Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

41.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 6355 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

§ 5.6. Классические задачи теории пластичности

541

области эти соотношения заменяют на Y\p{t) = Y*p, где Y*p — значение, достигнутое на предшествующем цикле пластического нагружения.

Подставляя в (5.6.23) выражение (5.6.20) для Н\, находим

	sign (а'с - 3ре) Wc ~ Зре\| \ 2щ+1		если Y\H ^	—(у с
		Я?		С’
		Я?
YiP =<	-sign (о’Т + 3р,	\а'т + Зре \| \ 2щ+1	v ^	/	(5.6.24)
YiP =<	-sign (о’Т + 3р,	Hr	если YJ# ^
	V*	Hr	если — а'с < Y\H < YT,
	V*
	Мр’

где

-У 1Я = Зре + #?|Y lp|2ni+Isign У1р.

Поскольку соотношения (5.6.10), (5.6.11) для упругой деформации имеют место и для пластически-сжимаемой среды, то, объединяя их с (5.6.19), (5.6.24), получаем

(п)		(п)	(п)	Л,	тДП-П+3
C	= C e + C p =			- i (	^ --------Y];р) е .		(5.6.25)
Принимая во внимание формулу (5.6.3), находим
		J	(\ j.n--IIII \^ _		РеP e jи\.I IпI-пn+3б	v _
	n —III		^	} ~ K k		Ylp
ИЛИ			3(1 -	А;"-111)	,71—III—3
	Ре
		~ к	(	ш	+ Ylv)	-	<5А26>
					' - у -

Добавляя к (5.6.26) выражение (5.6.24), приходим к нелинейному соотно шению между ре и к. Полученные соотношения зависят от пути нагружения пластической среды. Проиллюстрируем это на следующем примере.

Пусть функция ре = рекш ~п задана в виде немонотонной зависимости от t (рис. 5.6.4), причем ре(0) = 0 и Y\p = 0, а Н\ ^ 0. Тогда из выражения (5.6.24)

для участка упругого сжатия получаем
	ОА:	0 < ре < сг^/3, Y\H = -З р е > -v'c*	Y\v =
для участка пластического сжатия
АВ:	ре > сг^/3,	Y\H = -(3 ре + Y\PH\) = -а'с , Ylp =	(а'с -	Зре)/Н\ < 0;
для участка разгрузка-упругое нагружение
ВС:	-* $ /З ^Р е< (т % /г, YXH = -(Зре + YfpHf) > -а'с ,			Ylp = Y?p < 0;
для участка пластического растяжения

CD: - a T/f 3 < p e <- a%/ 3, YlH = -(Зре + YlpH x) = а’т, Y\p = ~(сг'т + 3ре) < 0;

§ 5.6. Классические задачи теории пластичности	543
°т = “ Зре\|с = а'т - а'с + Зре\в ,	(5.6.30)

т. е. пределы текучести на растяжение а'т и а^ отличаются на величину превышения нагрузкой 3ре предела текучести на сжатие {а'с — 3ре). Это является характерной особенностью рассмотренной модели Губера — Мизеса.

5 .6 .2 . Задача о раст яж ении пласт ического бруса

Рассмотрим уже изучавшуюся ранее классическую задачу о растяжении бруса (см. т. 2, пример 1.1.1 и упр. 1 к § 1.1, упр. 2 к § 1.3, упр. 13 к § 3.2) для случая, когда брус соответствует модели Ап Губера — Мизеса изотропной упруго-пластической среды, описываемой соотношениями (5.6.5) и (5.1.92).

Закон движения для данной задачи не зависит от типа сплошной среды. Ищем его, как всегда, в виде (3.4.1)

xa = ka(t)X a , се= 1,2,3.	(5.6.31)
	( п )

Градиент деформации F и энергетические тензоры деформации С в за даче о растяжении бруса (см. т. 2, упр. 1 к § 1.2 и упр. 13 к § 3.2) имеют диагональный вид

	F	^ ^ kaGa (Э O Q / ,	(5.6.32)
		(У =1
	(п)	3 (п)	(5.6.33)
	С =	у v С ааеа (8) ©а,	(5.6.33)
		(У - ]
			(5.6.34)
Изменение плотности
	J = p/p = d e tF ' = к1кфу		(5.6.35)
Тензоры упругой и		(n)	(п)
Тензоры упругой и	пластической деформаций С е и		С р будем искать
также в диагональном виде:
	(п)	3 (п)	(5.6.36)
	С е =	2_j Сааёа ® ёа,	(5.6.36)
		Су— 1
	(п)	3 (п)	(5.6.37)
	С р =	У ] С^,аёа <g>ёа .	(5.6.37)
		а=\
В силу соотношения аддитивности (5.1.3)
(п)	(п)	(п)

С а а = С еа а + С * а, « = 1 , 2 , 3 .

(5.6.38)

544	Глава 5. Пластические среды

Соотношения (5.6.5) и (5.6.6) в данной задаче также справедливы.

(п)	(п)
Переходя к декартовым компонентам Т	тензора Т , из (5.6.5), (5.6.6)

и (5.6.36) получаем, что отличны от нуля только диагональные компоненты этого тензора:

	(п)	(п)			(п)	се =1,2,3;	(5.6.39)
	Т г	= J ( h h ( C e) + 2l2C eaa)9				се =1,2,3;	(5.6.39)
		(п)	з	И
		(п)	*	И			(5.6.40)
		Т =	/	v Т аа&а ® еск*			(5.6.40)
		( п )	а = \
		( п )	имеет вид (3.4.8)
Соотношение между Т и Т			имеет вид (3.4.8)
_	(п)				з
_	un-llVrri	С *, а =1,2,3;			Т = £	® ес	(5.6.41)
O’п —	1	С *, а =1,2,3;			Т = £	® ес	(5.6.41)

а = \

Уравнения равновесия (5.5.9) при f = 0 удовлетворяются тождественно. Поскольку боковая поверхность бруса Х а = ±h^/2 (а = 2,3) является

свободной от нагружения, то из граничных условий (п • Т = 0) на этой поверхности, как и для идеально-упругого тела, имеем

( п )	(5.6.42)
оаа = 0, Т аа = о, а = 2,3.

Подставляя (5.6.42) в (5.6.39) и суммируя все три соотношения (5.6.39), находим

( п )	( п )
	Т п	(5.6.43)
h ( C e) =
	J (31 [ + 212)

Если подставить выражение (5.6.43) для первого инварианта снова в

(п) (п)

(5.6.39) при а = 1, то найдем соотношение между Г ц и С®!, а из формулы

(п) (п) (п)

(5.6.39) при а = 2, 3 получим связь между С ^ , С \ г и С ',:

(п)(п)

	T n = J E C eu ,		(5.6.44)
(п)	(п)	(п)	(5.6.45)
C e22= C h		= - u C eu ,

где модуль упругости и коэффициент Пуассона при конечных деформациях:

(5.6.46)

Рассмотрим определяющие соотношения (5.1.92), (5.1.93) для пласти ческой деформации, полагая изотропную среду пластически-несжимаемой.

В силу	предположения (5.6.37)				о диагональности		(п)	(5.1.92)
							тензора С р, из
имеем
d (рр _		kh	( n )	1 (n )	( п )	1.	а =1,2,3.	(5.6.47)
J t	aa=	з^!	т аа -	2 Т 11	-Н (С ? аа- - ¥ 1р

§ 5.6. Классические задачи теории пластичности

545

Здесь Н — параметр упрочнения, Y\p — первый инвариант,

				H = HQY 2n\				(п)
				H = HQY 2n\			Ylp = h ( C p),
тл2	__	1 (П)	(П)		i	(П)	(n)	(n)	(n)
тл2	__	_ ( ( П Р	_	П Р	i	( r<P _	r i p \ 2	\| ( r i P _	r i P \ 2 \	(5.6.48)
Yp	—	9 U ° 1 1		° 2 2 )	+	1 ° 2 2	U ЗЗ)	“l" v u l l		(5.6.48)

Отметим, что соотношения (5.6.47) и (5.6.48) симметричны относительно

(п)(п)

индексов а = 2, 3, поэтому С р2 =			С д3,	причем	из условия	пластической
несжимаемости (5.1.93), когда Y\p = 0, находим
	(n)_	(п)		1 О)
	гКР	_ s-iP _		1 s-iP		(5.6.49)
	° 33 — ° 22 —			2 ° 11 *		(5.6.49)
	° 33 — ° 22 —			2 ° 11 *
Тогда система (5.6.47) принимает вид
	d< ±	kh	2<“>		.	(5.6.50)
	Л с " = ^ ? } ъ т " - н с " )-					(5.6.50)
	Л с " = ^ ? } ъ т " - н с " )-
d (n)	kh	1		(п)	а = 2,3.	(5.6.51)
j t C paa = ^ { - ' - T			n - H C paa),		а = 2,3.	(5.6.51)

Очевидно, что уравнения (5.6.51) являются следствием (5.6.50) и (5.6.49), поэтому в системе (5.6.50), (5.6.51) независимое уравнение только одно — (5.6.50). Это уравнение позволяет определить параметр нагружения х, если

известны	(п)	(п)	^
	Т \\	и С рп .
Для	вычисления пластической деформации		С рп используем уравнение

поверхности пластичности (5.1.96), которое в данной задаче принимает вид

1 (п)	(п)	(п)	(п)	(п)	(п)
^ ( ( Г „	- Н ( С рп -	С%))2 + ( Т и - Н ( С рп -			c l з))2+
					(п)	(п)	= 1.
				+ Н 2(С Р		С 1з)2)	= 1.
					22	С 1з)2)

Здесь учтено выражение для ТД из упр. 1 к § 5.1.

В силу соотношений (5.6.49), уравнение (5.6.52) упрощается:

(п)	Ч (п)	г-
\ T u - ^ H C pn \ = V 3 a s.
Поскольку
я = H0Y 2^ = Н0(С РП -	с р2)2п° = щ ( ^ с рп ) 2п\

формула (5.6.53) принимает окончательный вид

(5.6.52)

(5.6.53)

(5.6.54)

(5.6.55)

(п)

Для того чтобы из (5.6.55) найти выражение для С рп , по аналогии с формулами (5.6.22)-(5.6.24) следует рассмотреть отдельно случаи пластического

546 Глава 5. Пластические среды

растяжения, пластического сжатия и схода с поверхности пластичности. Тогда из (5.6.55) получаем

	2 .	( \		/о	(п)
	2 .	/гр	-	/о	W \| Т п —л/3сг5к 1/(2п0+ 1)
	-sign	( Т п	-	V 3 CTS)(J-------- -------'.у/^щ +ч,
	д				Ио	если Y\H ^		л/3сг5,
( п )						если Y\H ^		л/3сг5,
( п )	—
ГР	—							(5.6.56)
О и	-	( Т п	+ л/За8)(1Г11^			<7а1)1/(2п<>+1)),		(5.6.56)
	^sign	( Т п	+ л/За8)(1Г11^			<7а1)1/(2п<>+1)),
	о				Tin	если Y\H ^		—л/3сг5
	(п)					если Y\H ^		—л/3сг5
	(п)
	г р*	если	-	V 3 a s < Y\H <		л/3а8,
где	У° 11’	если	-	V 3 a s < Y\H <		л/3а8,
где				(П)	Q (]I )	О ,1	(п)
		Уш		(П)	Q (]I )	О ,1	(п)
		Уш	= Т и ~ Н0\ 1 с рп \2щ+Х sign				(С рп ).
				(п)	^			(п)

Здесь учтено, что as > 0; С р\ представляет собой значение С рп , достигнутое

(п) *	0).
к моменту t* схода с поверхности пластичности (при t = 0: С р\ =	0).
	( п )

Воспользуемся соотношениями (5.6.38), (5.6.45) и (5.6.49) и выразим С 22

Н	(“L
через С п и С ?,:		(п)	(п)	(п)				(п)	у(п)
		(п)	(п)	(п)				(п)	у(п)
т. е.		с 22 =	с е22т С р2 = - и С \ х -						-l c pn ,
т. е.		(п)	/	Ы		1		(п)	\
		(п)	/	Ы		1		(п)	\	(5.6.57)
		С р2 = - Г		с	п + ( 1 - ^ С рХ					(5.6.57)
Выражая с помощью соотношений (5.6.34) ^									(п)	(п)
Выражая с помощью соотношений (5.6.34) ^									через С 2 2 , а С и — через
fci, получаем выражение ^						(П)
fci, получаем выражение ^			через &i и С ^ :
k2 = (1 + (n —1П)С22)1/(п“Ш) = (l -						(n -		III)(i/C n +
	(n) \	l/(n-—Iill)I I	/		n-III				1	(n) l / ( n - I I I )
	^ n ) )	= ( l - v ( k			n-III		1) - (n		H I )( 2	— ^ ) С n
+ ( 2	^ n ) )	= ( l - v ( k			1		1) - (n		H I )( 2	— ^ ) С n
										(5.6.58)

Поскольку /с2 = fc3, то, подставляя (5.6.58) в (5.6.35), получаем выражение для изменения плотности

О	1 /	ттт	1	О ) \	—2 / ( n —III)	(5.6.59)
J = p/p = k~Xl			- l) - ( r c - I I I ) ( -	- v ) C pn )	.	(5.6.59)

Обратим внимание на то, что хотя рассматриваемая среда является плас- тически-несжимаемой, но, в отличие от задачи о всестороннем сжатии, в дан ном случае плотность зависит от пластических деформаций.

(п)	(п)	(п)
Из (5.6.44) и (5.6.38) находим связь между Т п ,	С и	и С рп \

§ 5.6. Классические задачи теории пластичности			547
(п)	(п)	(п)
(п)	(п)	Т п	(5.6.60)
С и	= С рп +	Т п	(5.6.60)
		EJ

Рассмотрим частные случаи нагружения.

1. При первоначальном пластическом растяжении выполняются условия

(п) ^

(п)

л/3as. Тогда для пластической деформации

(п)

С \\

= 0 и Т п

С рп из первой

строки формул (5.6.56) следует

Г<Р

—

(5.6.61)

(°)О -и -

Яг,

где Н0 = Я0(3/2)2п°+1.

( п )

Подставляя

(5.6.61)

(5.6.60)

на

к\ согласно

формуле

и заменяя С\\

( п )

на ап согласно (5.6.41), получаем

(5.6.34), а Т п

к Г ш -

аи-п^

2(k\u~nan -

кх

G11

V 3 a s \

4 ( 2

n 0 + l )

(5.6.62)

п - III

+ 3

Но

Добавляя к этому соотношению выражение (5.6.59) для J, в которое подстав

лена формула (5.6.61):

1 /

LlH-n.

л/З с

п-Ш

= l ( 1- Щ Г Ш-1) - (n - in)

| 2по+1

(5.6.62а)

получаем основное разрешающее уравнение данной задачи при первоначаль ном пластическом растяжении. Это уравнение имеет вид неявного соотноше ния Ф(<т11, к\) = 0 между сг\\ и к\.

2. При первоначальном нагружении в упругой области пластическая

О)

деформация отсутствует {Срп = 0), поэтому формулы (5.6.62), (5.6.62а) сов падают с разрешающим соотношением моделей Ап для упругих сред (3.4.18):

Ln-III-l	1))2/(Ш - п )	(5.6.63)
- т -

3.Пусть происходит первоначальное пластическое нагружение в обла-

(п)(п)

сти сжатия и выполняются условия С р* = 0 и Т п ^ —л /3 crs. Тогда в фор муле (5.6.56) выбираем второе условие, в результате чего для пластической деформации имеем

g p = _ ( \ k iP~n<Ju + ч/3,7,\|Ц/(2по+1)		(5.6.64)
Я 0	~

а вместо (5.6.62) и (5.6.62а) получаем следующее разрешающее соотношение:

Ш - 1	7Ш-п	п	' \|^ n - V n +	л/3a s \ \ V(2по+1)
	k\				(5.6.65)
п-111	EJ		Но	~

548				Глава 5. Пластические среды
J = f 1 П(		-1 и (-к Г Ш -	/	1) -	( п	/	-	I I I- и) ) { ^ 1~- П а П + ^ а А у п 0+ ^ т - п
к1	V	41	/	4		/		' v	н 0

(5.6.65а) 4. При разгрузке после пластического нагружения в области растяжения или сжатия из уравнений (5.6.59) и (5.6.60) получаем следующее соотноше

ние между од1 и к\\

	к'	1 =	к]	11	+ С р\,	(5.6.66)
	п - III		-С/J
J = 1	(l - К Ч " Ш - 1) -	(п -	Ш	) -	и) с р*)	(5.6.66а)
где С р\ —	максимальное значение		пластических деформаций,			достигнутых

в момент времени £* начала разгрузки. Для предварительного пластического растяжения это значение вычисляется по формуле (5.6.61), а для сжатия — по формуле (5.6.64).

Численный метод решения разрешающего уравнения

Перенесем в правую часть первое слагаемое из левой части уравнения (5.6.62), а затем возведем получившееся выражение в степень (1 + 2щ ), тогда

/ ъп~111 —1		П7п \ _	/с{П П(711 —\/3 (7g		(5.6.67)
А \ х	1	E J		Но
п -	III
где		к?~ш - 1	кт - п	\ 2щ
А(к\,ап ) = 1					(5.6.68)
		0/1	J(k,au)aU)
		п - III

Используя для численного решения уравнения (5.6.67) метод последова

тельных приближений, по заданным		значениям	к\	и значениям	{га—1}	на
					<7^'
(т — 1)-й итерации находим значение		на т -й итерации:
~{ш} =		Т Т А \ т П —1}]		П —III	(5.6.69)
	+ H0A {m- l}/ J {m- ]}	+ ЩА	III	----- 1 "-111
1		п -
где j { m ^	^) и А^т ^ = А(к\,а\™		^)	— значения функций на
предыдущей (т — 1)-й итерации, т =		1,2,... В качестве начального значения
{0}	{га}

<j\x можно принять значение <7^ J, полученное на предыдущем цикле ите

раций для предшествующего значения к\. Метод является сходящимся при значениях щ из интервала —0,5 < щ < 1.

Разрешающее уравнение (5.6.65) в области сжатия решается аналогичным способом. В областях упругого нагружения и разгрузки напряжение <7ц вычисляем явным образом из уравнений (5.6.63) и (5.6.66).

Функции crii(fci), полученные указанным численным методом для раз ных моделей Ап и при различных значениях параметра Щ, приведены на рис. 5.6.5. Для моделей А\ и Ац функции crn(fci) являются выпуклыми вверх как для чисто упругой среды, так и для упруго-пластических моделей. В то же время для моделей A YV и Ау в пластической области (при к ^ ks,

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 6355 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.56 Mб3Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
12.11.20233.31 Mб2Механика сплошной среды. Законы сохранения.pdf
#
12.11.20233.28 Mб2Механика сплошной среды. Кинематика.pdf
#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб25Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб4Механика сплошной среды..pdf
#
12.11.202318.31 Mб3Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов.pdf
#
12.11.20239.02 Mб6Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)..pdf
#
12.11.20233.44 Mб3Механика твердого деформируемого тела..pdf
#
12.11.202311.85 Mб10Механика трещин..pdf