книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Подставляя (4.5.17) и (4.5.21) в (4.5.13), получаем асимптотические раз­

ложения уравнения теплопроводности:

Осредняя уравнение (4.5.23) по периоду колебаний согласно (4.5.9) и

учитывая периодичность функции в ^ (т. е. ( д в ^ / д £ ) = 0 ^^(1) — ^^(О ) = 0 ),

приходим к окончательному виду уравнения теплопроводности для темпера­ туры в:

сделана обратная замена безразмерного времени на размерное: t = t t \ .

Если собрать в уравнении (4.5.23) члены при более высоких степенях х

(при х , х 2 и т. д.), то получим уравнение для вычисления функций в^х\ в ^

и т. д. Однако вклад этих членов в значение истинной температуры в мал, согласно формуле (4.5.17), поэтому для рассматриваемых задач достаточно ограничиться только нулевым приближением для определения температуры в .

Осредняя (4.5.22), находим выражение для гс* — функции рассеивания,

средней за цикл колебаний:

упругого бруса при циклическом деформировании не изменяется. Для вяз­ коупругого бруса гс* ^ 0 , что описывает появление теплового источника в

рассеиванием (д и с с и п а ц и е й ) энергии, поэтому его называют д и с с и п а т и в н ы м

р а з о г р е в о м , или с а м о р а з о г р е в о м .

4.5.8. Температура саморазогрева при симметричном цикле

Процесс деформирования называют с и м м е т р и ч н ы м ц и к л о м , если среднее

ная функция (4 .5.31)), реализуется температурный режим 5, при котором кривая саморазогрева имеет три участка: а — начальный, b — установивший­

реализуется температурный режим 6 саморазогрева (см. рис. 4 .5.3), который

характеризуется наличием четырех участков: начального а, установившегося b , неустановившегося с, за которым снова следует установившийся участок d .

В этом случае температура 0(£) остается ограниченной при t —►+ 0 0 .

Режим 7 имеет место при тех же условиях, что и режим 6 . Но в этом

случае на неустановившемся участке с температура саморазогрева 0 (£) дости­ гает такого критического значения 0&, что происходит тепловое разрушение материала (по аналогии с режимом 3), и участок d не успевает реализоваться.

4.5.11. Экспериментальные и расчетные данные

осаморазогреве вязкоупругих тел

Экспериментальные и расчетные кривые саморазогрева полиуретанового бруса при циклическом деформировании по гармоническому закону (4.5.3)

показаны на рис. 4.5.4.

Расчетное изменение температуры А 0 = 0 — 0О найдено путем конечно­ разностного решения задачи (4.5.24), (4.5.25) по неявной разностной схеме:

муле — по кривым релаксации методом, изложенным в п. 4.4.5. Значения констант В ( ч ) и для полиуретана приведены в табл. 4.4.1.

Функция а е { 9 ) аппроксимировалась выражением (4.5.30), а константы а\

и <22 в этой формуле приняты равными 21 и 208 К соответственно. Значения

§ 4 . 6 . М о д е л и в я з к о у п р у г и х с р е д с м а л ы м и д е ф о р м а ц и я м и

4.6.1. Общее представление моделей вязкоупругих сред с малыми деформациями

Теорию вязкоупругих сред, изложенную в §§ 4 .1 -4 .4 , можно использовать и для моделей твердых сред с малыми деформациями, общ ее определение которых, применимое для любых моделей (идеальных и неидеальных), было

дано в п. 2.1.1. В § 2.1 изложен метод получения соотношений для моделей

тел с малыми деформациями из соответствующих соотношений для моделей с произвольными конечными деформациями. Этот метод можно применить и для вязкоупругих сред, заменив градиент деформации F по формуле (2.1.2) с учетом следствий А — Ж из этой формулы (см. п. 2.1.3).

Тогда, поскольку в модели малых деформаций все энергетические тензоры

( п )

деформации С совпадают с тензором малых деформаций е и все энергетиче-

(п)

ские тензоры напряжений Т совпадают между собой и обозначаются сг, то из

формул (4.1.61) и (4.1.64) получаем общий вид определяющих соотношений

G s (7 = 1, . . . , 2 ^ 6 m ).

Для всех моделей А п определяющие соотношения (4.6.1) очевидно одина­ ковы, поэтому далее не будем различать эти модели.

Аналогичным образом из соотношений, представленных в пп. 4.2.1 и 4.2.2,

можно получить к в а д р а т и ч н у ю м о д е л ь т е р м о в я з к о у п р у г о й с р е д ы р а з н о с т ­

н о г о т и п а с м а л ы м и д е ф о р м а ц и я м и :

4.6.3. Постановки задач в теории линейной вязкоупругости

Сформулировать постановку задачи теории линейной вязкоупругости мож ­

но двумя способами:

1)применить общую постановку динамической 0?7-задачи (4.4.20) в ма­ териальном описании, проведя ее линеаризацию для случая малых

деформаций;

2 ) использовать постановку динамической задачи (2 .2 .2 ) для малых дефор­

маций, которая была сформулирована для общего случая твердых сред (как идеальных, так и неидеальных).

В результате применения обоих этих способов получаем следующую по­

л и н е й н о й в я з к о у п р у г о с т и :