книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Учитывая замечание 2.4.1 и принимая во внимание потенциальность опе­ ратора (2.4.12), получаем

Подставляя (2.4.15) в (2.4.14), приходим к вариационному уравнению (2.4.8). Тогда, сделав все выкладки в обратном порядке, снова получим интегральное соотношение (2.4.2):

из которого, в силу произвольности функций 5и, следует уравнение равнове­ сия (2.2.9а).

Остальные соотношения (2.2.9б)-(2.2.9д), очевидно, при этом тоже вы­ полняются, т. е. рассматриваемое поле и — это действительное поле переме­ щений.

Докажем теорему в обратную сторону. Пусть и — действительное поле перемещений, т. е. удовлетворяет всей системе (2.2.9). Тогда, повторив все выкладки (2.4.1)—(2.4.8), снова приходим к вариационному уравнению (2.4.8) для и. Принимая во внимание потенциальность оператора (2.4.12) и соот­ ношение (2.4.15), получаем, что из формулы (2.4.8) следует соотношение (2.4.14), которое и означает, что лагранжиан (2.4.11) имеет стационарное значение для поля и. А

Вариационная постановка квазпстатпческой задачи (2.2.9) заключается в нахождении кинематически допустимого поля перемещений и(х), удовле­ творяющего вариационному уравнению (2.4.8).

2.4.3. Вариационный принцип Хеллингера — Рейсснера

Кроме вариационного принципа Лагранжа, существуют и другие вариа­ ционные принципы. Рассмотрим наиболее широко применяемый на практике такой принцип.

Будем исходить из вариационного уравнения (2.4.8). Обозначим несколько иначе дифференциальный оператор (2.4.5):

и добавим нулевое слагаемое в (2.4.8):

Примем, что перемещения u и деформации е являются независимыми искомыми функциями, т. е. полагаем, что соотношение Коши (2.4.17) уже может не иметь места. Тогда вариационное уравнение (2.4.19) превращается

вновое самостоятельное уравнение, а вариационный принцип формулируется

ввиде следующей теоремы (если и рассматривают в классе дважды, а в —

вклассе один раз непрерывно-дифференцируемых функций).

Теорема 2.4.2 (принцип Хеллингера — Рейсснера). Пусть определяющие соотношения сг(е) являются Н-потенциальными, т. е. существует такая скалярная функция Ф(е), для которой

дсг(е) _ дФ(е) де де

тогда среди всех пар полей (и,в), где и — кинематически допустимое поле, е — некоторое произвольное симметричное тензорное поле, действи­ тельные поля и и е (т. е. удовлетворяющие всем соотношениям (2.2.9)) отличаются тем, что для них и только для них имеет стационарное значение следующий функционал:

где

▼Пусть выполнено уравнение (2.4.20) для полей и и в, тогда, вычисляя вариацию от функции Ф

которое в точности совпадает с (2.4.19).

Примем во внимание, что 5L(u) = L(5u), и преобразуем первый интеграл в (2.4.19) в соответствии с формулами (2.4.3):

В силу произвольности полей Su и Ss, отсюда следует, что выполняются уравнение равновесия (2.2.9а), граничные условия (2.2.9г) и соотношения Коши (2.1.75): е = L(u), остальные соотношения в (2.2.9) выполнены по условию теоремы. Следовательно, поля (и, в) — это действительные поля перемещений и деформаций.

Докажем теорему в обратную сторону. Если и и е — действительные поля, удовлетворяющие всей системе (2.2.9), то можно образовать интегральное соотношение (2.4.25), а затем, повторяя все выкладки в обратном порядке, вновь получить уравнение (2.4.20). А

Отметим, что поскольку в вариационном уравнении Хеллингера — Рейсснера (2.4.19) вариации Su и 5е являются независимыми, то вместо соотно­ шения (2.4.19) можно использовать систему вариационных уравнений:

'J V ( e ) - SL(u) dV = SAe(u),

(2.4.26)

J ( L ( u ) - £) .A - W ,y

Тогда вариационная постановка Хеллингера — Рейсснера для квазистатической задачи (2.2.9) заключается в нахождении системы из кинематически допустимых полей перемещений и(х) и поля тензора е(х), удовлетворяющих системе вариационных уравнений (2.4.26).

2.4.4. Вариационная постановка динамических задач МДТТ

Для динамической задачи (2.2.5) также можно сформулировать вариаци­ онную постановку.

Введем три специальных класса полей: 1) класс переменных векторных полей w(x, t) (х G V U X, t > 0), непрерывно-дифференцируемых один раз по х и два раза по t и удовлетворяющих граничному условию (2.4.1); 2) и 3) классы векторных полей у(х) и z(x), определенных в области V.

Тогда, умножая уравнение движения (2.2.5) на векторное поле w и ин­ тегрируя его по V, а также умножая начальные условия (2.2.5е) и (2.2.5д)

соответственно на поля у и z и интегрируя по V, получаем следующее интегральное тождество:

(2.4.27)

Здесь введены обозначения для перемещения и скорости при t = 0:

u(x) = u(x, 0), v(x) = ^ ( x , 0). (2.4.28)

Преобразовав первый в (2.4.27) интеграл по формулам (2.4.3)-(2.4.5),

Здесь ди — разность двух кинематически допустимых переменных векторных полей при t > 0; ди — разность двух допустимых полей начальных перемеще­ ний при t = 0; 5v — разность двух допустимых полей начальных скоростей при t = 0.

Допустимыми полями начальных перемещений и скоростей называем про­ извольные стационарные векторные поля в V, не зависящие от t, а действи­ тельными полями начальных перемещений и скоростей называем такие поля и и v, которые удовлетворяют условиям (2.2.5д) и (2.2.5е), т. е. совпадают с

и0 и v0.

Ненулевые константы т и п выбираем из условия, чтобы все слагаемые в нижеследующем уравнении (2.4.31) имели одинаковую физическую размер­ ность.

Тогда, подставляя (2.4.30) в (2.4.29), получаем следующее вариационное уравнение для динамической задачи (2.2.5):

Обратим внимание на тот факт, что если во втором слагаемом заменить вариацию ди на оператор дифференцирования du/dt, то это слагаемое будет представлять собой полную производную по t от кинетической энергии К (т. 2, (2.4.1)):

поскольку при малых деформациях область V неподвижна.

Введем «почти кинетическую энергию» К ' — функционал, вариация ко­ торого формально совпадает с производной от кинетической энергии (т. 2,

при этом сам функционал К ' явного вида не имеет.

Иногда вектор f' = d2u /d t2 условно рассматривают как вектор массовых сил инерции, который так же, как и f, не варьируют. Тогда для К ' можно ввести явное выражение, однако вариация такого функционала SK' будет совпадать с (2.4.33) лишь условно, т. е. с условием, что варьируется поле и, но не варьируется d2u /d t2.

Введем также начальное значение потенциальной кинетической энергии:

тогда можно сформулировать следующий вариационный принцип, полагая, что и — дважды непрерывно-дифференцируемая функция по х и t.

Теорема 2.4.3 (вариационный принцип Даламбера). Пусть тензорный оператор <т(е) является потенциальным, т. е. удовлетворяет условию (2.4.12), тогда среди всех допустимых систем полей (u(x, t), u(x), v(x)) действительные системы полей отличаются тем, что для них и только для них следующий функционал имеет стационарное значение:

и подставить выражения (2.4.9), (2.4.10), (2.4.33), (2.4.34) в (2.4.37), а затем (2.4.37) в (2.4.35), в результате действительно придем к вариационному уравнению (2.4.31).

Если выполнено соотношение (2.4.35), то имеет место и (2.4.31), которое, в силу независимости вариаций 5и, 5и и 5v, эквивалентно системе трех

Преобразовав уравнение (2.4.38) с помощью формул (2.4.2)-(2.4.5) в об­ ратном порядке, получим

=VQ являются действительными.

Вобратную сторону теорема будет доказана, если провести все рассужде­ ния от (2.2.5) и (2.4.39)-(2.4.41) до (2.4.37), (2.4.35) в обратном порядке. А

Вариационная постановка динамической задачи МДТТ (2.2.5) заключа­ ется в нахождении системы функций (и, и, v), удовлетворяющих системе вариационных уравнений (2.4.38)-(2.4.40).

При численном решении динамической задачи МДТТ, например методом конечных элементов (МКЭ), система (2.4.38)-(2.4.40) сводится к системе

обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными условиями.и = UQ, v

2.4.5. Вариационная постановка задачи теплопроводности твердого тела

Сформулируем вариационную постановку задачи теплопроводности (2.2.8). Введем специальные классы:

1)скалярных переменных полей $(х,£), определенных в T U S Vt > 0, непрерывно-дифференцируемых один раз по х и по t и удовлетворяющих

2) стационарных скалярных полей /3(х), определенных в области V . Тогда, домножая уравнение теплопроводности (2.2.8) на функцию д и

интегрируя по V, а затем вычитая из него уравнение (2.2.8г), умноженное на

Здесь использовано граничное условие (2.2.86) и учтено условие (2.4.42) для функции 1?.

Назовем нестационарное поле 0(х, £) (х е У, t > 0) допустимым, если оно является один раз непрерывно-дифференцируемым по х в У U S и по t и удовлетворяет граничному условию (2.2.8в):

Допустимым стационарным полем 0(х) (х е Н) назовем произвольное

скалярное поле в Н.

и подставляя в (2.4.43), с учетом (2.4.45) получаем вариационное уравнение для нестационарной задачи теплопроводности:

Здесь /?о — ненулевая размерная константа.

то можно сформулировать следующий вариационный принцип, рассматривая допустимые поля в в классе дважды непрерывно-дифференцируемых функций

по х.

о

Теорема 2.4.4. Среди всех допустимых полей (0(х, t), в(х)) действитель­ ные поля, т. е. удовлетворяющие всей системе (2.2.8), отличаются тем, что для них и только для них следующий функционал имеет стационар­

▼Для доказательства достаточно подставить формулы (2.4.48), (2.4.49) и (2.4.51) в (2.4.50) и убедиться в том, что уравнение (2.4.50) совпадает с (2.4.47). Дальнейший ход доказательства аналогичен доказательству теоре­

мы 2.4.1. А

о

В силу произвольности вариаций 86 и 86, из (2.4.47) получаем вариацион­

ную постановку нестационарной задачи теплопроводности (2.2.8) относитель­

но

(2.2.13) для несжимаемой среды.

Введем кроме векторного поля w(x), удовлетворяющего (2.4.1), скалярное поле у(х), определенное в V U £. Домножая уравнение равновесия (2.2.13а)

на w, а условие несжимаемости (2.2.136) на у, интегрируя получившееся выражение по У и складывая их друг с другом, получаем интегральное соотношение

Преобразовав первое слагаемое в (2.4.53) по формулам (2.4.1)—(2.4.5), находим

где dp — вариация допустимых полей гидростатических напряжений, т. е. определенных в П и И, но не обязательно удовлетворяющих системе (2.2.13), получаем вариационное уравнение

v

и лагранжиан

где П и Ае определяют по (2.4.9) и (2.4.10), то можно сформулировать вариационный принцип.

Теорема 2.4.5. Пусть тензорный оператор а(е) потенциален, т. е. удо­ влетворяет (2.2.12), тогда среди всех систем (и,_р) кинематически допу­ стимых полей перемещений и допустимых полей гидростатических на­ пряжений действительные поля, т. е. удовлетворяющие системе (2.2.13), отличаются тем, что для них и только для них лагранжиан V имеет стационарное значение:

В силу независимости др и ди, уравнение (2.4.56) можно представить в виде системы