книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 5.7. Плоские волны в пластических средах |
561 |
решения, этот случай реализуется, когда обращается в нуль определитель
системы (5.7.32): |
|
det ( ) = —p d X s + с1dt2dX = 0. |
(5.7.33) |
Из (5.7.33) находим уравнения двух семейств характеристик: |
|
dX = ±adt, |
(5.7.34) |
где |
(5.7.35) |
a2(k) ее c\{k)/p |
— скорость звука в пластической среде.
Подставляя (5.7.34) в первое и второе уравнения системы (5.7.28), полу
чаем условия на характеристиках: |
|
|
|
|
|
||
о |
dt |
. dT |
77 |
|
dt |
. dv |
|
pdv = |
dl —— = |
± — , |
dk = |
dv—— = |
± — , |
|
|
или |
dX |
a |
|
|
dX |
a |
|
pa dv =F dT = 0, |
a dk =F dv = 0. |
|
(5.7.36) |
||||
|
|
||||||
Введем функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
№ |
Л |
л iJ |
,„( |
— |
„ i J \ |
m J |
(5.7.37) |
= ci(k')dk', |
cp(k) |
= |
a(fc') |
dkf, |
|||
|
l |
|
|
|
l |
|
|
для которых d^ = ci dk, dip = adk, тогда уравнения (5.7.36) можно проинте
грировать: |
y?(fc) =F с = const. |
(5.7.38) |
£(fc) —Т = const, |
Таким образом, имеем два семейства характеристик и по два условия на каждой из них:
dX — a(k) dt = 0, |
|
|||
< v — ip(k) = |
рР+ = const, |
(5.7.39) |
||
Т — £{k) = |
^ |
= const; |
|
|
{ dX + a(fc) dt = |
0, |
|
||
c + |
y?(fc) = |
|
= const, |
(5.7.40) |
T - |
f (fc) = |
^ |
= const, |
|
Выберем точку At на фазовой плоскости (X, t). Для нее всегда су ществуют две характеристики, причем для одной из них касательная яв ляется положительной (dt/dX = 1/a > 0), а для другой — отрицательной (dt/dX = - 1 /a < 0).
Рассмотрим такую точку At, для которой обе характеристики пересека
ются с осью ОХ |
(рис. 5.7.2) в некоторых точках Р и Q. Поскольку |
точки |
Р и Q принадлежат области задания начальных условий (5.7.30), то |
в них |
|
v = 0, k = I и Т |
= 0. Тогда из условий (5.7.39) и (5.7.40) следует, что вдоль |
|
564 Глава 5. Пластические среды
v(X,t) = -<p(k(X,t)) = -<p
В силу произвольности точки М , полученные соотношения (5.7.49) пред ставляют собой искомое решение в возмущенной области для таких значений t, при которых аргумент функций (5.7.49) неотрицателен, т. е. t > Х/а.
Для |
моментов времени t |
^ |
Х /а |
возмущение не доходит до рассмат |
|
риваемой |
точки М и вместо |
(5.7.49) |
получаем решение, |
соответствующее |
|
состоянию покоя: |
|
|
|
|
|
|
к = 1, |
Т = |
0, |
v = 0, t < Х/а. |
(5.7.50) |
Построенное решение (5.7.49), (5.7.50) имеет место только до тех значений времени t, при которых головная волна не доходит до тыльной поверхности пластины X = h®, т. е. при t < h°{/aQ.
5 .7 .3 . Сравнит ельный анализ реш ения для разны х м оделей А £
Проанализируем полученное решение (5.7.49). При активном нагружении,
(п) ^
когда dpe/dt ^ 0, имеем С\\ = 0. Тогда для t > Х /а из (5.7.49) следует, что da\\/dt = dT/dt ^ 0 и нагружение пластины происходит в области сжатия. Следовательно, соотношения (5.7.20), (5.7.21) и (5.7.25) в упругой области
принимают вид |
|
|
_ |
_ |
h+ = 0, |
h- = 0, |
h+ = |
h- = 0, |
|
^ — 1 |
^ |
—П. _1 97Щ 72(п—ш —1) |
||
CQ = 1, |
с\ |
= (1\ + |
212)кх |
|
,гг—I I I —1 |
(5.7.51) |
|
если Т и — Т 22 > —л/3сг5.
Н |
(п) |
Подставляя в формулу (5.7.18) выражение (5.7.19) для Т 22, а вместо Т и его выражения через к, согласно (5.7.12), (5.7.38) и (5.7.49):
(п)
Т и
находим предельное значение к = ks < 1, при котором появляются пластиче ские свойства при сжатии:
2(n —ill; —1 |
(Д —//Д/i —LLi)Ks |
l\ |
-f Zt2 |
(5.7.52) |
|
Здесь, как и ранее, г/ = 1\/{2{1\ + ^)) — коэффициент Пуассона.
566 |
Глава 5. Пластические среды |
не возрастает (для AjV остается постоянной, а для Ау убывает). Для всех моделей Ап функция а{к) в рассматриваемом случае имеет разрыв при к = = ks, поскольку было сделано допущение о линейном упрочнении среды (см. формулу (5.7.20)).
|
|
5 .7 .4 . |
П лоски е волны в м оделях AjV и А у |
В силу |
того, что |
£(fc) является отрицательной при k < 1 и монотонно |
|
убывает |
в |
диапазоне |
значений к от 1 до 0 для всех моделей Ап, функ |
ция k(t) |
= <^_1(—Pe(t)) |
монотонно убывающая (здесь к(0) = <^_1(—_ре(0)) = 1, |
|
а также учтено, что по предположению pf(t) ^ 0). Следовательно, на лицевой поверхности пластины X = 0 функция k(t) монотонно убывает, а функция а(к) возрастает для моделей А\, А^ и убывает для моделей AjV, Ay.
Тогда на фазовой плоскости (t,X) в области возмущения для «+»-ха- рактеристик (как было показано выше, они являются прямыми) тангенс их угла наклона к оси ОХ с ростом t в моделях AjV, Ау увеличивается, а в моделях Aj, AJJ — уменьшается (рис. 5.7.6). Уменьшение же тангенса угла наклона характеристик t = Х/а{к) означает, что характеристики с разными значениями к могут пересекаться на головной волне. В результате возникает неоднозначность решения, что недопустимо в рамках сделанных нами допу щений об отсутствии для исследуемого решения скачков функций к, Т и v (допустимы только скачки их первых производных). Таким образом, для моделей Aj и AjXполученное решение неприменимо и оно будет построено иначе (см. п. 5.7.5).
Для моделей AjV и Ау характеристики не пересекаются и полученное решение (5.7.49) действительно имеет место. Графический способ построения решения (5.7.49) по заданным значениям функции pe(t) показан на рис. 5.7.6.
Рассмотрим частный случай нагружения, когда нагрузка ре имеет скачко
образный характер: |
|
Pe=P°e h(t), |
(5.7.54) |
где h(t) — функция Хевисайда. Тогда Т и к на лицевой поверхности пластины вначале изменяются от 0 и 1 соответственно до конечных значений Т° и fc° < 1, а затем остаются постоянными для всех t > 0. Следовательно, на фазовой плоскости (£, X) образуется угол, ограниченный характеристиками X = aQt, X = a(kP)t и покрытый характеристиками X = a{k)t, к0 < к < 1 («веер» характеристик). Волны, соответствующие этим характеристикам, на зывают волнами Римана (центрированными волнами) по аналогии с волна ми в газовой динамике (см. т. 3, п. 1.3.16). Эти волны характеризуются тем, что движутся без изменения амплитуды значений Т и v (рис. 5.7.7).
