Для главных линейных моделей Ап несжимаемых изотропных вязкоупру гих сред функционал -фимеет следующий вид (сравните его с потенциалом
для упругих несжимаемых сред (т. 2, (3.9.40))):
о
о
° т 0 ( -
0
+ 212 тМФ
\
4
(п)
ч
(п)
РФ = рФо+ рф° + [т +
2
1\(Св) ~
q\{t -
т)1\(Св(т)) d r j l i ( С в)~
/
(п)
Г
(п)
(п)
ч
(4.3.5)
- 2 \ l 2I2(C e) +
q2(t - T)Ce(t) ■■С в(т) dr),
о
где l\, l2, m — константы; q\(t — т) и q2(t —т) — ядра.
Соответствующие определяющие соотношения (4.3.3) записывают следу ющим образом (сравните с формулой (т. 2, (3.9.40)) для упругих сред):
( п )
Г)
(П) 1
- ( п )
- ( п )
Т
п -1Ш
G~' + {m + h n ( C e))E + 2l2C e.
(4.3.6)
( п )
Здесь 1\1\, 12С$ — линейные функционалы:
ч,
= Ш
(n)
Г
(п)
r\{t - т) d!i(Cff(T)),
h h
С в) ~
q x{ t - T
) I x{ C e { T ) ) d T =
.
(n)
(n)
q2(t -
(n)
r2(t - T ) d C e ( r ) .
(4.3.7)
12С в = 12С в -
т)Св(т) dr =
Константы ф0 и po = p( 0) выбирают из условий нормировки (т. 2, (3.8.50), (3.8.51)) по формулам (т. 2, (3.9.41)), как и для упругих сред:
Po = Ре + т ,
ф° = 0,
(4.3.8)
где ре — константа, фигурирующая в начальном значении тензоров напряже-
е (п)
ний естественной конфигурации /С: Т = —реЕ.
4.3.3. Линейные модели А п несжимаемых изотропных вязкоупругих сред
Для линейных моделей Ап несжимаемых изотропных вязкоупругих сред, образованных из квадратичных механически детерминированных моделей Ап
392
Глава 4. Вязкоупругие среды
(см. пп. 4.2.6-4.2.9), определяющие соотношения имеют вид, аналогичный формулам (4.2.44) для сжимаемых сред, но в функционале ф следует учесть линейные по инварианту 1\ слагаемые:
t t
(n)
РФ = РФо+ РФ + mil (С в) + - r\(2t - т\ - т2) dI\(C (т\)) dI\{Ce{T2))+
о о
t t
(n)
+
(п)
r2(2t - т\ - T 2) d C e(T\) • • dCo(r2), (4.3.9)
о о
где ф°, fh — константы; r\(y)
и r2(y) — функции релаксации.
Используя формулы (4.2.34) и (4.2.35), а также теорему 4.2.1, функционал
ф можно записать в форме Вольтерры:
(п)
( п )
РФ = рфо + рф° + m li(C e) + Ф К С в ) + 121 \ ( с 2в) -
(п)
(п)
- 2 q2(t
(n)
(n)
d r +
q i ( t - T ) I I ( C O(T ))
d T l i ( C o ( t ) )
- T ) C 6 {T \) • •
C e (t)
t t
(n)
(n)
1
+
Pi{2t - Ti - т2)1\(Св{т\)1\{Св{т2)) dridr2+
2
о о
t
t
(n)
(n)
1
p2(2t -
(4.3.10)
+ 2
T\
- т2)Св(т\) • • Св{т2) d T \ d r 2 ,
где
о о
дг1(у)
г7(°) = Ч-
д2Гу(у)___лл
=
~q-y(y),
(4.3.11)
ду
= рУ у),
д у
По аналогии со сжимаемыми средами (см. п. 4.2.13) можно рассмотреть
простейшую модель Ап изотропных несжимаемых сред, для которой функ
ции ползучести q \ { y ) и q2 (y)
связаны между собой соотношением (4.2.79)
<?1Ы
=
- 0 / 3 ) < ? ( q{y)у ) , = 2q2(y),
(4.3.12)
т. е. в этой модели имеется только одно ядро q{y).
Интегрируя соотношение (4.3.12) по у и учитывая начальное данное (4.3.11), находим соответствующую связь между г\(у) и Г2 (у):
Г\{у) = - \ г 2{у) + 1\ + у ,2, г (у) = 2г2{у). (4.3.12а)
Подставляя (4.3.12) в (4.3.6) и (4.3.7), после приведения подобных полу чаем следующее определяющее соотношение (сравните с (4.2.82)):
§ 4.3. Модели несжимаемых вязкоупругих сред
393
(п)
v (п)
(п)
(п)
(п)
Т
п -РIII G
1 + (m + h I l(Ce))E + 2l2C 6
q( t — т)
dev С $(т) d r ,
где
О
(4.3.13)
(п)
(п)
х1
(п)
(4.3.14)
dev С в = C e - g J i ( C e)E
— девиатор тензора
(п)
С$ (см. (4.2.81)).
Если q ( t ) = 0, то соотношения (4.3.13) совпадают с соотношениями (т. 2, (3.9.40)) для изотропных несжимаемых упругих сред.
4.3.4.Модели В п вязкоупругих сред
Вмоделях Вп вязкоупругих сред свободная энергия <фявляется функци
оналом вида
t (п)
(п)
(4.3.15)
Ф = Ф (G (t), 6(t),
G \т), в\т)),
т= 0
а соответствующие определяющие соотношения, получаемые с помощью пра вила (4.1.27) дифференцирования функционала по времени, имеют вид
' (п)
(п)
t (п)
(п)
Т
= р(д ф /д С (ф ) =
F ( G ( t ) , 6 ( t ) , G 1(т),в\т)),
г]
= —
т=0
(4.3.16)
д ф / д в ,
гс* =
—р5ф.
t
t
Все дальнейшие выкладки с функционалами ф и Т могут быть проведе
н о т = 0
ны и для моделей Вп так же, как это было показано в т. 2, пп. 3.13.6-3.13.11. Конкретные модели Вп вязкоупругих сред можно получить непосред
ственно
с помощью моделей Ап, в которых следует провести замену
(п) (п)
(1/(п —Ш))Е.
с= G -
Вчастности, для линейных механически детерминированных моделей
(п)(п)
Вп изотропных несжимаемых сред, учитывая, что С* = G*, из (4.3.6) и (4.3.9) получаем следующие определяющие соотношения:
(n)
t
t
r\(2t - т\ - T2) d I \ { G { T \ ) ) d /i(G (r2))+
Р Ф = рфо + рф + m l 1(G) + -
о о
t
t
+
r 2 (2t —т\—r2)dG (ri) • • dG (r2), (4.3.17)
о о
394
t t
Глава 4. Вязкоупругие среды
(n)(n)
w
=
qi(2t -
T\ - T2) dI\{G (n)) dI2(G(r2))+
0
0
t t
+ 2
q2(2t -т\ - r2) dG (ri)
• • dG(r2), (4.3.18)
о о
(n)
(n)_,
(n)
(n)
T
= —n - I I I
G 1 + (m +
r\{t — T ) d/i(G (r)))E + 2
r2(t - r)rfG (r).
о
(4.3.19) Для простейших моделей Bn, принимая допущение (4.3.12а) о функциях
r1{t), приходим к соотношениям
(п)
(п)
(п)
t
(n)
= —
р
(п)
т
G _1
+ (m + /i/i(G ))E + 2/2G - q(t — T ) dev G (r) dr,
п - Ш
t t
(n)
(n)
(4.3.20)
w
=
q(2t — т\ — т2) dev dG(n) ■dev
dG(r2) dr\ dr2 ^
0.
(4.3.21)
о о
дт\
дт2
Из условия неотрицательности w* имеем
q(y) = ~дг(у)/ду > 0,
(4.3.22)
т. е. ядро релаксации q(y) всегда неотрицательно.
е
Если перейти к пределу при t —►0, то в естественной конфигурации /С,
(п)
(п)
=
E /(n —III), р = Ро (см. т. 2,
п. 3.9.5),
из
в которой Т(0) = —реЕ, G(0)
(4.3.20) получим следующие соотношения между константами
m, l\, I2
и
Р о (см. т. 2,
(3.9.43)):
Ро =
р е +
т +
31\ +2^2
/0
3(3Z1 + 2 /2)
3т
(4.3.23)
п - Ш
г
= -
(п - I)°рI I
2р(п - I I I)2
Отметим, что соотношения (4.3.17), (4.3.19) полностью эквивалентны соотношениям (4.3.9), (4.3.6), а (4.3.20) — соотношениям (4.3.13) (константы li и I2 в этих соотношениях различны) и фактически являются просто иной формой их представления.
Новые модели класса Вп получим, если примем дополнительные допуще ния о константах т, 1\ и 1%. Например, полагая, как и в соответствующих упругих моделях Вп (см. т. 2, (3.9.44)):
где /ли (3 — две новые независимые константы, из (4.3.20) получаем следую щие определяющие соотношения:
(п)
р
(Д}-1
+ ц { п - т у
1 + /3
(п)
Т
= —п - III
G
п - III
+ (1 -/3 )/!(G ))E -
(п)\
(п)
( l - /3 ) G j
q(t — г) dev G (г) dr, (4.3.25)
которые, вообще говоря, уже не являются эквивалентными соответствующим соотношениям (4.3.13) моделей Ап.
Соотношения (4.3.23) с учетом (4.3.24) принимают вид
Ро = ре + м(3 - р){п - III)2, ф° = -6р/°р.
4.3.5. Модели А п и В п вязкоупругих жидкостей
Соотношения (4.3.15), (4.3.16) так же, как и (4.1.35), (4.1.38), верны и для твердых, и для жидких вязкоупругих сред. Однако для жидкостей, соглас но принципу материальной симметрии, должны выполняться соотношения
(4.1.39) (и аналогичные им соотношения для моделей Вп):
(п)
t
(п)
9{t),
(п)
(п)
(4.3.26)
Т* = -F(G*(7),
G Д т),
9\т)) = р(дф/дG*),
т—0
ф =
t
(п)
9(t),
(п)
9\т)) = ф*
УН е U,
(4.3.27)
ф (G*(t),
G**(r),
т—0
для любых ^-преобразований из унимодулярной группы U.
Теорема 4.3.1. Для моделей Ап и Вп (п = I, II,
IV, V) жидких вязкоупру
гих сред определяющие соотношения (4.3.15), (4.3.16) и (4.1.35), (4.1.38),
удовлетворяющие принципу материальной симметрии и представляющие собой непрерывные функционалы в пространстве Ht, можно записать следующим образом:
▼Поскольку ф полагаем непрерывным функционалом, то к нему можно применить теорему 4.1.4 Стоуна — Вейерштрасса и представить ф в виде ряда по n-кратным скалярным функционалам:
Фт(^, Н , • • • >
) d,T\ . . .
d r m ,
(4.3.29)
m=i 5
5
ядра которых являются скалярными функциями от т тензорных аргументов:
~
. . . , Тт) =
~
(п)
(п)
(4.3.30)
Фт{^у Т\,
Фт{^у Т\, • • • > Тт,
G (n ), ...,
G (rm)).
Подставляя представление (4.3.29) в (4.3.27), получаем, что функции фт
должны удовлетворять соотношению
~
...,
(п)
(п)
~
(п)
О)
Tm, G j,
..., G m)
Фтп(ф-> Т1,
Тт, G 1,
...,
G m)
= фт(ф,
Т1, . . . ,
(п)
(п)
(4.3.31)
где G^ = G(r^), т. е. быть ^-индифферентными относительно унимодулярной группы U.
Проводя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 3.8.11 из
т. 2 , показываем, что единственные функции, которые обеспечивают выпол-
(п)
нимость условия (4.3.31) — это функции от третьего инварианта тензоров G^, или, что то же самое, от значений плотности pi = р(гф в различные моменты времени тр
~
~
Ть
(п)
(п)
~
Т\, ... , Tm, Pi,
, Pm)-
■фт =
... , Tm, / 3 (G i),
... , / 3 (G m)) =
^ m(t,
Выделяя
в этом выражении
5-образные составляющие ядер
по
аналогии
с
(4.1.51а)^ от
(4.3.29) приходим к представлению
(4.3.28в),
где
ядра рт
связаны с фт соотношениями (4.1.54).
( п )
Подставляя функционал (4.3.28в) в (4.3.16) и дифференцируя ф по G (£), в силу соотношений (т. 2, (3.8.172)—(3.8.177)) действительно получаем фор мулы (4.3.28а), (4.3.286).
Наконец, используя преобразования (т. 2, (3.8.179), (3.8.180)), из (4.3.28а) аналогичным образом получаем, что все соотношения (4.3.28а) для моделей Ап и Вп эквивалентны одному соотношению (4.3.28г). А
Обратим внимание на то, что хотя формально соотношение (4.3.28г) для тензора истинных напряжений Коши получилось таким же, как и в идеальной жидкости, вязкоупругая жидкость не идеальна (диссипативна), так как дав ление р является уже функционалом от плотности р, а функция диссипации тс* для нее отлична от нуля, согласно (4.1.64):
_ t
t
W * = -р5ф = - р р х - р
( ф ф + р°т+1)с1п...с1тт > 0. (4.3.32)
771=1
§ 4.3. Модели несжимаемых вязкоупругих сред
397
4.3.6. Соблюдение принципа материальной индифферентности для моделей А ^ и В ^ вязкоупругих сред
(п)
(п)
(п)
Поскольку все энергетические тензоры Т ,
С
и G являются ^-инва
риантными при жестких движениях, то все определяющие соотношения, представленные в этом параграфе, для твердых сред и жидкостей, а также несжимаемых сред, одинаковы в актуальных конфигурациях /С и /С', поэтому
принцип материальной индифферентности для моделей Ап и Вп вязкоупругих сред выполняется тождественно.
Упражнения к § 4.3
Упражнение 1. Используя ступенчатое нагружение (4.2.68) и переходя к пределу при t —►0+, показать, что мгновенно-упругие соотношения, получаемые из (4.3.25), совпадают с определяющими соотношениями (т. 2, (3.9.46)) модели Вп упругой изотропной несжимаемой среды.
Упражнение 2. Используя метод, примененный в п. 4.2.14, показать, что для про стейшей модели Ап изотропных несжимаемых вязкоупругих сред с экспоненциаль ным ядром
определяющее соотношение (4.3.13) можно представить в следующем виде:
а для простейшей модели Вп изотропных несжимаемых вязкоупругих сред с тем же экспоненциальным ядром определяющее соотношение (4.3.25) принимает вид
(п)
d W ^ /d t = (1/т (7)) (dev G - W (7)).
Упражнение 3. Используя результаты упр. 7 к § 4.2 и соотношения (4.3.21) и (4.3.25), показать, что для простейших линейных моделей Вп изотропных несжи маемых термореологически простых сред имеют место следующие определяющие соотношения:
1 ft
(П) ч
i i i + a - w. iGOE -
—(1—/3)GJ — q(t! —г') dev G(r)ao(r) dr,
t t
w* = ао q(2tr —T[ —r
о 0
где t', т[ и T2 определяют по формуле (4.1.71).
398 Глава 4. Вязкоупругие среды
§ 4 .4 . П о с т а н о в к и за д а ч в т е о р и и в я з к о у п р у г о с т и с к о н е ч н ы м и д е ф о р м а ц и я м и
4 .4 ./ . Постановки динамических задач в пространственном описании
Формально постановки задач в теории вязкоупругости с конечными дефор мациями могут быть получены из соответствующих постановок задач теории
упругости с конечными деформациями (см. §3.1), если заменить в послед-
(п)
(п)
них обобщенные определяющие соотношения упругости T Q =
0)
на соотношения вязкоупругости в рамках предварительно выбранной модели вязкоупругости из числа рассмотренных в §§4.1-4.3. Выбирая наиболее об щие представления (4.1.38) и (4.3.16) для моделей Ап и Вп вязкоупругости, указанным способом на основе постановки динамической 6RUVF-задачи теории упругости (3.1.1)—(3.1.5), (3.1.7)-(3.1.9), (3.1.61)—(3.1.66) получаем
постановку
динамической dRUVF-задачи
теории термовязкоупругости
в пространственном описании, состоящую из системы уравнений
др
(4.4.1а)
dt + V
• pw
О,
^ot
+ V • pv <g>V = V
• Т + p i,
(4.4.16)
доп
_
1 _
pqrn + w*
(4.4.1в)
^
’ + V .p v , =
- - V . q +
* l^ r -
dpF1
+ V • p(v 0
F T—F 0
v) = 0,
(4.4.1г)
dt
^ jr + V
• (pv <g>u) = pv
(4.4.1д)
в области
V х (0 , tmax),
а также
определяющих соотношений в
области
V х (0, tmax):
q =
-Л V0,
(4.4.2а)
(п)
(п)
(4.4.26)
T = 4 E G - - T g ,
(n)
t
(п)
(п)
(п)
(4.4.2B)
Т G = r G( C G(t),6(t), C G(r),
в\т)) = р(дф/дC G(t)),
т =0
г] =
—дф/дб^),
=
—р5ф,
(4.4.2г)
Ф =
ф (
С
C G(r),
^ (r)),
G = A,B,
(4.4.2д)
т
=0
которые должны быть дополнены выражениями (т. 2, (3.8.113) и (3.8.115в))
(п)(п)
для тензоров 4 Е<^ и С^:
§ 4.4. Постановки задач в теории вязкоупругости
399
2
=(ЕА«” ШРа 0 Ра -
(П
з
а = 1
Е =
^ 2
Е а / ? Р а ® Р / 3 ® Р /?® Р а -
Ла- Р а - Р а
F,
(4.4.3)
о;,/3=1
и граничных условий (3.3.1)—(3.3.9), которые в случае отсутствия фазовых превращений имеют следующий вид:
п • Т = t пе,
n - q = qne
на S i , ..., S 4 ,
S 7 J
U = u e , в = ве
на Е 5 , Eg;
др/дп = О,
v • п = 0 ,
п • q
= 0 ,
п • Т • та =
0
на Eg,
(4.4.4)
а также начальных условий
t = 0:
р = р,
v = v0,
0 = в0, F = Е,
u = и0.
(4.4.5)
После подстановки определяющих соотношений (4.4.2) и (4.4.3) в (4.4.1) получаем систему из 17 скалярных уравнений относительно 17 неизвестных функций — компонент следующих векторов и тензоров:
в, р, u , v, F
|| х, t.
(4.4.6)
Поскольку область V(t) в пространственном описании является неизвест ной, то для ее определения к указанной системе следует добавить либо соотношение (3.3.22), либо уравнение (3.3.18) для функции /(х,£) формы поверхности Е(£) области V(t):
K + v - V / = 0,
(4.4.7)
t = 0 : / = /°(х).
Во втором случае функция /(х, £) включается в число неизвестных (4.4.6). Замечание 4.4.1. В теории вязкоупругости вместо уравнения энергии часто удобнее использовать уравнение баланса энтропии (т. 2, (2.5.13а)), в которое явным образом входит функция рассеивания w*, как при записи системы (4.4.1).
В недивергентной форме уравнение баланса энтропии записывается в следующем виде (т. 2, (2.5.13)):
pe<f t = ~ V -ч + pqm + w*.
(4.4.8)
Если рассматривать модель Ап термовязкоупругой среды разностного ти па, то г] вычисляют по формуле (4.1.69). Полагая в этой формуле, что д'(р/дв зависит только от в, после подстановки (4.1.69) и (4.4.2а) в (4.4.8) получаем уравнение теплопроводности для вязкоупругой среды в пространственном описании:
400
Глава 4. Вязкоупругие среды
г)Й
(п)
(п)
В Т '
гп
рСе d g + V • V0) = V • (Л • V0) - рв (Л- (а ■■— ) + V • V (а • • — )) + pqm + w*,
Р
Р
(4.4.9)
где
се = - в ( д ,2ро/дв2)
(4.4.10)
— теплоемкость при фиксированной деформации.
□
Замечание 4.4.2. Если, например, рассматривают постановку динамической eRU VF -зглгчидля механически-детерминированных линейных моделей Ап термореологически простых вязкоупругих сред с экспоненциальными ядрами,
то определяющие соотношения
(4.4.2)
имеют вид,
представленный в упр. 8
к §4.2:
(П)
,
°
(П)
Л
/
N
т =
J (4M
- • с
в - y ^ w (7)),
7—1
т
п
w(7) -
VV —
V
R (7 )W (7)
2 - ^ ,
п а / 3 х х а / 3
а,/3=1
dW (7 )
ос(3 + V • V (g) dt
• •
а(а) 0
а(/3)
+
V
а а
^
2 _ ^
п а а ™ а а
аа=т+1
=ae (n)c,-w.<л(3(7)
r (7)
Ta(3
R WW W • • 4г
1 а»
(4.4.11)
N
m
* Jae
171
E (E
~ Y
W
7=1
'a,(3=1
d
(n)
/ \
(n)
, ,
“9a“ - . ( C » - w 2 ) S ( C » - w g )
r (7)
ra(3
*H
+E
a=mn-\-1aa
■ ^ + a/3
( n )
• (C„
В этом случае к начальным условиям (4.4.5) добавляют дополнительные условия
t = 0: W $ = 0,
(4.4.12)
а число неизвестных функций (4.4.6) увеличивается за счет включения в него функций
||
х ,* ,
а, (5 = 1,
. . . , п; 7
= l , . . . , i V .
(4.4.13)
Здесь при а ф ( 3 и а ,( 3 > т всегда
= 0.
Аналогично с
использованием
постановок
динамических
6RUV-,6RV-
и 0?7-задач термоупругости (см. п. 3.3.3) формулируются и динамическая dRUV-задача теории вязкоупругости, в которой градиент деформации F исключается из числа неизвестных, и QUV-задача вязкоупругости, в ко торой кроме того исключается и плотность р, и динамическая QU-задача вязкоупругости, в которой неизвестными являются только и и 0 . □
