книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

преобразования (4.7.11), то для стационарных колебаний получим, что тензор деформации снова имеет гармонический вид (4.7.9), а амплитуды ст*п^ и связаны соотношением

Спектральные комплексные податливости П*Дщп) аналогично форму­ лам (4.7.19) и (4.7.14) представляют собой предельные значения при t —>+оо:

о

аопределяют аналогично (4.7.25):

О

В силу взаимной обратимости исходных интегральных определяющих со­ отношений (4.6.4) и (4.6.6), будут взаимнообратными и соотношения (4.7.17) и (4.7.31), поэтому тензоры 4П* и 4R* также являются взаимнообратными:

Подставляя (4.7.29) и (4.7.34) в (4.7.37) и разделяя действительные и мнимые части, можно записать это соотношение в эквивалентном виде:

Для экспоненциальных ядер ползучести Nap{t), имеющих вид (4.2.107), интегралы (4.7.36) также легко вычисляются (см. упр. 4 к § 4.7), в резуль­ тате получаем следующие выражения для действительной и мнимой частей комплексных спектральных податливостей:

Методом упругой аналогии можно вычислить собственные частоты и собственные функции (формы) колебаний вязкоупругих оболочек, используя для этого формулировку соответствующей задачи (2.11.136) на собственные значения для упругих оболочек.

4.7.4.Свободные колебания вязкоупругой балки

Вкачестве примера рассмотрим задачу о свободных поперечных колеба­ ниях ортотропной вязкоупругой балки, жестко защемленной по обоим торцам (см. рис. 2.11.5 из п. 2.11.12). Используя метод упругой аналогии, с помощью формулы (2.11.149) находим выражение для собственных частот колебаний вязкоупругой балки с очень малой сдвиговой жесткостью:

Здесь учтено, что для ортотропных сред Са/з = Сар, поэтому замена Са/з —►

Поскольку R'I'( и R '^ зависят от и ^ (см., например, (4.7.45)), то формулы (4.7.45) представляют собой систему двух нелинейных алгебраических урав­ нений относительно и'п и CJ", решая которую, находим uJn и CJ".

Наличие мнимой составляющей CJ", как отмечалось выше, приводит к затуханию свободных колебаний вязкоупругой балки, в результате для про­ гиба W (X l,t) балки с учетом (4.7.22) и (2.11.153) получаем следующее выражение:

оо

W ( x \ t ) = Re ( J 2 Aneiu}nt)Wn(X l) = П=1

ОО

= ^2(Л'п cosUj'nt - А'п sinш'У)е~ш'^Шп(Х 1), (4.7.46) П=1

где Wn(X l) — собственные формы колебаний вязкоупругой балки (2.11.142), являющиеся вещественными; коэффициенты И* = А'п + iИ" вычисляют с помощью системы (4.7.20), которая в силу ортогональности функций Wn является конечной и имеет решение

Формулу (4.7.46) можно представить также в виде, аналогичном (2.11.154), если ввести модули \Ап\ и фазы рп по формулам (2.11.153а):

Если для упругой балки углы сдвига фазы рп были обусловлены только ненулевой начальной скоростью W\ балки и обращались в нуль при W\ = = 0, то для вязкоупругой балки даже при W\ = 0 ввиду наличия мнимой составляющей частоты CJ" углы сдвига фазы всегда отличны от нуля: рп ф 0.

Как отмечалось в и. 4.7.1, из-за наличия комплексной составляющей ча­ стот CJ" свободные колебания вязкоупругой балки всегда будут затухающими по амплитуде во времени. Эффект затухания свободных изгибных колебаний консольных балок хорошо знаком каждому из его практического опыта. Этот же опыт подсказывает, что все твердые среды будут обладать вязкоупругими свойствами, поскольку свободные колебания будут затухающими для балок, изготовленных из любых материалов. Вывод этот действительно справед­ лив — разные твердые материалы различаются только быстротой затухания колебаний: наиболее быстро они затухают у резин — материалов с ярко выраженными вязкоупругими свойствами, несколько дольше у пластмасс, также обладающих существенными вязкоупругими свойствами, и сравни­ тельно долго будут затухать свободные колебания металлических балок, поскольку металлы обладают достаточно слабо выраженными вязкоупругими свойствами.

4.7.5. В ы нуж денны е колебания

Рассмотрим задачу (4.6.12) о вынужденных колебаниях линейно-вязко- упругих тел под действием полигармонических нагрузок

где Щ = Qfk + i — заданные комплексные амплитуды колебаний; одр > 0 — заданные частоты колебаний (вещественные числа); Cl — статически действу­ ющие нагрузки.

Общий ход решения задачи (4.6.12), (4.7.49) такой же, как и для анало­ гичной задачи (2.11.1), (2.11.96) о вынужденных колебаниях упругих сред

Разделяя в (4.7.57а) действительные и мнимые части, получаем уравнения

Используя формулу (2.11.180), находим перемещение вязкоупругой балки

Из этих формул следует, что коэффициенты Ь^", в отличие от упругого реше­ ния (см. п. 2.11.12), ни при каких положительных а/, иоп и од не обращаются в бесконечность, т. е. амплитуды колебаний в (4.7.62) остаются ограниченными и резонанс отсутствует. Однако в стержне, как отмечалось выше, может возникнуть квазирезонанс, если oj"/oufn <С 1 и й рз uJn.

Отметим также, что при U" = 0 в случае упругой балки угол сдвига фазы (угол задержки колебаний) р = 0, так как в этом случае Ь" = О, U" + W " = = 0. Это означает, что вынужденные колебания упругой балки с частотой возмущения О происходят в одной и той же фазе во всех сечениях балки с координатой X х.

Для вязкоупругой балки ф ф 0 даже при U" = 0; более того, ф является функцией координаты X х, т. е. вынужденные колебания вязкоупругой балки происходят в разных ее сечениях с различным сдвигом фазы ф (Хх).

4 .7 .7 . Уст ановивш иеся и квазист ат ические колебания

Как и для упругих сред (см. п. 2.11.9), часто рассматривают случай

установившихся колебаний вязкоупругих сред, для которых: 1) частоты вынужденных колебаний йоу существенно меньше первой (основной) частоты собственных колебаний: йоу < ио\ Vfc; 2) функции начальных данных UQ, VQ — нулевые. Тогда начальными данными в задаче (4.6.12) можно пренебречь, а в выражениях (4.7.50), (4.7.51) — соответствующим им полем й (х ,£).

Оставшиеся два поля в (4.7.51) и и W (первое соответствует ненулевым граничным условиям, а второе — ненулевым массовым силам) в данном слу­ чае можно рассматривать совместно, в результате решение (4.7.50), (4.7.51) можно представить в виде

Объединяя задачи (4.7.52) и (4.7.54), а также (4.7.53) и (4.7.55), получаем для комплексных амплитуд и средних значений й перемещений следующие задачи:

Задача (4.7.66) — это задача об установившихся вынужденных колебаниях вязкоупругих сред (где Ok заданы и вещественны), а (4.7.67) — квазистатическая задача вязкоупругости.

Если же все частоты вынужденных колебаний Ok много меньше основной

то инерционным членом в задаче (4.7.66) можно пренебречь, в результате приходим к постановке задачи о квазистатических колебаниях вязкоупру­ гих тел:

Отметим, что эта же задача может быть непосредственно получена из постановки (4.6.13) квазистатической задачи теории вязкоупругости, если подставить в нее решение (4.7.64) и рассмотреть стационарный режим вязкоупругих колебаний.

Пример решения квазистатической задачи (4.7.69) будет рассмотрен в и. 4.7.9.

4 .7 .8 . Связанны е задачи т ермовязкоупругост и

при уст ановивш ихся колебаниях

Как отмечалось в пп. 4.4.1 и 4.4.2, вследствие неидеальности вязкоупру­ гих сред, функция диссипации отлична от тождественного нуля, что может приводить к саморазогреву тела даже без притока тепла к нему извне. Эффект саморазогрева наиболее ярко проявляется при колебаниях вязкоупру­ гих тел. Поскольку процесс деформирования тел в этом случае становится неизотермическим, то необходимо рассматривать постановку (4.6.9) связан­ ной динамической (или квазистатической (4.6.11) при выполнении условия (4.7.68)) задачи теории термовязкоупругости, предполагая, что внешние на­ грузки П = {if, t fne,u e} в них изменяются по гармоническому закону (4.7.49). Дальнейшее преобразование постановок (4.6.9) и (4.6.11) в задачах типа (4.7.66) и (4.7.69) при установившихся колебаниях осуществляется аналогич­ но рассмотренному выше в и. 4.7.7 изотермическому случаю, но при этом принимаются дополнительные допущения:

1) частоты Ok вынужденных колебаний кратны своей наименьшей частоте: