Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4658 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
41.7 Mб
Скачать
☆

 

 

§ ЗА. Классические задачи

311

 

 

III

(3.4.5а)

 

 

О OLO = Т а , Ti — III.

Поскольку получившееся выражение для Т не зависит от координат Х \

то тензор Т

(3.4.5)

автоматически удовлетворяет уравнениям

равновесия в

системе (3.3

.30): V

• Т = 0 при отсутствии массовых сил (f =

0).

Граничные условия в системе (3.3.30) применительно к задаче о растяже­

нии бруса имеют следующий вид:

 

ж1 = 0:

п • и = 0,

п • Т • т а = 0,

а = 2, 3;

 

 

 

 

х х = h\\

n

u =

u le ,

n • T • та = 0,

се = 2,3;

 

 

(3.4.6)

 

 

x a = ± h a / 2:

п • Т = 0,

а = 2 ,3 .

 

 

 

Иначе говоря, в соответствии с постановкой задачи из примера

1.1.1 т. 2,

на одном

торце бруса (ж1 =

0 ) задается

условие

симметрии,

а

на

втором

(ж1 = h \ )

—

перемещение

 

боковые

поверхности

(х а = ± h a / 2 )

свободны

от нагрузок. Поскольку на поверхности ж1 =

0 бруса имеем п =

—ё ц

т а = ё а

(се = 2 ,3 ),

а

на боковой

поверхности

х а

=

=Ь/щ/2 :

п

= ё а ,

то

граничные

условия (3.4.6) можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж1 =

0:

и [ =

0,

ei

• Т

• ё а

=

0,

а

=

2, 3;

 

 

(3.4.7а)

 

 

жх =

h\\

и 1 =

и \ ,

ei

• Т

• ё а

=

0,

се =

2,3;

 

 

(3.4.76)

 

 

 

x a = ± h a / 2 :

<jaa

=

0 ,

се =

2 ,3 .

 

 

 

(3 .4 .7в)

Из формул (3.4.5)

следует, что касательных напряжений в данной задаче

нет, поэтому условия

ei • Т • ё а

= 0 удовлетворяются автоматически во всем

брусе. Граничное условие и 1 =

0 при ж1 =

0 также удовлетворяется

согласно

(3.4.1). Из граничного условия

при ж1 = h\

выразим

к\

через и\\

 

и \ =

h\ — Ьь{ =

(fci — l)/ij,

к\ = 1

+

и\/Ьь{.

(3.4.8)

Подставляя (3.4.5а) в граничное условие (3.4.7в), находим, что компонен­ ты (722 и Узз тензора напряжений Т в данной задаче должны быть равны

нулю, ненулевой является только компонента сгц. В результате, объединяя формулы (3.4.5а) и (3.4.7в), получаем три соотношения (при п = I, П Д У , V):

з

,п—III

0 = с С ^ Щ - 111 - 3) + 212 { к ™ - ш - I ) , а = 2 ,3 , (3.4.10)

'а

/3=1

относительно трех неизвестных: Ац, &2 и сгц (к\ находим из (3.4.8)).

312 Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

Несложно заметить, что система (3.4.9), (3.4.10) допускает решение вида

&2 = **, Т0 ГДа с помощью

(3.4.10) можно

выразить

и

через к\\

k l ~ m

- 1 =

- 1),

а =

2 ,3 ,

(3.4.11)

где

к

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.4.11а)

 

2 (^i +

к )

 

 

 

 

 

 

— к о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а .

^

^

 

 

Если вычислить отношение компонент С 2 и С \ энергетических тензоров

деформации, для которых выполняются соотношения (3.4.16), то с учетом формул (3.4.11) получаем, что коэффициент Пуассона представляет собой отношение этих компонент с обратным знаком:

(п) (п)

(п) (п)

 

 

с 2/с 1 =

С з / C i

= - 1/,

(3.4.116)

причем это соотношение справедливо для всех моделей А п .

 

Для большинства реальных изотропных

упругих сред значения коэффи­

циента Пуассона находятся в диапазоне 0 <

v < 0,5, поэтому при продольном

растяжении бруса вдоль оси О х 1, когда

(п)(п)

( п )

С \ > 0, поперечные деформации

отрицательны С 2 = О з < 0,

т. е. происходит поперечное сжатие бруса. Это

свойство называют э ф ф е к т о м

П у а с с о н а .

Подставляя выражение (3.4.11) в (3.4.9), находим искомое разрешающее

соотношение задачи: зависимость напряжения а\\

от кратности удлинения к\\

уп III

1

1))-2/(п-ш)| n = I,II,IV, V.

<7П = 2Z2(1 + и) ' _

(к™~111- 1 ) ( 1 - Д " “Ш -

 

 

(3.4.12)

Следуя тому же методу, получаем разрешающее соотношение для модели А щ

(см. упр. 1 к § 3.4):

к 2 = к г = \ / к \ ,

<T1I = 2Z 2(1 + I/ ) ^ 7.

(3.4.12а)

 

к 1

 

Сравним полученные зависимости ^2 (^ 1) и crn(fci) для разных моделей А п .

Несложно заметить, что для всех

моделей А п зависимости /^(/сД

(3.4.11) и

(3.4.12а) являются

монотонно убывающими, т. е. растяжению бруса по оси

О х 1

соответствует

его

сжатие по осям

О х 2

и О х3

(напомним,

что

значения

к а >

1 соответствуют

растяжению по

оси

О х а , а

значения 0

<

к а < 1 —

сжатию по Оха).

 

 

 

 

 

 

 

 

Для моделей А \

и А ц функция /^(Ац) имеет горизонтальную и вертикаль­

ную асимптоты (рис. 3.4.1):

 

 

 

 

 

 

 

/ V

\ 1/( II I —п)

к 2 =

к 2°°

1 ч 1 / (Ш - п )

п = I, II,

к\ = к Т =

 

и

1

 

 

Ч

 

 

 

 

 

 

 

§ ЗА. Классические задачи

317

иморасположение функций crn(5i) и cr[^(5i) было таким же, как и в случае использования напряжений Пиолы — Кирхгофа; модель А щ и в этом случае приводила к наилучшим результатам.

3.4.3. Растяжение несжимаемого упругого бруса

1.

Рассмотрим ту же задачу о растяжении бруса (см. и. 3.4.2), но будем

полагать брус несжимаемой упругой (твердой идеальной) средой.

 

 

Граничные условия для бруса выберем те же самые (3.4.6), а закон

движения

бруса

будем искать

в

виде (3.4.1). Тогда градиент

деформации

F выражается по формуле (3.4.1а), а меры и тензоры деформации имеют

такой же

вид, как

и для сжимаемой среды,

и вычисляются в соответствии

 

 

 

 

 

 

 

 

( п )

 

с табл. 3.4.1. В

частности, э н е р г е т и ч е с к и е

м е р ы д е ф о р м а ц и и

G

имеют

следующие выражения (см. т. 2, упр. 13 к § 3.2):

 

 

 

 

G = (g

=

У ^

Г

Шёа ® e Q,

n = I ,II,IV ,V .

 

 

(3.4.15)

 

 

 

а =1

 

 

 

 

 

 

Поскольку среда несжимаема, то для нее должно выполняться условие

несжимаемости

(т. 2, (3.9.3)).

Тогда, подставляя в формулу

(т. 2,

(3.9.3))

выражение (3.4.1а) для F , получаем следующ ее соотношение:

 

 

 

 

 

 

1 = det F = Ац&2&з ,

 

(3.4.16а)

из которого можно

выразить

и

через к\ (в данной задаче

=

&з):

 

 

 

h

=

k 2 = 1 / \ Щ .

 

(3.4.166)

Это простое соотношение является аналогом (3.4.11) и (3.4.12а) для сжима­ емой среды. Из (3.4.166) следует, что для несжимаемых сред также имеет

место эффект Пуассона (см. и. 3.4.2), но зависимость к^ и к% от к\ имеет универсальный характер — она не зависит от констант р и (3 несжимаемой среды (для сжимаемой среды это не так).

Поскольку к\ в задаче о растяжении

бруса сразу вычисляется из гранич­

ного условия по формуле (3.4.8), то и &2 ,

также находим без использования

определяющих соотношений по формуле

(3.4.166).

Примем, что определяющие соотношения упругого несжимаемого бруса

соответствуют линейным моделям В п

(т. 2,

(3.9.46)):

(п)

(п)

-1 + Ц п - III) 2 (

 

 

( п )

т

V

( - A

A L

+ (1 - (3 )h ( G ) ) Е - (1 - (3)IG

 

"n —III'

 

 

 

(3.4.17)

 

 

 

 

 

которые содержат две константы: ц

и (3.

 

318

Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

(п )

Подставляя в (3.4.17) выражение (3.4.15), находим, что тензоры Т в дан­ ной задаче, как и для сжимаемых сред, не имеют касательных напряжений:

 

(п)

3

(п)

 

 

 

Т =

^ 2

Т ааеа ® еа,

(3.4.18)

 

 

а = \

 

 

 

(п)

 

 

 

3

 

Т аа = - р к 1У~ П +

~ Ш) ^1 + (3 + (1 -

(3) ( ^ 3

Щ ~ Ш ~ &2 -Ш))>

 

 

 

 

7=1

 

а =

1,2,3,

п = I, II,

IV, V .

 

Подставляя эти выражения в (3.4.4), находим представление для тензора истинных напряжений Коши Т в моделях В п \

 

 

 

 

з

 

 

 

 

т = ^(Тааёа ® ёа ,

(3.4.18а)

 

 

 

 

0=1

3

 

СТ а а = ~ р

+ ц ( п - Ш )/с” _ ш (1

+

(3 + (1 - (3)

Щ ~ ш - /с” -111) ) ,

а = 1,2,3.

 

 

 

 

 

7=1

(3.4.186)

 

 

 

 

 

 

Ввиду

равенства

и &з,

в

(3.4.186)

имеется только два

независимых

соотношения: при а = 1 и а = 2 , причем из граничного условия (3.4.7в)

следует, что &22 =

0. В результате имеем два уравнения:

 

o-i 1 =

— р +

р ( п -

III)fc™_III(l +

/3 + 2(1 -

/3)^2 —1П) ?

 

0 = - р +

1 л ( п

- П Щ

- ш { 1 + / 3 + ( 1

- /3)к™~ш

+ Щ ~ 111))

(3.4.19)

относительно двух неизвестных: а\\ и р .

Исключая р и используя соотношение (3.4.166), получаем разрешающее

соотношение

между

напряжением

сгц

и кратностью продольного

удлине­

ния к\\

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = М » -

Ш ) ((1

+ /5) ( ч * - ш

-

Д

ш

т г )

+ (1 - /3) ( 4 ” “ ш , / 2 - ф

а ) ) '

 

 

 

 

I,

II,

IV,

V .

(3.4.19а)

 

 

п

=

 

Графики функций — (fcj), построенные по формуле (3.4.19а) для различ-

Р

ных значений параметра /3 и разных п, приведены на рис. 3.4.7.

Для моделей В\\ и В\у все функции выпуклы вверх при любых значениях

/3 в интервале —1 < /3 < 1. Для моделей В\ и B y функции — (Ац) при /3 <

1 и

р

 

/3 > — 1, соответственно, имеют точку перегиба: в области сжатия (0 < к <

1)

эти функции выпуклы вверх, а в области растяжения ( к ^ 1) — выпуклы

вниз. Для модели

В \

с /3 = 1 и модели By с /3 = — 1 ( м о д е л ь Т р е л о а р а )

графики функций

—

(fc) не имеют точек перегиба — они выпуклы вверх.
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности