книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Соотношения (4.2.74) называют спектральным представлением линейных моделей Ап вязкоупругих сред.

Если ввести спектральное разложение (4.2.72) и для тензора h: h =

П,,ч

= Рек >то с учетом (4.2.73) неравенство (4.2.70) примет вид

Если значения спектральных линейных инвариантов Y^(h) принять равными нулю, то, в силу независимости спектральных инвариантов между собой, из (4.2.76) получим условие монотонного невозрастания спектральных функций релаксации:

С помощью спектральных функций релаксации формулируют частные случаи линейных моделей Ап вязкоупругих сред. Так, для простейшей линейной модели Ап изотропных вязкоупругих сред полагают одно из двух спектральных ядер релаксации постоянным:

С учетом ynp. 6 к § 4.2 и формул (4.2.46) это условие можно записать в виде связи ядер q\(t) и q2 (t)\

где обозначены ортопроекторы тензоров относительно полной ортогональной группы I, называемые девиапгорами:

При гидростатическом сжатии, когда тензор напряжений Коши и градиент деформации шаровые:

поведение вязкоупругой среды, согласно простейшей модели (4.2.80), анало­ гично поведению чисто упругой среды:

Т= (J/3)i211(0)/1(C)E,

т.е. вязкоупругие деформации при гидростатическом сжатии в такой модели отсутствуют.

Под действием давления вплоть до высоких значений р многие твердые материалы действительно обладают такими свойствами, поэтому простейшую модель (4.2.80) достаточно широко применяют в МСС.

4.2.14. Экспоненциальные функции релаксации и дифференциальная форма определяющих соотношений

При аналитическом и численном решении задач удобно иметь аналитиче­ ский вид спектральных функций релаксации R ap(t). В предыдущем разделе было установлено, что следствием неравенства диссипации ^ 0 является свойство монотонного невозрастания спектральных функций R aa(t). Функ­ ции с таким свойством можно аппроксимировать суммой экспонент:

7—1

где E>(T ) и (т) — константы, называемые спектрами значении релаксации и

где Сар = Rap(0) — спектральные (двухиндексные) модули упругости при мгновенном нагружении.

Существуют и другие способы аналитической аппроксимации функций ре­ лаксации, однако экспоненциальные функции обладают рядом преимуществ: 1) выбирая достаточно большое число N экспонент в (4.2.83), можно аппрок­ симировать практически любую функцию Rap(t)\ 2) определяющие соотно­ шения (4.2.74) и (4.2.75) с экспоненциальными ядрами допускают обращение (см. п. 4.2.15), причем ядра обратных функционалов также оказываются экс­ поненциальными; 3) ядра (4.2.83) позволяют представить определяющие со­ отношения (4.2.74), (4.2.75) или (4.2.59), (4.2.60) в виде дифференциальных соотношений.

Если в формулу (4.2.92) подставить экспоненциальные ядра (4.2.87) и

преобразовать двойные интегралы следующим образом:

t t

exp (- t - T \ - T 2 ) d Y P ( r x)d Y P (T 2) = 1~а{3

0 0

1

exp { - 1— ^)ЯУ^с \т\)йт^ (Y^C\ t ) - d — exp ( - t~:^ j ) d Y ^ C\T 2)dT2J ,

ТД/3

(4.2.94) то с учетом обозначений (4.2.88) формулу (4.2.92) можно представить в виде

a = m -\-1

4.2.15. Обращение определяющих соотношений для линейных моделей вязкоупругих сред

В теории вязкоупругости часто используют обратные к (4.2.59) или (4.2.63) определяющие соотношения. Для этого соотношение (4.2.63) рас­ сматривают как линейное интегральное уравнение Вольтерры второго рода

( п )

относительно процесса С о(т), 0 < г < t. Ядро этого уравнения К (t) пола­ гают непрерывно-дифференцируемым, удовлетворяющим условиям (4.2.66), (4.2.67). Из теории интегральных уравнений известно (см. [32]), что уравне­ ние (4.2.63) с таким ядром имеет решение всегда, и это решение формально записывают в такой же форме, как и исходное уравнение:

386 Глава 4. Вязкоупругие среды

О

получаем интегральное соотношение между тензором ядер релаксации 4К (t) и тензором ядер ползучести 4N(£). Если известно ядро 4К (£), то соотношение (4.2.101) представляет собой линейное интегральное уравнение Вольтерры второго рода для вычисления ядра 4N(£) и наоборот.

— систему скалярных интегральных уравнений для нахождения ядер Nap(t) через ядра К ар и наоборот.

Подобно тензору функций релаксации 4 R(£), введем тензор функций

тогда обратное определяющее соотношение (4.2.96) можно представить в форме Больцмана:

Тензоры ядер и функций ползучести обладают теми же свойствами сим­ метрии (4.2.67), (4.2.71), что и тензоры 4К и 4R (см. упр. 10 к § 4.2):

Для тензора функций ползучести 4П (Ц как и для 4R(i), можно ввести спектральное представление по формуле (4.2.73):

экспоненциальными, т. е. имеют вид (4.2.87), то и спектральные ядра ползучести Nap{t) являются экспоненциальными:

в(4.2.87) и (4.2.106) одно и то же.

▼Покажем, что если ядра K ap(t) имеют вид (4.2.87), то решением интегрального уравнения (4.2.102) являются ядра (4.2.107).

Подставляя (4.2.87) и (4.2.107) в (4.2.102), находим

и приравнивая коэффициенты в (4.2.108) при одинаковых экспонентах, полу­ чаем систему уравнений

системы (4.2.110), существует и экспоненциальное представление ядер пол­ зучести (4.2.107). А