянного множителя.

Нетрудно видеть, что размерности каждого из функциональных аргу­ ментов независимы, т. е. k = n = 2 . Согласно я-теореме имеем

Учитывая размерности (3,18,5) составляющих эту формулу компонен­ тов, находим гп\ — 1, rri2= — 2 и

■В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости без растяжения и сжатия срединной поверхности цилиндрической оболочки бесконечной длины под действием равномерного внешнего давления q. Поскольку оболочка считается бесконечно длин­

ной, то длина ее должна быть исключена из базы определяющих явление параметров. Определяющими в этом случае параметрами будут: [q]= KL~2\ изгибная жесткость

[D]= KL\ радиус [R]=L.

Согласно я-теореме

Независимые аргументы D и R имеют независимые размерности, т. е. k=n и, следо­

вательно, .

q = CDmiRm2.

где С — константа.

Рассмотрим еще один пример интересной в практическом отношении задачи об устойчивости цилиндрической оболочки под действием осевой сжимающей нагрузки Р, допуская, что потеря устойчивости носит локальный характер, т. е. Р не зависит от

ния устанавливалась вне зависимости от математической постановки задачи. Однако если задача сформулирована как математическая, то решение вопроса о системе опре­ деляющих изучаемое явление параметров значительно облегчается.

Комбинирование в этом случае метода размерности с экспериментом может при­ водить к далеко не очевидным результатам.

В целях иллюстрации рассмотрим задачу определения прогибов гибких прямо­ угольных и круглых пластин под действием равномерной и сосредоточенной поперечной нагрузки. Граничные условия будем считать однородными (например, свободное опирание). При решении задачи будем исходить из уравнений больших прогибов пластин

Для прямоугольной пластины со сторонами а и b решение уравнений (3,18,13) после преобразований их к безразмерным переменным х = х \а, y= y\b (0 < (.v lf у i ) ^ l ) можно записать в виде

где w, F — безразмерные функции, аналогичные функции я, имеющие вполне опреде­ ленный механический смысл. Отсюда 'следует, что для определения, например, макси­ мального прогиба квадратной пластины (а = Ь) в центре *i = {/i = ,/2 будем иметь ра­ венство

“'majc='l5i(<7*a l. ! . у у ) . или </*а* = /(ш тах),

неопределенную функцию в правой части которого легко построить из данных опыта с одним образцом.

В приведенных здесь выражениях функций ф! и фг отсутствует явная зависимость их от коэффициента Пуассона. Естественно, это возможно лишь в том случае, если в

равномерной поперечной нагрузки интенсивности q. Здесь мы более подробно остано­ вимся на теоретико-экспериментальном решении задачи устойчивости сплошной круг­ лой пластины под действием сосредоточенной поперечной нагрузки Р в центре.

Будем предполагать, что пластина свободно оперта^ по краям. При возрастании нагрузки от нуля до какого-то предельного значения Р имеет место симметричная

деформация пластины. При той же нагрузке Р симметричная форма деформации при больших прогибах становится неустойчивой и пластина хлопком (края пластины при­ поднимаются над опорой) переходит к несимметричной форме равновесия с образова­

нием волн в окружном направлении. Определим критическую нагрузку Р.

Нелинейные уравнения равновесия (3,18,13) в полярных координатах имеют вид

где а — радиус пластины. (Для сосредоточенной нагрузки в выражения функций w и F необходимо вводить величину Р*а2 вместо q*aA для распределенной.)

Для определения критической нагрузки Р необходимо от уравнений (3,18Л5) перейти к_уравнениям в вариациях, помня при, этом, что для первой формы равновесия

функции w и F от угла 0 не зависят. Уравнения в вариациях будут

Эти уравнения линейны относительно приращений функций, однако содержат пере­

руя уравнения любым из известных методов, после выполнения надлежащих краевых условий получим

В выражение функции Oj входит в качестве определяющего безразмерного пара­ метра' коэффициент Пуассона v, поскольку в общем случае граничные условия зависят

ляемая в эксперименте. Если нагрузка равномерно распределенная, то соответствующая формула для фиксированного v будет

Як = С2

(1 — Va) 3/«

Совершенно ясно, что константы в приведенных формулах для Р и qu зависят от ха­ рактера краевых условий и их определение может быть осуществлено сравнительно простыми средствами эксперимента.

Если сосредоточенная нагрузка расположена на расстоянии g от центра пластины,

периментальный результат соответствует свободно опертой до потери устойчивости пластине, процесс деформации перехода которой от симметричной к несимметричной форме равновесия сопровождается резким хлопком (выстрел) с отрывом краев от споры на части периметра.

В заключение отметим недостаточность одной лишь теории размер­ ности для решения задач, так как одной и той же базе безразмерных комплексов могут соответствовать различные уравнения, описывающие разные по своей природе физические закономерности.

§ 19. МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

Рассмотрим возможности теоретико-экспериментального метода ре­ шения задач устойчивости тонких оболочек. Этот метод основан на ком­ бинировании метода теории размерности с соображениями, вытекаю­ щими из механических представлений и математических свойств решения исходных уравнений. В условиях этого метода предварительный анализ основных уравнений зачастую позволяет, не решая самих уравнений, установить с точностью до некоторой произвольной безразмерной функции зависимость (формулу) искомой критической нагрузки от ме­ ханических и геометрических характеристик оболочки. Задача экспе­ римента— определить в структуре установленных формул эту произ­ вольную функцию. Объем экспериментальной работы при этом сводится к минимуму, так как для их определения не требуется выполнять все критерии подобия, которые необходимо соблюдать при моделировании. Поскольку в данном методе эксперимент выступает в качестве орудия исследования, заменяющего аппарат математических средств, постольку следует предъявлять высокие требования к тщательности проведения

областей устойчивости оболочек при одновременном действии несколь­ ких нагрузок. Пусть нагрузки р^Ц а, Р), .... р„ф„(а, р), действующие на оболочку, изменяются пропорционально числовым параметрам р\,.... р„, а функции фь фп остаются фиксированными. Величина АЭ изменения суммы упругой энергии оболочки и потенциальной энергии действую­ щих на нее нагрузок будет содержать величины начальных напряжений лишь в первой степени. В силу линейности зависимости их от парамет­ ров нагрузок pi, ..., рп при фиксированных величинах перемещений оболочки изменение АЭ будет линейной функцией параметров рг-, т. е. АЭ=Э 0+ Р\Э\ + ... + рпЭп, где Э, — некоторые коэффициенты, зависящие от перемещения оболочки. Равновесие оболочки будет устойчиво, если при любых малых перемещениях величина АЭ положительна. Параметры Pi, ..., рп можно рассматривать как координаты точек некоторого «-мер­ ного пространства. Тогда совокупность значений рь ..., рп, при которых равновесие устойчиво, и совокупность соответствующих им точек «-мер-

Пусть на оболочку действуют три нагрузки с параметрами р\, р2\ РзОчевидно, точки с координами (р[к—л» О» О) , (0, p2h—Ц2, 0) и (0,0, /?зь—Лз), где т]ь Л2, Лз — любые малые числа, имеющие знаки чисел. p\k, p2k, Рзн, принадлежат области устойчивости. Отсюда следует, что области устой­ чивости будет принадлежать отрезок, соединяющий первые две точки, а также любой отрезок, соединяющий третью точку с любой точкой от­ резка, соединяющего первые две точки. Следовательно, в области устой­ чивости будет находиться любая точка площади треугольника, имеющего вершинами три вышеупомянутые точки, лежащие на осях координат. Точки площади треугольника удовлетворяют соотнощениям

и, следовательно, любая точка пространства параметров, удовлетворяю­ щая соотношениям

находится в области устойчивости, ибо при этом всегда можно подо­ брать числа т]ь Л2> Лз так, чтобы выполнялись предпоследние соотно­ шения.

2. Задача моделирования

При проведении экспериментальных работ с оболочками весьма важно установить критерии подобия натурных образцов и моделей. Теория размерности и подобия в этом вопросе является определяющей. Моделирование — это замена изучения данного явления, в натуре изу­ чением того же явления на модели других масштабов с тем, чтобы по результатам опытов на модели получить количественные и качествен­ ные характеристики данного явления в натуре. Моделирование осно­ вано на механически или физически подобных явлениях. Для подобия двух явлений необходимо и достаточно, чтобы численные значения управляющих безразмерных комплексов, образующих базу, в этих двух явлениях были одинаковы.

Условия о постоянстве базы отвлеченных параметров, составлен­ ных из заданных величин, определяющих явление, называются крите­ риями подобия.

База отвлеченных параметров, определяющая все характеристики данного явления, в каждом конкретном случае устанавливается в со­ ответствии с основной в теории размерности я-теоремой.

Займемся задачей моделирования применительно к круговой кони­ ческой оболочке, преследуя цель, которая диктуется соображениями излагаемого здесь смешанного теоретико-экспериментального метода.

Для простоты изложения граничные условия будем считать одно­ родными. В силу этого в безразмерных переменных они могут зависеть лишь от параметров, определяющих геометрию оболочки, и от коэффи­ циента Пуассона; критерии подобия при этом можно установить, поль­ зуясь лишь уравнениями равновесия.

Для решения поставленной задачи будем исходить из нелинейных уравнений равновесия элемента круговой конической оболочки. При выводе этих уравнений в системе координат линий кривизны срединной