книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

522 Глава 5. Пластические среды

отношений:

(w *= S H - - A ; - p A l - - ( S / Py - p 5 ( .

Из этих соотношений следует, что потенциал ( не зависит от коротационных производных в момент времени t:

Модель Сп пластических сред задается двумя функционалами (5.3.76),

(5.3.11) и функциональным соотношением для тензора пластической дефор-

(п) мации А р.

5 .3 .2 . О пределяю щ ие соот нош ения для м оделей

изот ропных пласт ических сред

Теорема 5.3.1. Для моделей Сп изотропных пластических сред потен-

(п)

циал С и тензор А* не зависят от тензора О, а функцию рассеивания можно представить в виде

то методом, использованным в т. 2, п. 3.13.3 для фойгтовских сред, получаем,

из т. 2, п. 3.2.18, тензор S коммутирует с А, т. е. эти тензоры соосны. Используя теорему 3.3.1 из т. 2, ОТТ (5.3.7) для изотропных сред можно записать через коротационные производные:

(5.3.76), где реактивные переменные 1Z уже не содержат О, и повторяя выкладки (5.3.9), снова получаем определяющие соотношения (5.3.Ю), но

функция рассеивания в этих соотношениях будет выражена уже через коротационные производные, т. е. формула (5.3.12) действительно справедлива. А Применим принцип Онзагера для моделей Сп, записывая плотность внут­ реннего производства энтропии (т. 2, (3.12.1)) с учетом (5.3.12). В результате получим следующие дополнительные к (5.3.10) определяющие соотношения:

Уточним вид соотношений (5.3.15) таким же образом, как и для моделей А п , заменяя формально Т —> S, С —►А и ( • ) — >■ ( h ) (см. пп. 5.1.4—5.1.8). В частности, ассоциированная модель Сп изотропной пластической среды

имеет вид, подобный соотношениям (5.1.75)—(5.1.83):

Функции Lpa и фа вычисляют по формулам (5.1.78) и (5.1.82), а совместные

инварианты J ^ \ S, А р) — по (5.1.75).

В модели Сп Губера — Мизеса соотношение для пластического течения

Замечание 5.3.1. Несмотря на формальное сходство моделей Сп и Ап изо­ тропных пластических сред, очевидно, что определяющие соотношения этих моделей не эквивалентны друг другу. □

Замечание 5.3.2. Соотношения (5.3.13) представляют собой дополнитель­ ное условие, которому должны удовлетворять определяющие соотношения (5.3.16). Как было показано в т. 2, и. 3.2.18 (см. теорему 3.2.9), соотношение

S = 0 эквивалентно условию соосности тензоров S и А или их коммутатив­ ности:

(п)(п) (п) (п)

С учетом соотношения аддитивности (5.3.3) заменим это условие на более сильное:

Из (5.3.186) всегда следует (5.3.18а), но не наоборот.

Для того чтобы проверить, удовлетворяют ли соотношения (5.3.16) усло-

Подставляя (5.3.19) во вторую формулу (5.3.186), получаем, что это соот-

учитывая (5.3.19), находим, что кроме того должны выполняться еще два условия коммутативности:

Условия (5.3.20) являются весьма ограничительными.

Из всех коротационных производных h Е {V, s, J}, рассмотренных в этом

(5.3.3а) тензоров А р следует, что только производная А^ имеет собственный базис, совпадающий с ра :

С учетом сказанного выше, из всех рассмотренных коротационных про­ изводных использование производной в собственном базисе левого тензора искажений h = V для моделей Сп пластических сред является наиболее корректным. □

5 .3 .3 . Общее предст авление определяю щ их соот нош ений для м оделей D ^ пласт ических сред

Модели Dn пластических сред являются мультипликативными: соотноше­ ние аддитивности упругой и пластической деформаций для них не выполня­ ется и определяющие соотношения в этих моделях строят тем же методом, что и в моделях В

Модели Dn основаны на следующем представлении мощности напряже­

квазиэнергетические симметричные тензоры упругих напряжений и ква-

тензор напряжений пластического искажения; SQ — кососимметричный тензор напряжений пластического вращения, имеющие следующий вид:

Здесь T e задается формулой (5.2.15).

Тензор Y e, как и Y, определяется своей производной и начальным значе­ нием Yg (при отсутствии начальной пластической деформации Yg = Е):

▼Для доказательства воспользуемся формулой (5.2.21). Первое слагаемое в правой части этой формулы отличается от полной мощности напряжений

применить теорему 3.2.5 из т. 2, гарантирующую существование квазиэнергетических пар, в данном случае с индексами «е»:

Второе слагаемое в (5.2.21) преобразуем с учетом определения (5.2.14) тензора TV и очевидного соотношения

тогда

• • Up = ^(Fp 1• Т е • Op + ОрТ• Т е • F ” 1т) • • (ОрТ• Vp • Op)* =

= 1(Ор- F " 1- Т е+ Те- F ; lTОрТ) • • Vp + ^(Op- F " 1- Те- V p - VpOp- F " 1- T e+

+ Те • F ; 1т • OpT• Vp - Vp • Те • F ; 1т • OpT) • • (Op • ОрТ). (5.3.25)

где So и St, определяют по формуле (5.3.21a), a T 0 — no (5.2.15). Тогда из (5.3.27) действительно следует представление (5.3.21). ▲

Подставляя представление (5.3.21) для мощности напряжений в ОТТ (т. 2, (3.3.18)), получаем

В ассоциированной модели Dn пластических сред соотношения (5.3.39) пластического течения связаны с поверхностью пластичности по закону градиентальности:

k к

где fp — пластические потенциалы — функции вида (5.3.40а), которые можно рассматривать зависящими от следующих аргументов:

Ь = s o> Vp, о ;, в, W P ) . (5.3.43)

Для модели Dn пластической среды с собственным упрочнением по­ тенциалы fp не зависят явно от Vp, а являются функциями совместных

Поскольку тензоры Sv и SQ представляют собой комбинацию тензоров

Совместные инварианты «/Д определяют по формулам (5.2.60). Тогда, принимая во внимание выражение (5.2.61), определяющие соотношения

Функция h определяется формулой (5.1.51), в которой частичная произ­