Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

41.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 6336 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

352	Глава 4. Вязкоупругие среды
/, d f и S f , при больших t мало отличается от ее			реакции на статический
процесс.
▼Рассмотрим процесс
	1Z(T ) = 1Z(T ) —7Z(T ),	0 ^ г ^	t.		(4.1.31)
Очевидно, что	_				(4.1.32)
тогда	TZ(r) = 0 при t o ^ r ^ t ,				(4.1.32)
тогда
к ц2= 7г2(*) +	1Zz{t —r)y 2(r) dr =	1Z2 (r)^2{t — т) dr =
	to
	^2/ ч ,2		с	72(г) dr.	(4.1.33)
	TZz(r)^z(t — т) dr ^		с	72(г) dr.	(4.1.33)

Отсюда, в силу свойства (4.1.4) и монотонности убывания функции у(г), получаем, что || 7£ Ц*—►0 при t —►+оо. А поскольку дифференцируемый по Фреше функционал / является и непрерывным так же, как d f и 5/, то из условия (4.1.12) следует, что имеет место следующее неравенство:

II / (K(t) + K(t), п \т ) + п\т)) -	/ ( а д , п\т)) \|\|к е .	(4.1.34)
т—0	т—О

Это и означает существование первого предела (4.1.30).

Аналогично доказываем существование второго и третьего пределов в (4.1.30). А

4.1.6. Модели A n вязкоупругих сред

Если рассматривают модели Ап вязкоупругих сред максвелловского типа, то свободная энергия ф является функционалом вида (4.1.1), а в качестве

реактивных переменных выбирают набор (т. 2, (3.4.1)):
t	(п)	(п)	(4.1.35)
Ф = Ф	( c ( t ) , e(t),	с \ т ) , в\т)).	(4.1.35)
т—0

Применяя правило (4.1.24) дифференцирования функционала, получаем выражение для полной производной ф по t:

дф _	дф	(п)	дф d0 ^
		dС		(4.1.36)
dt	(n)	dt	дв dt

дС

Подставляя (4.1.36) в ОТТ (т. 2, (3.3.15)), после приведения подобных имеем

/	(п)	(п)
	дф _ Т \		(4.1.37)
V	(п)	d С + ФФ + v ) d e + ( ^ - + 5ф) dt - 0.

дС

§ 4.1. Вязкоупругие среды с конечными деформациями	353
(п)	(п)

При фиксированных предысториях Сц вг и текущих значениях С (£), 6 {t)

( п )

приращения dC, d9 и dt могут изменяться произвольным образом, поэтому тождество (4.1.37) выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты при этих приращениях обращаются в нуль. В результате приходим к системе соотношений

' О)	О)	=	t (п)	(n)	0\т)),
т	= р(дф/д С)	=	т= 0	9(t), С \т)	0\т)),	(4.1.38)
			т= 0			(4.1.38)
j] = —дф/дб,		w	= —рбф,

представляющих с (4.1.35) систему определяющих соотношений для моде лей Ап вязкоупругих сред максвелловского типа.

Подобно идеальным сплошным средам, для вязкоупругих сред достаточно задать только функционал свободной энергии (4.1.35), тогда остальные соот ношения вычисляют его дифференцированием по формулам (4.1.38).

Отметим, что хотя формально соотношения (4.1.38) похожи на соответ ствующие соотношения (т. 2, (3.5.4)) для моделей Ап идеальных сред, однако они существенно отличаются тем, что в (4.1.38) применяется функциональная

( п )

зависимость от С и в. Кроме того, вязкоупругие среды являются диссипатив ными: для них функция рассеивания тождественно не равна нулю.

4.1.7. Следствия из принципа материальной симметрии для моделей А ^ вязкоупругих сред

Согласно общему принципу материальной симметрии (т. 2, аксиома 19), для всякой вязкоупругой среды существует неискаженная отсчетная кон

фигурация 1C. Далее, как и в т. 2, п. 3.7.4,	для простоты будем считать
о	о

начальную конфигурацию 1C неискаженной. Тогда для 1C существует та-

кая подгруппа Gs С U унимодулярной группы U, что для всякого тензора

оо *

преобразований Н е Gs (Н : /С —►/С) определяющие соотношения (4.1.38),

записанные для /С, при переходе в /С преобразуются следующим образом:

(n)	t	(n)	(n)	(n)	t (п)	(п)
т * =	т	(с*,	е, с Ц вг) = Р(дф/дс), ф = Ф (с , е,			с Ц в) = Ф,
	Т=0				Т=о
			Г} = -дф*/дв,	(W) = -р(ёф)*	VH € Gs.	(4.1.39)

Для твердых вязкоупругих сред, в силу Д"-индифферентности всех тен-

(п) (п) (п) (п)

зоров Т , С (t) и С г(т) = C (t — T) (см. т. 2, п. 3.7.4), соотношения (4.1.39) принимают вид

354

Глава 4. Вязкоупругие среды

(n)

(n). .

(n)

(n),

(4.1.40a)

Q T•

^ ( C ,

6»,

с \

ег)

Q =

C Q, e,

Q T C 4

Q, 6»4),

T=0

= ^ 0(Q T

(n)

в) --=

(n)

(n).

6f)

(4.1.406)

Ф (С ,

Ф (QT c

0 ,Q T C*

VQ G Gs,

r=0

8ф = 8ф*.

(4 .1 .4 0 B )

Теорем а 4 .1 .3 . Необходимым и достаточным условием выполнимости принципа материальной симметрии в форме (4.1.40) для моделей Ап твер дых вязкоупругих сред является выполнение условия (4.1.406) для ф.

▼Необходимость условия (4.1.406) очевидна.

Докажем достаточность. Если выполнено соотношение (4.1.406), то, по скольку функционал Т — тензорная функция, представляющая собой произ-

(п)

водную от ф по С (£), методом, использованным при доказательстве теоремы 3.8.1 из т. 2, доказываем, что из (4.1.406) следует (4.1.40а).

Для доказательства (4.1.40в) используем формулу (4.1.36) для дф и запи

шем ее в конфигурации /С:

			= Г Г _	1 (т*	dс*	д^*	de	(4.1.41)
			dt	р	dt	80	dt
Поскольку ф = ф * , то переход из К, в /С не зависит от t,								то и д ф / d t = д ф * / d t .
В силу Я-индифферентности тензоров					(п)	(п)
В силу Я-индифферентности тензоров					Т и	С, имеет место соотношение
(п)	(п)	(п)	(п)	а также справедливо дф*/дв = дф/дв, т. е.
Т* • •	( d C * / d t )	= Т • •	( d C / d t ) ,	а также справедливо дф*/дв = дф/дв, т. е.

правая часть соотношения (4.1.41) совпадает с 8ф, значит (8ф)* = 8ф. Таким образом, соотношение (4.1.40в) выполняется. ▲

4.1.8. Общее представление функционала свободной энергии в моделях А п

Скалярный функционал ф (4.1.35), удовлетворяющий условию (4.1.406),

называют функционально-индифферентным относительно группы Gs.

Найдем общее представление такого функционала через инварианты тензора

( п )	о
С	соответствующей группы Gs.

Ранее было дано общее представление линейного скалярного функционала в форме (4.1.166). По аналогии с (4.1.166) определим квадратичный скаляр ный функционал как двукратный интеграл следующего вида:

t t

( n ) ( n )

Фч =

*A(i, ть т2)

(С (т0 С{т2 ))('АЪ2 Х)дт\(1 т2 ,

(4.1.42)

§ 4.1. Вязкоупругие среды с конечными деформациями

355

где 4A(£,T I,T2) — фиксированный тензор четвертого ранга, называемый яд ром функционала, а также определим п-кратный скалярный функционал

t t

Фт —

ФтФ, Ть

Tm)dTj . . . dTm,

(4.1.43)

оо

где

ФтЦ, Т\, . . . , Т т) =	2пА (t, Т\ ,	г Ь -Щ С Ц О ® ... (8) С!(rm))(m'm- 1 Д
		2m
		(4.1.44)
Здесь 2nA(t, TI , ...,	тт) — ядро этого функционала — фиксированный тензор

(2п)-го ранга, зависящий от (m + 1) аргументов.

Теорем а 4 .1 .4 (С тоун а — Вейерш трасса). Всякий непрерывный скалярный функционал (4.1.35) на пространстве ТЦ можно равномерно приблизить п-кратными скалярными функционалами (4.1.43):

t (п)	(п)	оо

Ф = Ф (с (д	6(t), с \ т ) , в\т)) = 'У ^ Фшу	(4.1.45)
т=О	171= 1

где равенство означает равномерную сходимость частичной суммы в норме (4.1.8).

▼Доказательство теоремы применительно к TLt можно найти в [81]. А Рассмотрим подынтегральное выражение ф п ф , т\ , ..., тп ) п-кратного

функционала (4.1.43). При любом фиксированном наборе значений t , т\ , . . .

..., тш оно представляет собой скалярную функцию (но не функционал!) п

тензорных аргументов	(п)	(п)	1,	...,	тп):
тензорных аргументов	С(т^) =	(г =	1,	...,	тп):
фгпф, ть ...,	тш) = фтф, ть		...,	тш,	С ь	, Сш),	(4.1.46)
причем с переменой значений t,		т\, ...,	тш число и вид тензорных аргументов
этой функции не изменяется.

Подставляя представление (4.1.45) в условие (4.1.406) функциональной индифферентности ф, находим, что функции фш (4.1.44) при каждом фикси

рованном значении t, т\, ...,	тш должны удовлетворять условию
Фтфу Ть • • • >"Гт? С Ь . . . ,	Ст ) =
= фт(Ф Т Ь	. . . , ТШ , Q T Сщ Q, ..., Q T• Ст • Q), (4.1.47)

т. е. должны быть ^-индифферентными скалярными функциями относитель-

но группы Gs.

Теорем а 4 .1 .5 . Всякую скалярную функцию (4.1.46) т тензорных аргу-

ментов С ь ..., Ст, индифферентную относительно группы Gs, можно представить в виде функции от конечного числа z (z ^ 6 т) совместных

356 Глава 4. Вязкоупругие среды

инвариантов'.
J W = J W(С ь	. . . , С т ),	7 =	1,	..., z,	(4.1.48)
О
относительно этой группы Gs в следующем виде:
Ф т = ^ т { 1 , ть	..., Тт , j W	( C u	...,	Cm)).	(4.1.49)
					о

▼Совместными инвариантами т тензоров относительно группы Gs (см. т. 1, п. 4.14.2) называют скалярные функции J7 (4.1.48), ^-индифферентные относительно данной группы, т. е. удовлетворяющие соотношениям

jW (C b .... с т) = jW (Q T-Ci Q, ..., Q T-Cm -Q) VQ € Gs. (4.1.50)

Функциональный базис совместных инвариантов состоит из конечного их числа z, причем z не может превышать общего числа компонент всех тензоров, т. е. z ^ 6га. Кроме того, поскольку J образуют базис, то любая

другая ^-индифферентная скалярная функция относительно той же группы
о	^

Gs может быть выражена через этот базис. Функция тр (4.1.40) как раз является такой функцией в силу (4.1.47), поэтому действительно имеет место соотношение (4.1.49). А

Подставляя выражение (4.1.49) в (4.1.43), а затем в (4.1.45), приходим к

общему представлению непрерывного функционала (4.1.35) функционально-

индифферентного относительно группы Gs:

	( п )	( п )
Ф т У , Т\	J7(C (TI),	С (тп.))) dr\ . . . d T m . (4.1.51)
m —1 \

При выводе этой формулы использовано представление (4.1.16а) линейных функционалов с помощью 5-функции.

Выполним обратную операцию — выделим из ядер грт эту 5-образную

( п )

составляющую, что позволит отделить мгновенное значение тензора С (£) от его предыстории. Обобщением формулы (4.1.166) для функций от (га + 1)

аргументов (£, г\,		...,	тт) является следующая формула:
				т
Ф т У , П ,	..., Тт ,	J ^ )	=	^ 2 S ( t - T l ) . . . 8 ( t - T k) ^ m k {t,	Tk+ ь ..., Tm , Д^),
				k=0	(4.1.51a)
					(4.1.51a)
где при k	= m аргумент			rk+j = тш+[ функции фтк	отсутствует: ipmm =
= 'ФткУ, Г	5-
Подставляя (4.1.51а) в (4.1.51), получаем

§ 4.1. Вязкоупругие среды с конечными деформациями				357
00 п	г	(п)	(п)	(п)
* = Е Е	m — к о	Тк + 1, .... Tm, J ^ ( C(t),	, C (t),	С(тк+\), ...
п г = \ к = 0 Q	m — к о		к

( п )

..., С(тто))) drfc+1 ...drm. (4.1.52) Перегруппировывая слагаемые в этой сумме и замечая, что совместные ин

варианты Jj от т тензоров, среди которых имеется к одинаковых тензоров

(п)

С (£), всегда можно выразить через совместные инварианты (т — к + 1)

(п)(п) (п)

тензоров (C(rfc+i),		..., C (rm) и С (t)), находим
	(n)	_	t	t
	(n)			Ti, . . . , Tm,
i, = M t , A s\ c m		+ Y ;		Ti, . . . , Tm,
		m —1
		jW (C (t), c ( n ) ,			..., C { r m ) ) ) d T X. . . d T m		(4.1.53)
— общий	вид функционала		(4.1.35), функционально-индифферентного от-
носительно	группы	о		— мгновенно-упругая часть;		рт — ядра
носительно	группы	Gs. Здесь		— мгновенно-упругая часть;		рт — ядра
функционала:
		^0 =	^ 2 ^rnm(t, j!f\c ( t))),				(4.1.54)
оо			т=1		(п)
оо				, , (п)	(п)	С(тт))).
Рт = 'У ^ Ф т -\-к,к (^> Н ? • • • >				‘ т , Д 5)(С (Ц ..С (Ц С (п ), ...,		С(тт))).
к = 0
Совместные инварианты				( п )
Совместные инварианты			j \ s\ c ( t )) одного тензора представляют собой
просто инварианты		Ц(s) ( С (t))		этого тензора	относительно одной		и той же
О
группы Gs.

Представление (4.1.53) и есть искомое общее представление функционала (4.1.35) в моделях Ап.

4.1.9. Модель А ^ стабильных вязкоупругих сред

Определение 4.1.4.	Говорят,	что	рассматривается		м о д е л ь Ап
с т а б и л ь н о й в я з к о у п р у г о й		с р ед ы , если функционал ф этой модели
инвариантен относительно сдвига процесса				деформирования		и нагрева
по времени, т. е. если	имеются	два	процесса	(п)	а	н
				(С (т),0(т))		С(т),0(т)),

0 < г < ti, отличающиеся только сдвигом по времени:

(п)( (п)

(С (г), в{т)) = <	(С (т~*о)’ 8 ( T - t 0)),	t0 < r < ti,	(4.1.55)
1	(0, в0),	0 ^ т ^ to,

§ 4.1. Вязкоупругие среды с конечными деформациями						359
где 0О= 0(0);	9п = 0(тп);	yn = t - r n\	1	^ п ,1	^ т .
Совместные	инварианты	всегда	можно		выбрать удовлетворяющими
условиям нормировки:
	jW (0,	0) = 0,		7 = 1,		(4.1.60)
Для сред разностного типа функционал (4.1.53) имеет вид
	(n)	_	t	t
	(n)					(4.1.61)
m = M i ! ; 4 c m m + ' E				(pm d T i . . . (1тт ,		(4.1.61)
m = M i ! ; 4 c m m + ' E				о
		171= 1 о		о

где Lpm определяются формулой (4.1.57).

Теорем а 4 .1 .6 . Модель Ап вязкоупругой среды разностного типа является стабильной. (п)

▼Пусть первый процесс имеет вид С (г), 0 < г < t, тогда соответствую-

гций ему функционал ip(t) имеет вид (4.1.61). Поскольку второй процесс С (г) при г ^ to является тождественно нулевым, то в силу условий нормирования (4.1.59), (4.1.60) имеем рт = 0 при 0 ^ т* < to (г = 1, ..., га), поэтому нижние пределы интегралов в выражении (4.1.61) для функционала ф{€) могут быть определены как to:

	( п )
			Pm(t	П, . . . , t Тш,
		171= 1 to	to
_	_	(n)	(n)	(n)
9(t), 9(T\),	..., 0(rTO),	Д 5)( C(t),	C (ri), ...,	C (rTO)) dT\ ...drm. (4.1.62)

(n)(n)

Заменим С(т{) на С(т{ — to) при п > to, тогда, проведя замену перемен ных п —to = Ti, при t > to получаем

t—to

( n )
= ^o(4s)(C (t - to)),9(t - to)) +	tQ	T i ,
171= 1 0	0
..., t - to - Tm , 9(t - to), 9(T\), ..., 0(rm), j ! f \ c ( t - to),		C (TI), ...
• ••,	C (fm))cfri ...drm. (4.1.63)

Сравнивая (4.1.61) и (4.1.63), убеждаемся, что ip(t) и ^(t) связаны только сдвигом по времени t —►(t — to), поскольку при t = to

Ф(к) = <^o(0, 9(0)) = ф(0),

T . e. соотношение (4.1.56) выполняется. ▲

360	Глава 4. Вязкоупругие среды

Подставляя функционал (4.1.61) в (4.1.38), получаем общий вид опреде ляющих соотношений для стабильных сред:

_ t t

т = Ру	( дщ	dL>	+ у
P l ^	\ d I (s)	(п)	^
7=1	7	<9C(i)	m= lg

-Г) = дщдв + E

m —1 0

J v7	\
dPm д У

~ У ~ d r \ . . . d T m \,

7 d c (t)

dipm

36{t) d r i . . . d T m ,

-w = p n + p y	•••	( ^	f +	P m + i )	d n	. . . d T „		(4.1.64)
171= 1 0		0
Здесь ядра y m являются	функциями		вида (4.1.57);			dym/dt — частная про
изводная от функции (рт при переменных первых ее аргументах								—	...
..., в(тт) и фиксированных аргументах J^				(т. е. дифференцирование по ним
не выполняется). Введено также обозначение для функции y?m+i								(4.1.57) при
Тт -\-1 =
Г т + \ = <Pm+\(t-Tl,	t — Тт , 0,		9{t),	0 (Т \) ,		9{тт),	9{t),
			, \	(п)	(п)		(п)		(п)
			у	(С (t),	С (п ), ...,		С (тт)),		C(i)).

При выводе выражения для функции рассеивания использованы условия (4.1.59).

4.1.11. Модель А п термовязкоупругой среды

Приведем наиболее широко распространенный способ учета зависимости ядер Lpm (4.1.57) от температуры в.

В модели Ап термовязкоупругой среды разностного типа температура

в включена в совместные инварианты j!f \		т. е.
, .	(п)	(п)	(п)
tP m = tP m { t - T i , ..., t ~ T m , У	( С e(t),	С в (т\), ...,	С в(тт ) ) ) , (4.1.65)

где

в(т)

(п)(п)

Се(т)=С(т) е(т), е(т) =

cx(9)d9.

(4.1.66)

Тензор е называют тензором тепловой деформации, а сх — тензором теп лового расширения, оба они симметричны и Я-индифферентны относительно

рассматриваемой группы Gs:

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 6336 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.56 Mб3Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
12.11.20233.31 Mб2Механика сплошной среды. Законы сохранения.pdf
#
12.11.20233.28 Mб2Механика сплошной среды. Кинематика.pdf
#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб25Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб4Механика сплошной среды..pdf
#
12.11.202318.31 Mб3Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов.pdf
#
12.11.20239.02 Mб6Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)..pdf
#
12.11.20233.44 Mб3Механика твердого деформируемого тела..pdf
#
12.11.202311.85 Mб10Механика трещин..pdf