книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

§ 3.3. Постановки задач

293

1

°

заданные значения.

где t ne и

q ne —

о

6 . На части

£ 4 , соответствующей поверхности £ 4 , на которой заданы па-

о

раметры идеальной жидкости и М

=

О, М

=

0, выполняются условия (3.3.14),

°

О

в которых вектор напряжений t ne

имеет вид (3.3.13), a q ne определяют по q ne:

О

Япе

=

Че ' п(сЕ/сЕ) =

Я п е Ц р / р ) ,

о

где к

вычисляют

по

формуле (т. 2,

(1.2.54)). Поэтому на

£ 4 выполняются

следующие граничные условия:

п • Р

=

— р е ( р / р ) п • F -1,

n - q =

qn e k ( p / p ) ,

к =

(п • G - 1

• п ) _1/2.

(3.3.15)

О

7.

На

части

£ 5 ,

соответствующей поверхности

£ 5 , граничные

условия

(3.3.7)

формально сохраняют свой

вид.

о

8 и 9. На части £ g, соответствующей поверхности £g, граничные условия

(3.3.8)

преобразуются к следующим условиям:

и = ие,

п • Р — t ne,

(3.3.16)

о

о

о

в = в е.

П - q

Q n e ’

10.

Условия

симметрии

(3.3.9),

формулирующиеся в /С

на неподвижной

для любого t ^

о

0

плоскости Щ , при переходе в JC преобразуются следующим

образом:

и • п =

0,

v • п = 0,

q • п =

0,

п • Р • т / = 0,

(3.3.17)

Добавив к каждой из замкнутых систем уравнений, сформулированных

в § 3 .1 ,

граничные условия, указанные

в и. 3.3.1, а также дополнив эти

системы начальными условиями (число

которых равно

числу производных

по t

в замкнутой системе) и у р а в н е н и е м

(т. 2, (4.7.86))

д в и ж е н и я п о в е р х н о ­

с т и

£

рассматриваемой области тела V ,

получим постановки соответствую ­

Таким образом, постановка д и н а м и ч е с к о й

d R U V F - з а д а ч и

т е р м о у п р у г о ­

с т и

в п р о с т р а н с т в е н н о м

о п и с а н и и состоит

из:

•

системы уравнений

(3.1.1), определенной B

V X (0,£ max);

•

определяющих соотношений (3 .1 .2 )-(3 .1 .4 ),

заданных B V

X (0 ,£max);

•

уравнения (т. 2, (4.7.86)) движения поверхности £ тела V :

{df/dt) + D0|V /| + v • V / = 0;

(3.3.18)

294

Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

•

граничных условий

(3 .3 .1)—(3.3.8), которые заданы на Е

х

(0,£ тах);

•

начальных условий, заданных в V :

t = 0:

р =

/9,

v

=

VQ,

в

=

9 Q ,

F =

Е ,

и = 0,

/ =

/ ° .

(3.3.19)

Постановка д и н а м и ч е с к о й

O R U V - з а д а ч и

т е р м о у п р у г о с т и

состоит из:

•

системы

уравнений

(3.1.14), определенной

в V

х (0,£ тах);

•

уравнения (3.3.18) движения поверхности Е тела V ;

•

граничных условий

(3 .3 .1)—(3.3.8)

на Е х

(0,£ тах), в которые подставле­

ны определяющие соотношения

(3 .1 .2)—(3.1.4);

•

начальных условий в V :

t =

0:

р = ° р ,

v

=

v 0,

в

=

в 0 ,

и = 0,

/ =

/ ° .

(3.3.20)

Подобным

образом

даются

постановки д и н а м и ч е с к о й

0 U V - з а д а ч и т е р ­

м о у п р у г о с т и и д и н а м и ч е с к о й 9 U - з а д а ч и .

Постановка д и н а м и ч е с к о й

T 6 R

U

V F - з а д а ч и

т е р м о у п р у г о с т и

состоит из:

•

системы

уравнений

(3 .1 .20)—(3.1.25)

в V

х

(0, i max);

•

уравнения (3.3.18) движения поверхности Е тела V ;

•

граничных условий

(3 .3 .1)—(3.3.8)

на Е

х

(0, i max), в которые подставле­

ны соотношения (3 .1 .2)—(3.1.4),

(3.1.19);

•

начальных условий в V :

t = 0: Т = Т 0, в = 9 0 , р = ° р ,

u = 0, v = v 0, F = Е , / = /° .

(3.3.21)

По заданному

значению

тензора

напряжений

Коши

T Q и F

=

Е

при t = 0

вычисляют значения

( п )

при t = 0 .

T

Q

Постановка к в а з и с т а т и ч е с к о й

з а д а ч и

т е р м о у п р у г о с т и

в

п р о с т р а н ­

с т в е н н о м о п и с а н и и

состоит

из:

•

системы

уравнений

(3.1.35) в V

х

(0,£ тах);

•

определяющих соотношений (3.1.36) в V

х

(0,£ тах);

•

уравнения (3.3.18) движения поверхности тела;

•

граничных

условий

(3.3.1а),

(3.3.2),

(3.3.3а),

(3.3.4а),

(3 .3 .5 )-(3 .3 .8 )

(скорость v в граничных условиях (3.3.8) в этой постановке не исполь­

зуется);

•

начальных условий:

t = 0:

в = в0,

/

= /°.

Зам ечан ие

3 .3 .1 . Определяющие

соотношения

для всех постановок факти­

чески имеют место как внутри области V ,

так и на ее границе Е.

□

Зам ечан ие

3 .3 .2 . Уравнение (3.3.18)

движения

поверхности Е тела V

имеет

место

для всех перечисленных в п. 3.3.1

ее

частей

Е а ,

причем

М

ф 0 на

частях E i

и

Е 2 , а

на

остальных

М

=

0.

Кроме того,

уравнение

(3.3.18)

записывается

и

для

подвижных

поверхностей

разрыва

S \ ( t ) ,

S 2 (t)

внутри

§ 3.3. Постановки задач

295

области

V .

Для поверхностей

без перехода материальных точек

(М = 0)

уравнение

(3.3.18) можно заменить соотношением

(т. 2, (1.2.9)):

х = х(ж г|Е , t) + и(жг|Е ,

£),

(3.3.22)

где х г \^

—

координаты точек на поверхности

□

D 0 = D 0 ( F , в , П е ),

(3.3.23)

1)

уравнение (3.1.11) содержит конвективный член v • V0, в который вхо­

дит скорость;

^

2)

уравнение (3.1.11) также содержит член [д Т /д в) • -V ® v T, зависящий

от F и V (g v;

3)

тензор теплопроводности для твердой среды

обычно определяется в от-

о

о

счетной конфигурации JC —

это тензор Л,

а в /С его вычисляют по

формуле (т. 2, (3.12.10)): Л =

(р /р )F • Л • F T, и, следовательно, Л зависит

от F;

от температуры в.

Как и в

случае малых деформаций

(см.

п. 2.6.7),

вкладом слагаемо-

(п)

•• V (g v T в уравнение теплопроводности

го [ d T j d f f )

часто

можно прене­

бречь, скорость

DQ обычно полагают зависящей только

от

температуры:

DQ = D Q ( e , D e ),

однако остальными указанными

факторами

1, 3 и 4, обеспе­

чивающими

связанность системы (3.1.1а),

(3.1.16), (3.1.11),

(3.1.12), (3.1.19),

Если

же

скорость фазового превращения D существенным образом за­

висит от

в

и от «механических неизвестных» F и Т (в некоторых задачах

с

фазовыми

превращениями в твердых телах реализуется такая ситуация),

то

задачи термоупругости в материальном описании

оказываются с и л ь н о

с в я з а н н ы м и

(т. е. их связанностью пренебречь нельзя).

□

в = в о = const

Vt ^

О,

при этом говорят, что рассматривается модель

и з о т е р м и ч е с к и х п р о ц е с с о в в

твердых телах.

а температура в —

из числа неизвестных. Соответствующие задачи называют

з а д а ч а м и т е о р и и

у п р у г о с т и

с к о н е ч н ы м и

д е ф о р м а ц и я м и .

Например, поста­

новка к в а з и с т а т и ч е с к о й

з а д а ч и

т е о р и и

у п р у г о с т и в п р о с т р а н с т в е н н о м

о п и с а н и и имеет вид

' V - T + p f = 0 в V ,

Н

Т = F G ( E - V ® U t) в V,

< n - T

= t ne на Е ь

Е 2,

Е 3,

Е 4, Е 7,

(3-3-30)

и = ие

на Е 5,

Е 6,

u n

= 0,

п • Т

• T J

=

0

на

Eg,

G =

A , B , C , D ,

а постановка к в а з и с т а т и ч е с к о й

з а д а ч и т е о р и и

у п р у г о с т и

в м а т е р и а л ь н о м

V • Р +

pi =

0

в Р ,

(п)

О

Л

Р = ^ ( Е + V ® и т) в V ,

< п - Р

=

1пе

на

Е ь

,

Е 4, Е 7,

(3 -3 -31)

О

О

U =

и е

на Е 5, Е 6,

и • п

=

0, п

• Р

• т / =

0

на Eg.

§ 3.3. Постановки задач

299

Отметим, что граничные условия (3.3.3), (3.3.4) на частях поверхности Hi

и S 2 с переходом материальных точек через поверхность (М

ф 0 ) для квази-

без такого перехода, поскольку

членом

M \ v \ по сравнению

с

п • [Т]

в этих

условиях пренебрегают.

Для несжимаемых

сред

постановку

к в а з и с т а т и ч е с к о й

з а д а ч и

т е о р и и

у п р у г о с т и в п р о с т р а н с т в е н н о м

о п и с а н и и

получают, используя определяю­

щие соотношения (см. т. 2, п. 3.9.6):

' V - T + p f = 0

в У,

det F - 1

=

1

в V ,

( п )

Т = - p E + F o i F - 1)

в V ,

F - 1 = Е — V

<Х>u T

B

V ,

(3.3.32)

п • Т = t ne

на Е ь . . . , Е 4 , Y 7,

u = и е

на Н5 ,

Eg,

и • п = 0,

п • Т • т / = 0 на Е 8.

Второе уравнение в этой системе — это уравнение несжимаемости.

Н

Тензорная функция

^ ^ ( F - 1 , в)

имеет

такой

же вид, как

и соответству­

ем

, в ) (3.1.13а),

(3.1.4) и

отличается от

нее только на

ющая функция «^G^F

(п)

(п)

р = P (I^SQ ( C G ) , 0 ) ввиду условия несжимаемости.

Неизвестными в задаче (3.3.32)

являются

U,

р

Соответствующая постановка к в а з и с т а т и ч е с к о й

з а д а ч и т е о р и и у п р у г о с т и

д л я н е с ж и м а е м ы х с р е д в

м а т е р и а л ь н о м

о п и с а н и и имеет вид

( °

о

°

V • Р + p f = 0 в V ,

det

F = 1

в

V ,

(М

_ о _

P = - p F - 1 + ^ ( F ) в V ,

<

°

в

—

(3.3.33)

F = E + V ® u

V ,

о

о

О

о

о

п • Р = t ne

на Yl 1, . . . , Y 4., Y j ,

u

=

и е

на Е 5,

Е 6,

и

• п

= 0,

п • Р

• т / = 0 на Eg,

300

Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

и, р

|| Х \

Н

(п)

известна. □

( п )

(п)

постановках

T

Q и

F ° G

в

(3 .1 .30)—(3.1.33)

определяется

соотношениями

(3.1.4),

(3.1.13а)

и (3.2.6), и

вообще говоря,

как отмечалось

в замечании 3.1.1

к п. 3.1.1,

является весьма

4М имеет вид 4М

= J 4М , где 4М

— тензор модулей упругости, который для

о

различных групп

симметрии

Gs упругой среды выбирается в соответствии

с представлениями

из т. 2, п.

3.8.7.

□

p i d V +

t n d H = 0 ,

х х p i d V +

x x t n d H = 0.

(3.3.34)

У

X

У

X