книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

или уравнение баланса энтропии (т. 2, (2.12.5) при а = 4), которое можно записать в виде (т. 2, (2.5.13))

Иногда уравнения (3.1.9а) или (3.1.96) оказываются более удобными, чем

полностью дивергентную форму (уравнение (3.1.9а) обладает дивергентной формой условно — с точностью до слагаемого Т • -V (8) v T), часто является

Подставляя в это соотношение формулу (3.1.9в), находим следующее выра­ жение для скорости изменения плотности энтропии:

Если же подставить (3.1.2а), (3.1.3а) и (3.1.10а) в (3.1.96), то получим следующее уравнение:

которое называют уравнением теплопроводности упругой среды в про­ странственном описании. Здесь введено обозначение для функции

называемой теплоемкостью упругой среды при фиксированной деформа­ ции.

3.1.2. 0R V F -, 0R U V - и 6 U V -системы динамических уравнений термоупругости

Отметим, что формально вектор перемещений и входит только в кинема­ тическое соотношение (3.1.5) и это уравнение можно исключить из общей системы. Тогда говорят, что рассматривается вR V F -система уравнений тео­ рии термоупругости. Однако ввиду наличия граничных условий уравнение (3.1.5) не всегда можно исключить из общей системы (см. § 3.3).

Можно еще сократить число уравнений и неизвестных в системе (3.1.1)- (3.1.3), исключив градиент деформации F из числа неизвестных (3.1.1е). Для этого используем формулу (т. 2, (1.2.10)), согласно которой обратный градиент обладает векторным потенциалом:

Соотношение (3.1.12) по сути является уравнением совместности. Динами­ ческое уравнение совместности (3.1.1 г) было выведено из этого уравнения (см. т. 2, и. 2.7.1), поэтому соотношение (3.1.12) можно рассмотреть вместо уравнения (3.1.1 г). Тогда, подставляя (3.1.12) в определяющие соотношения (3.1.3), представим их как функции обратного градиента (см. т. 2, и. 3.8.10, формулы (3.8.116) и (3.8.117)):

i

Заменяя Л —►G, получаем аналогичную систему для модели В\. Находить собственные базисы и собственные значения Аа в моделях А\ и В\ не требу­ ется, что выделяет эти модели из всех остальных и объясняет их наиболее широкое использование в рамках пространственного описания.

Следующими по уровню сложности являются модели Ау и By. Определя­ ющие соотношения (3.1.166) в модели Ау заменяются на следующие:

т = X > 7F - i y - F T,

Для этой модели также не требуется вычислять собственные векторы и собственные значения, но по сравнению с моделями А\ и В\ дополнительно необходимо обращать обратный градиент деформации, восстанавливая тен­ зор F.

Наиболее сложными с точки зрения использования для численного реше­ ния задач с произвольной геометрией области V являются модели А ц, В\\ и А\у и В\у, для которых необходимо применить процедуру вычисления Аа , р а и pQ. □

Замечание 3.1.4. Плотность р в системах (3.1.14) и (3.1.16) рассматривается как самостоятельная неизвестная, поэтому множитель J = р/р в определя­

(3.2.81)).

Если же осуществить такую подстановку, то получим, что р можно выра­ зить через F, но такое соотношение р = p(F) уже известно — это уравнение

неразрывности в переменных Лагранжа (т. 2, (2.1.8)):

Поскольку это уравнение полностью эквивалентно уравнению неразрывности (3.1.14а) (см. т. 2, § 2.1), то в рассматриваемом случае уравнение неразрывно­ сти следует исключить из общей системы (3.1.14) или (3.1.16), а в оставшиеся уравнения этих систем, в том числе и в определяющие соотношения, следует подставить (3.1.17). В этом случае получим 0UV-систему (3.1.146)—(3.1.14д), (3.1.17), состоящую из семи уравнений относительно семи неизвестных:

Замечание 3.1.5. Сокращение числа уравнений и неизвестных обычно делает систему более сложной. Например, вR U V F -система (3.1.1) имеет первый порядок производных по х и t, a 0UV-система — смешанный порядок: от­ носительно v — первый, а относительно и — второй по х и первый по t. Поэтому часто удобнее рассматривать вR U V F -систему, в которой хотя и большее число уравнений, однако все они имеют одинаковый тип. □

3.1.3. Т в R U V F -система динамических уравнений термоупругости

Иногда при решении конкретных задач для твердых сред удобнее уве­

(т. 2, (3.2.90)) в качестве дополнительного неизвестного. Для этого следует использовать определяющие соотношения в скоростях (т. 2, (3.8.166)).

276 Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

К достоинствам этой системы следует отнести то, что все уравнения в ней имеют одинаковую дивергентную форму.

Входящие в уравнение (3.1.24) тензоры определены в т. 2, п. 3.8.12: тензор

3.1.4. Компонентная запись систем динамических уравнений термоупругости в пространственном описании

Для компонентной записи представленных выше систем уравнений чаще

Определяющие соотношения (3.1.2а), (3.1.26) в компонентах записывают следующим образом:

ов _ одф

Здесь собственные значения Аа и матрицы Якоби Q \, Q \ собственных век­ торов ра , ра (см. т. 2, упр. 20 к § 3.2), согласно (3.1.5), являются функциями компонент F 1- градиента деформации F в базисе гщ

При переходе к компонентному представлению 07??7П-системы (3.1.14) следу­ ет лишь исключить из (3.1.27) динамическое уравнение совместности дефор­ маций, заменив его компонентным представлением соотношений (3.1.13а):

Здесь мы, как и в (3.1.136), перешли в определяющих соотношениях (3.1.29) к обратному градиенту F -1.

Компонентное представление системы (3.1.16) совпадает с (3.1.32), а тен-

(п)

зорная функция Т ij[F\ ), соответствующая этой системе (модель А\), при­ ведена в упр. 3 к § 3.1.

278 Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

3.1.5. Модель квазистатических процессов в упругих средах с конечными деформациями

Для твердых сред с конечными деформациями, как и для сред с малыми деформациями, вводят понятие моделей процессов (см. § 2.2). Одной из самых

распространенных является модель квазистатических процессов (т. е. очень

о

медленных в некотором смысле движений из /С в /С). Эта модель соответству­ ет модели квазистатических процессов, сформулированной в п. 2.2.5 для тел с малыми деформациями.

Определение 3.1.1. Считают, что рассматривается модель к в а з и с т а ­

сравнению с другими членами можно пренебречь, т. е. принять, что в этих

Изменение во времени всех известных и неизвестных функций ft для квазистатических и динамических процессов (движений, для которых нель­ зя ввести модель квазистатических процессов) схематически показано на рис. 3.1.1.

Уравнение движения (3.1.16) и уравнение теплопроводности (3.1.11), ко­ торое используется вместо уравнения энергии (3.1.1 в), с учетом (3.1.34) принимают вид

Используя формулу (т. 2, (3.8.61)), показать, что для линейной модели А\ изо­ тропных сред соотношение (3.1.3а) принимает вид

Т = J(hh{A)F“ lT • F -1 + 212¥~и ■Л • F _1),

или

T = J ^ i ( V - u — (g) u T• • V (8) u)(E —V 0 u) • (E —V (g) u T)+

+ 2/2(E - V <8>u) • (E - <8>u T) • V <8>u • (E - V <8>u)T),

где 11 и I2 — константы.

Упражнение 3. Показать, что компонентное представление определяющих соотно­

шений (3.1.166) модели А\ в базисе имеет вид

г

Tij = J 2 ^ g ikgjl( F - 'r k (F - 'y J M ,,

Используя результат упр. 1, показать, что для квазилинейной модели А\ это компо­ нентное представление принимает вид

Tij = gikW \F -[)\(F - {)\Mpqmskms>

а для модели А\ изотропной среды — следующий вид:

Tij = gikgil(F~l)pk(F~l)ql (ф{gpq + ф2дртдязАте +

§ 3 .2 . З а м к н у т ы е с и с т е м ы у р а в н е н и й д л я у п р у г и х ср е д в м а т е р и а л ь н о м о п и с а н и и

3.2.1. OUVF-система динамических уравнений термоупругости в материальном описании

При переходе к материальному описанию необходимо рассмотреть систе­ му законов сохранения (т. 2, (2.12.10)), которую в явном виде записывают следующим образом:

Вместо уравнения энергии здесь использовано уравнение баланса энтропии (т. 2, (2.5.21)).