книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

где Сар — компоненты матрицы модулей упругости размером 6 x 6 (см. т. 1, (4.6.59)), связанные с компонентами тензора модулей упругости соотношени­ ями

Рассмотрим оболочку постоянной толщины h, в этом случае вектор нормали п срединной поверхности XIQ является нормалью и для боковых поверхностей оболочки X 3 = ± h /2. Граничные условия (2.10. Юг) на этих поверхностях полагаем только силовыми:

На части торцевой поверхности X/, которой соответствует часть Си кон­ тура £, согласно граничным условиям (2.10.Юг), могут быть заданы переме­ щения, а на оставшейся части поверхности X/, которой соответствует часть Са контура £, — компоненты вектора напряжений:

Здесь п[, п'2, п'г — компоненты вектора нормали п на боковой поверхности оболочки в базисе га, причем п3 = 0; tfnei — компоненты вектора напряжений t пе на X/.

2.10.3. Основные допущения в теории оболочек Тимошенко

Кроме изложенного выше, в теории оболочек принимают ряд допуще­ ний, цель которых свести исходную трехмерную задачу теории упругости

(2.10.11)—(2.10.19) к двумерной задаче, где неизвестные являются функциями только двух координат X 1. Для разных моделей теории оболочек эти допуще­ ния могут существенно отличаться, соответственно различаются и итоговые двумерные задачи. Рассмотрим допущения классической модели оболочек Тимошенко.

1. Оболочка называется тонкой, если для нее можно принять

Условие (2.10.20а) означает, что h /R a <С 1.

2. Перемещения иа в оболочке можно считать линейными функциями

Величины U\, U2 называют тангенциальнымиперемещениями, они опи­ сывают перемещения точек срединной поверхности оболочки по касательной к этой поверхности. Величину W называют прогибом оболочки, она описыва­ ет перемещение срединной поверхности по нормали. Величины ^уа называют углами поворота нормали срединной поверхности оболочки.

3. Нормальным напряжением <733 в оболочке можно пренебречь, полагая его равным нулю:

Это соотношение фактически заменяет соответствующее определяющее соот­ ношение (2.10.15) при а = 3, которым в данной модели пренебрегают.

2.10.4. Кинематические соотношения

Принимая допущение 1 в соотношениях (2.10.13), имеем

Подставляя выражение (2.10.21) для перемещений в (2.10.24), преобразу­ ем эти соотношения к следующему виду:

Величины ец ,е22,е 12 называют тангенциальными деформациями, они описывают деформации растяжения-сжатия и сдвига срединной поверхности оболочки. Величины хц, Х22, х ^ называют искривлениями, они описывают изменение кривизны срединной поверхности оболочки: хц и Х22 описывают

деформацию изгиба, а х ^ — деформацию кручения.

Соотношения (2.10.26) называют кинематическими соотношениями в модели оболочек Тимошенко.

2.10.5. Усилия, моменты и перерезывающие силы в оболочках

В теории оболочек применяют следующие интегральные по толщине ха­ рактеристики напряженного состояния: усилия Тар, моменты Мар и перере­ зывающие силы Qa , которые определяют по формулам

(2.10.28) Введем также обозначения для массовых усилий Fea и массовых момен­

тов Меа:

а затем применим допущение 1 (заметим, что если поступить в обратном порядке, то результат будет иным).

Проинтегрируем уравнения (2.10.11), полагая а = 3, /3= 1, 7 = 2:

Интегрируя третье слагаемое, затем применяя к нему граничное условие (2.10.17) при а = 1, а ко всему уравнению (2.10.27) применяя допущение 1, с учетом обозначений (2.10.28) и (2.10.29), получаем (здесь также учтено, что

#31 = °):

(^ 2^11),1+ ( ^ 1^ 12),2—^22^ 2,1 + А\^Т\2 + A \A 2 k\Q\ + A \A 2Fe\ = 0. (2.10.33)

Уравнение равновесия (2.10.11) при ск=1,/3 = 3 и 7 = 1 дает аналогичное по структуре уравнение равновесия, отличающееся заменой индексов 1 ^ 2:

(^4.1^22),2+ (^.2^ 12),1—^11^4-1,2+ 71-2,1 ^ 12+ ^4.1 ^4-2^2^ 2+ A \A 2Fe2 — 0. (2.10.34)

Трех уравнений (2.10.31), (2.10.33), (2.10.34) оказывается недостаточно для определения всех пяти введенных неизвестных функций (2.10.22), поэтому

Седьмое слагаемое в (2.10.35) запишем в следующем виде:

(2.10.37) После подстановки в (2.10.35) и (2.10.37) допущения 1 и граничных

условий (2.10.17) имеем

h/2

—h/2

Тогда уравнение (2.10.35) после принятия для него допущения 1 и учета результатов (2.10.38) имеет вид

Таким образом, имеем пять уравнений (2.10.31), (2.10.33), (2.10.34), (2.10.39) и (2.10.40), которые называют уравнениями равновесия оболочки.

176 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

В единой форме систему этих уравнений можно записать следующим образом:

где Ар = р+ — р~ — перепад давления; La(T) — дифференциальные операто­ ры,

Оператор La(M) имеет аналогичный вид, если выполнить замену Т —►М.

2.10.7. Определяющие соотношения для оболочек

Подставим выражения (2.10.25) для деформаций в определяющие соотно­ шения (2.10.15), тогда получим

Подставляя выражения (2.10.42) в (2.10.28), находим соотношения между усилиями, моментами, перерезывающими силами и еар, х ащ.

где Са[з — мембранные жесткости; Dap — изгибные жесткости:

Отметим, что интегралы от линейных по X 3 функций при интегрировании от —h j2 до /&/2 пропадают.

Формулы (2.10.43) называют определяющими соотношениями для моде­ ли оболочек Тимошенко.

2.10.8. Замкнутая система уравнений для теории оболочек Тимошенко и граничные условия

Объединяя систему пяти уравнений равновесия (2.10.41), восьми опре­ деляющих соотношений (2.10.43) и кинематические соотношения (2.10.26), (2.10.27), после подстановки (2.10.26) и (2.10.27) —►(2.10.43) —►(2.10.41) получаем замкнутую систему пяти уравнений относительно пяти неизвестных функций: U\, U2 , 71, 72 и W, зависящих от X 1 и X 2. Эта система имеет второй наивысший порядок производных по координатам и называется за­ мкнутой системой уравнений теории оболочек Тимошенко.