Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

41.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 6333 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

§ ЗА. Классические задачи

323

Наилучшую аппроксимацию экспериментальной диаграммы деформирова ния для двух рассмотренных типов материалов обеспечивает модель Ац ( с м . рис. 3.4.12 и 3.4.13 и табл. 3.4.4), величина А для нее не превышает 16,1 и 9% соответственно. Отметим, что для модели А ц , в отличие от других рассмотренных выше моделей Ап и Вп, функция crn(5i) имеет точку перегиба так же, как и экспериментальная диаграмма cr[^(5i).

Для других твердых сред возможна иная ситуация. Целесообразность использования всего комплекса энергетических (или квазиэнергетических) моделей как раз и заключается в том, что, выполняя однотипные вычисления сразу со всеми моделями, в итоге появляется возможность выбора какой-то одной модели, приводящей к наилучшим результатам для конкретной упругой среды.

3.4.4. Простой сдвиг

Рассмотрим задачу о простом сдвиге твердого упругого тела в виде параллелепипеда, закон движения которого описывается соотношением (т. 2, (1.1.46))

х{ = Х { + а5\Х2, i = 1 ,2 ,3 .

(3 .4 .22)

Тензоры деформации для этой задачи вычислены ранее, ссылки на формулы приведены в табл. 3.4.1.

1. Полагая, что рассматриваемое тело является изотропным и соответ

ствует линейной

модели

Ап (т. 2,

(3.8.62)),

вычислим тензоры

напряжений

(п)

Т , подставляя в соотношение (т. 2, (3.8.62)) или (3.4.2)

тензоры С из т. 2,

упр.

14 к § 3.2:

(п)

Т ааё2 + Т 12О з,

(3 .4 .23)

а =\

(П)

„

ч(п)

(п)

(П)

А,

т 11 =

(1\ + 2^2) С QA + 1\ с 2А>

Т 1 2

= 2<2 С 1

(п)

„

Ап)

(п)

- 7

(п)

т 22 =

(h + 2 12) С 2А + 1\ с оА,

Т 33

—Ч( с 0^ +

С 2А) г

п = I, II, IV,

где

(п)

с од, с и и

с 2а

определяют по табл. 3.2.6 из т. 2.

(п)

Поскольку напряжения сдвига Т 12 не нулевые, тензоры Т в данной зада че не являются диагональными — у них отличны от нуля четыре компоненты. Для того чтобы вычислить Т, следует воспользоваться формулами (т. 2, (3.2.36) и (3.2.37)). Поскольку в задаче о сдвиге тензор поворота О отличен

, ( п )

от Е, процедура вычисления тензоров энергетической эквивалентности 4Е

324 Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

является более сложной, чем в задаче о растяжении — необходимо записать соотношения (т. 2, (3.2.36)) в собственных базисах:

(п)	(п)	3	(п)	О о	/ 3	(п)	О)	\
Т = 4 Е • •	Т =	^ 2	Е а/Зра ® рр ®	® ра • •		Т 77ё^ + Т 12O3J =
		а,13=1			7=1
					3
				=	Е	r S>p«0 р/*>		(ЗА24)
					а,/3=1

( v )
где Т^ф — компоненты тензора напряжений Коши в собственном базисе ра ,
( \	( П )	О о	( п ) о о	о	о \	(3.4.24а)
Тар =	Еар\ф2 Т'пРР'уРа'у +		Т ^(PalP/32 + Pa2Pp\)j’			(3.4.24а)
О		7=1		о		_
О				о		_
ра 1 — компоненты разложения собственных векторов ра по базису е7,
			( s 1	s\b\	0^
			о	s2b2	О
			0	0	1,

		= (1 + Ь 1 Г ’12.			6« = \| - ( - 1 ) “7 + ^ / 4 .					(3.4.246)
Здесь	учтено		выражение для		ра из т. 2,		упр. 3 к § 1.3: pQ =			sa (e i + bae2),
а = 1,2;		р 3 =	1.
Согласно (3.4.246), формулы (3.4.24а) можно записать в явном виде:
			+ > ) _ Е					( п )
			Р У	= E u ( T n s i + T 22sibi + 2 T l2 sibi),
			/„4	(п)	(п )	о ( п )	о о	( п )	о	(3.4.24B)
			Тру	= E 22( T US2 + T 22s22bl + 2 T l2s22b2),						(3.4.24B)
(„4	(n)	(n)	(n)		(n)			(ri]	(гл	/„4	(n)
P f = E l2 ( T n + T 22*462+					r	12(b!+b2))SlS2,		T p	= T p = 0,	p y	= Г 33.

( n )

Матрицы E ap определены формулами (т. 2, (3.2.38a)), а входящие в них собственные значения Ха, согласно результатам т. 2, упр. 3 к § 1.3, имеют следующий вид:

Ai = У Т Т Ь М , Х2 = Х р, Л3 =1 .

(3.4.24г)

Используя выражение для собственных векторов ра = (—l)a+lsa(bae\ + + ё2) (см. т. 2, упр. 3 к § 1.3) из (3.4.24) получаем следующее выражение для

тензора напряжений Коши:
т =	(Таае2 + сг12О з,	(3.4.25)
	а =\

где сгар — как и выше, компоненты тензора напряжений Коши в декартовом базисе ёг, которые в задаче о сдвиге имеют вид

<7П = r ^ s f b f - 2T(p s xs2 bxb2 + T p }s2 b22,

§ ЗА. Классические задачи	325
<т22 = Т,([М - 2 T $ s vs2 + Т $ 4 ,	(3.4.26)
<712 = T ^ 4 b i - T $ 8 ls2(bi + b2) + T ^ s \ b 2,	<733 = Т $ .

Таким образом, тензор напряжений Коши (3.4.25) в задаче о простом сдвиге также оказывается не зависящим от координат, поэтому автоматически удо влетворяет уравнениям равновесия в декартовом базисе:

з
V Т = £ {даар/дхР)ёа = 0.	(3.4.27)

о;,/3=1

Граничные условия в задаче о простом сдвиге, соответствующем закону

движения (3.4.22), имеют вид
		х 2 = h2\	и 1 =	и\,	и2 = 0, г/3 = 0;		(3.4.28а)
		х2 = 0:	иа = 0,		се = 1,2,3;		(3.4.286)
ж3= 0,	h3:	и3 = 0,	e i - T - e 3		=	0, ё2 - Т - ё 3 = 0;	(3.4.28в)
х 1 = 0,	h1:	ё 1• Т • ё3 = 0,		и2	=	0, и 1= и \Х 2	(3.4.28г)

т. е. грань х2 = 0 параллелепипеда остается неподвижной, а на противополож ной ей грани х 2 = Ь2 задается перемещение сдвигающее параллелепипед в сторону оси Ох1; на гранях х 3 = 0 и х3 = h3 отсутствуют перемещение по оси Ох3 и оба касательных напряжения.

На наклонных гранях ж1 = 0, hl задают нулевое касательное напряжение <т13 = 0, нулевое перемещение и2 = 0 и продольное перемещение и 1, изменя ющееся по линейному закону вдоль координаты X 2.

Несложно убедиться, что закон движения (3.4.22) и тензор напряже ний Т (3.4.25) автоматически удовлетворяют граничным условиям (3.4.28а)- (3.4.28в), так как из (3.4.22) и (3.4.25) следует

и1 = xl - X 1 = а5\Х2,	а = 1,2,3;	(3.4.29а)
сщз = ёп • Т • ё3 = 0,	а = 1,2.	(3.4.296)
Из (3.4.28а) и (3.4.29а) находим значение функции а через и\\
a = u\/h 2.		(3.4.30)

В силу (3.4.30), первое граничное условие в (3.4.28г) удовлетворяется. Второе и третье граничные условия в (3.4.28г) также удовлетворяются тож дественно, если принять во внимание формулы (3.4.29) и (3.4.30).

Задача о простом сдвиге с граничными условиями (3.4.28) прибли

женно реализуется в эксперименте по продольному		сдвигу	тонкой поло
сы	из рассматриваемого материала (например, из	резины),	расположен
ной	между двумя жесткими (например, стальными)	листами,	смещаемыми

друг относительно друга (рис. 3.4.14). На некотором удалении от торцов

§ ЗА. Классические задачи

327

(3.4.11а). Увеличение значений v от 0 до 0,5 приводит к смещению диаграммы а\2 (а) в область более высоких значений. Особенностью задачи о простом сдвиге является тот факт, что диаграммы а^(а) совпадают для моделей А\ и Ау, а также для моделей Ац и А\у (рис. 3.4.15). Однако соответствую щие диаграммы нормальных напряжений сгц(а) и 022(a), вычисляемые по (3.4.26), существенно различаются: для моделей А\ и А ц напряжения ац и о'22 являются отрицательными, а для моделей А \у и Ау — положительными (рис. 3.4.17 и 3.4.18).

2. Рассмотрим простой сдвиг для линейных моделей Вп несжимаемых сред (т. 2, (3.9.46)). Отметим, что закон движения (3.4.22) даже для сжи маемых сред сохраняет объем, так как для него det F = 1 (см. т. 2, упр. 14

к § 3.2). Поэтому для несжимаемых сред простой сдвиг также описывается

законом

(3.4.22)

граничными

условиями

(3.4.28а),

(3.4.286) и

(3.4.28г),

а вместо условий (3.4.28в) следует рассмотреть случай свободных торцов:

x 6 = 0 , h 3:

сг33 = 0,

а й = 0, сг2з =

(3.4.31)

( п )

Подставляя выражения для тензоров G в задаче о сдвиге (см. т. 2, упр. 14

( п )

к § 3.2) в формулы (т. 2, (3.9.46)), получаем выражение для Т:

( п )

Т аа^а +

Т 12O3,

(3.4.32)

п - Ш

а = \

( п )

+(1 -13)({с 2в +

Т 11= ц(п —III) 2 f

п —III

п - Ш

( п )

9 /

Т 22 = р(п

Ш )2 п - III

+ (1 —(3){ с ов + п - Ш

( п )

Т 33

= К п -

Ш)2(^ зш + (1 _

+ (^2в)) ’

( п )

2(п)

12 = -ц (п -

т у

с 1В.

(п)

о с

где с ов, с 1в и

с 2

в определяют по табл. 3.2.6 из т. 2.

С помощью тензоров энергетической эквивалентности 4Е по аналогии с

(3.4.24)

получаем выражение для Т:

Т = -р Е +

ТарРа ® Р/3 = ^ 2 (?ааё2 + а 12Оз,

(3.4.33а)

а,/3=\

а = \

(v)

АК j

_ 1

—

где ТУр

определяют по формулам (3.4.24в). Здесь учтено, что 4Е

• • G

= { п - III) Е.

330 Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

точки М в /С можно представить в виде разложения по базисным векторам цилиндрической системы координат ег,е^,е^ (физический базис) следующим образом:

х = rer + zez.

(3.4.34а)

Поскольку под действием давления и осевого перемещения труба сохраняет осевую симметрию в /С, то закон движения ищем в виде

				х = rer + zez,		(3.4.346)
где г и z являются следующими функциями:
				г = f(r,t),	z = k(t)z,	(3.4.35)
причем				/(г, 0) = г,	fc(0) = 1.
				/(г, 0) = г,	fc(0) = 1.
Вычислим локальные векторы базиса i\ и г;, используя						формулы (т. 2,
(1.1.6)), (3.4.346)	и (3.4.35):
ri =	ЭХ	=	4	(/<7 - t)er((p) + zkez) = f'er, f =		% ,
dXl			dr			dr
Г2	=	^ 2	=	^ г ( /е гЦ) + Zkez) =		(3.4.36)
		О Л		(jip	(jip
dx	d				ri = er, r2 = re(p,	r 3 = ez.
гз = — з =	— (fer + zkez) = kez,				ri = er, r2 = re(p,	r 3 = ez.
o X	d z

Здесь учтены формулы дифференцирования векторов физического базиса цилиндрической системы координат (см. т. 1, § 2.6).

Образуем метрические матрицы gij, дъэ и g^, g%i\

( f 2 0 0\					( f ~ 2			о	0 \
9 ij = Гг ■Tj = 0	/ 2		0	,	glJ =		0	f ~ 2	0	, g = (f f k ) 2,
\ 0	0		k2J		V	0		0	k~2j
	/ 1	0	0\		/	1	0	0\
9ij = °Ti-h=	0	r 2 0		,	gi j =	0	r~ 2 0		,	g = P	(3.4.37)
	\0	0	1/		\0		0	1/

и найдем локальные векторы взаимных базисов по формулам (т. 2, (1.1.7а)):

г ' = « ' ‘г, ef .		v2	= J		,	г3 = ) е г,	? ' = е г,	Р = \| ,	? 3 = е2. (3.4.38)
С помощью (3.4.36) и (3.4.38) вычислим градиент деформации:
F =			® гг = f e r ® er +				®	+ kez ® ez = F T,
							г
^ _ 1	=	о	® г	i	=	1	г	1	(3.4.39)
F	=	п	® г		=	-уег ® ег + -е ^ ® е<л + -e* (g) ez,			(3.4.39)
						/	/	к

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 6333 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.56 Mб3Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
12.11.20233.31 Mб2Механика сплошной среды. Законы сохранения.pdf
#
12.11.20233.28 Mб2Механика сплошной среды. Кинематика.pdf
#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб25Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб4Механика сплошной среды..pdf
#
12.11.202318.31 Mб3Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов.pdf
#
12.11.20239.02 Mб6Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)..pdf
#
12.11.20233.44 Mб3Механика твердого деформируемого тела..pdf
#
12.11.202311.85 Mб10Механика трещин..pdf