книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Индекс «О» далее будет соответствовать величинам в устойчивой актуаль­ ной конфигурации /С, которую будем называть основным состоянием.

Из формул (6.1.20), (6.1.21) и (6.2.1) следует, что конвективные про­ изводные от тензоров деформации Коши — Грина и Альманзи при малых

Из формул (6.1.49) с учетом (6.2.1) и (6.2.1а) следует (см. упр. 4), что при малых деформациях совпадают конвективные производные от всех энергети­ ческих и квазиэнергетических тензоров деформаций:

При малых деформациях совпадают все энергетические тензоры напряже-

(п)

ний Т (см. (2.1.21)), обозначим их следующим образом:

(п)

который можно записать еще в виде (2 .6 .1) (с учетом тепловых деформаций):

(п)

где г\ — число линейных инвариантов l\s\ С); (гд —г\) — число квадратич­

ных инвариантов; 4С — тензор модулей упругости.

(п)

Тензор 4 Н ^ (6.1.53), образованный вторыми производными от потен­ циала по инвариантам, для линейно-упругих сред в точности совпадает с тензором модулей упругости 4С:

Тогда с учетом формул (6.1.52) получаем, что конвективные производные от

(п)

Р^ = (V • w)T —V (8 ) w T• Т + Т^.

Здесь учтено соотношение (6.2.1).

С учетом формул (6.2.4), (6.2.7), (6.2.8) из (6.1.52) находим определяющее соотношение в варьированной конфигурации:

6.2.2.Постановка задач теории устойчивости

вслучае малых деформаций

Для тензора напряжений сг°, тензора малых деформаций в0 и вектора перемещений и0 в основном (устойчивом) состоянии имеем задачу равновесия тела (6.1.69), которая для малых деформаций принимает вид

по формулам (6.2.1) и (6.2.5) по аналогии с (6.2.9а), для случая малых деформаций принимает вид (можно непосредственно подставить формулы (6.2.9а) в (6.1.64) и (6.1.66))

Для модели А\ уравнение теории устойчивости (6.1.73), линеаризованное по формулам (6 .2 .1) и (6.2.5), для случая малых деформаций принимает следующий вид (можно также получить эти уравнения, непосредственно подставив формулы (6.2.96) в (6.1.64) и (6.1.66)):

в случае малых деформаций, полученные из различных нелинейно-упругих сред (А\ или Ау), оказываются, вообще говоря, разными. Покажем, что на самом деле это различие весьма мало, и им, как правило, можно пренебречь. Для этой цели представим градиент вектора V 0 w в виде разложения на симметричную и кососимметричную части (см. т. 1, (1.6.32)):

Подставим выражение (6.2.14) в уравнение равновесия системы (6.2.12). Если считать, что максимальные значения компонент тензоров сг и сг° имеют один порядок, то, в силу допущения (6 .2 .2 ) о малости компонент тензора

В то же время, поскольку в (6.2.2) никаких допущений о малости значе­ ний компонент тензора f2(w) не сделано, пренебрегать слагаемым сг° • f2(w) по сравнению с сг оснований нет. Тогда уравнение равновесия системы (6.2.2) преобразуем к виду

V • (сг + сг° • V 0 w + (V • w)cr°) =

= V • (сг + сг° • s(w) + сг° • f2(w) + I\ (s)cr°) =

= V • (сг —сг° • е • и:) = V • сг —(V • сг°) • е • CJ —сг° • • (V 0 CJ • е). (6.2.15)

Поскольку V • сг° = 0 (это уравнение равновесия в системе (6.2.12) в ос­ новном состоянии), то задачу теории устойчивости (6.2.12а) с учетом (6.2.15) можно записать следующим образом:

V • сг —сг° • • (В • е) = 0,

Отметим, что уравнение теории устойчивости в этой системе можно запи­ сать иначе — в следующих эквивалентных формах:

V • (сг —сг° • е • CJ) = 0,

Рассмотрим уравнение равновесия в задаче (6.2.13), подставляя в него выражения (6.2.14) и отбрасывая слагаемые e(w) • сг° и сг° • e(w), малые по сравнению с сг° • П:

В результате получено уравнение равновесия, в точности совпадающее с (6.2.15). Аналогично можно показать, что мало отличаются и граничные условия в задачах (6.2.12а) и (6.2.13).

Таким образом, постановки задач теории устойчивости, полученные из различных моделей нелинейно-упругих сред А\ и Ау, для случая малых де­ формаций фактически совпадают с точностью до малых слагаемых, которыми, как правило, можно пренебречь. Аналогичный результат имеет место и для моделей Ац и А\у (см. упр. 5).

Задача теории устойчивости решается следующим образом: вначале ре­ шается задача (6 .2 .12) для основного состояния при значении параметра fi = 1, в результате чего вычисляется поле тензора напряжений <т°(1). В силу линейности задачи (6 .2 .12), любому другому значению параметра /л соот­ ветствует поле тензора напряжений <r°(/i), пропорциональное полю <т°(1): <r°(/i) = /лсг°( 1). Подставляя это поле сг°(рь) в систему (6.2.16), получаем задачу теории устойчивости — задачу на собственные значения, решением которой является система собственных значений /л и собственных функций w.

6.2.3. Вариационная формулировка задачи теории устойчивости

Для задачи (6.2.16) теории устойчивости можно записать вариационную формулировку, которая играет важную роль при численном решении задачи, например, методами конечных и граничных элементов. Используем для этого метод, изложенный в п. 2.4.2.

Здесь f a — физические компоненты вектора f; сг^ — физические компоненты тензора сг в физическом базисе rJ координат X l\ Bim — физические компо­ ненты тензора В; а®к — компоненты тензора сг° в том же базисе:

что, в силу ортонормированности базиса гщ верхние и нижние компоненты всех тензоров и векторов в этом базисе совпадают: В г т , Bim, В гт , В{т и т. и., их различие сохраняется только для соблюдения формального правила суммирования по верхним и нижним индексам, например, в гта^к.

Физические компоненты Bim тензора В связаны с физическими компо­ нентами uji вектора CJ и выражаются по формулам (т. 1, (2.6.28) и (2.6.29)):

где а, (3, 7 образуют четную подстановку. Здесь учтено, что физические ком­ поненты uji сопутствующего вектора CJ связаны с физическими компонентами flij кососимметричного тензора ft следующим образом (см. упр. 6 к § 1.6 т. 1):

пп. 2.10.3 и 2.10.9) как для основного состояния — перемещений и®, и на­ пряжений Озз, так и для варьированного состояния, полагая, что компоненты wa вектора w являются линейными функциями от X 3, аналогично формулам

Пять функций (6.3.9) зависят только от координат X 1 и X 2.

Подставляя формулы (6.3.8) и (2.10.20) в (6.3.5), получаем выражения для

600 Глава 6. Теория устойчивости

Подставляя формулы (6.3.8) для перемещений wa в (6.3.7), вычисляем деформации eij варьированного состояния оболочки. В результате получаем формулы, аналогичные (2.10.25)—(2.10.27) и отличающиеся только заменой

мулы, но в них сохраняются обозначения, как в формулах (2.10.25)—(2.10.27):

12А2 \А\ ) д + Ai \А 2/ д

6.3.3.Напряжения и определяющие соотношения для основного и варьированного состояний

Физические компоненты тензора напряжений основного состояния выражаются по формулам (2.10.42), в которых все напряжения и деформации необходимо пометить индексом «0 »: