Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

41.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6345 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

§ 4.6. Модели вязкоупругих сред с малыми деформациями						441
т = /» = / > о		- v ) = Г ( е - ( —	°))	= /* (е “Щ )	« r i p ) \p = l/ 2 t .	(4.6.43)
Константа	e ~ w°	численно близка	к	значению	1/2, поэтому выполним
переход от р =	1/ ( t e ~ w°) к (1 / 2 t ) .

Используя соотношение (4.6.43), можно по любому изображению функции f * ( p ) , являющейся решением задачи теории упругости, найти приближенное значение оригинала /(£ ), представляющего собой решение соответствующей

задачи линейной вязкоупругости.

4.6.8. Метод аппроксимаций

Для многих анизотропных сред приемлемым является допущ ение о про

порциональности ядер релаксации K	a p ( t )	(или ползучести F a p ( t ) ) :
K a y t ) =	K °a/3( d v ( t ) / d t ) ,			(4.6.44)
где (p (t) — некоторая функция, общая для всех K a p ( t ) .
Отметим, что функции релаксации R		a p ( t )	и тензор функций	релаксации
уж е не являются пропорциональными:
R a p ( t ) = С а Р -		+ >	( +	(4.6.45)

Тензор функций релаксаций, согласно (4.2.73) и (4.6.45), можно предста

вить в виде	4R(£) = 4С -	4К °<+),	(4.6.46)
	4R(£) = 4С -	4К °<+),	(4.6.46)
где	т	П
	т	П
4К°	Е <03.Q, (££) З.у	+ Е К °™Т<	(4.6.47)
	а,/3=1	7=771+1

Подставляя (4.6.46) в (4.6.3а), получаем, что определяющие соотношения

содержат только один функционал ф\
<т= (с -тк°) • • в.	(4.6.48)

Задачу (4.6.12) теории вязкоупругости в этом случае записываем следую

щим образом:
' p ( d 2 u / d t 2 ) =			V	• •	((4С	-	+ К °) • • V	eg) и) ,
< n - ( 4 C	- +	K	0) - -		V c x ) u L		= t ne,	u L = и е,	(4.6.49)
Д = 0:	и =	UQ,		d	u / d t =	VQ.

Задача в изображениях (4.6.37) содержит также только одну константу ср*:

р р 2 u* =	V	• ((4С	- (/Е4К°) • • V Е и*) ,
п • (4С -	+	4к ° )	(4.6.50)
			• • V СХ) и\|Ест = tne, u\|Eu = u.

442	Глава 4. Вязкоупругие среды
П ример 4 .6 .1 . Для изотропной		среды	тензоры 4С и 4К ° имеют следующий
вид (см. (2.6.28)):
4С = -FTE 0 Е + 2 G ( A	— (1 /3 )Е	0 Е ),	4К ° = 2 G (A - (1 /3 )Е 0 Е ). (4.6.51)
Вместо функции p ( t ) часто вводят функцию cu (t):

“ ( t ) = S	( i _ v w ) -		(4-б-б2)
Тогда определяющие соотношения (4.6.48) содержат один			функционал и и
одну константу К :
ст = К { 1 - LJ)£E +	3K LJS,	е = 1\(е).	(4.6.53)
Эти соотношения соответствуют п р о с т е й ш е й		м о д е л и изотропной вязкоупру
гой среды с нерелаксирующим объемом (см.		(4.2.79)).

Таким образом, задачу (4.6.49) для изотропной среды можно записать в

следующем виде:

	V u +			® V •u			2р	д2и
	V u +			® V •u		з К ш		a t 2 ’
		duo				з К ш		a t 2 ’		(4.6.54)
							1 - И з			(4.6.54)
	U k = Ue,						1 - И з		n ® V - u ) SCT =	3^ .
	U k = Ue,			( n - V ® U + —					n ® V - u ) SCT =	3^ .
Поэтому и задача (4.6.50) содержит одну константу ш*\
									оп
	а* = К{\ -ш)£В + ЗКш£,								= оК	(4.6.55)
	*	2 + из*	V	0 V	•и =	2рр2
V u * +		„ „	V	0 V	•и =	Щ	, u*,
						3Кш*				(4.6.56)
							1 - и *			(4.6.56)
и	Ем	= u*,	(п •V		0 и* +		1 - и *		п 0 V •u*W =	г. □
	Ем	“е’			"	1	За;*			3Ксо*

Решение задачи (4.6.50) и, в частности, (4.6.56) зависит линейно от

входных данных задачи t*e и и* и может быть представлено в виде

	и* = / 1Щ ) Ц е + / 2 Щ	К ,	(4.6.	57)
где f a i r * ) (а =	1, 2 ) — некоторые величины,	вообще	говоря, являющиеся
интегральными	операторами по координатам х	от t* e и и* и функциями		от

р * (для изотропных сред вместо р * часто используют и * ) . Вид этих функций

f a i r * ) определяют после решения задачи	теории упругости в изображениях,
он может оказаться достаточно сложным.

Согласно м е т о д у а п п р о к с и м а ц и й А Л . И л ь ю ш и н а , функции f a i r * ) ап_

проксимируют более простыми функциями X a ir * ) > Для которых легко могут быть найдены оригиналы. Обычно выбирают аппроксимации набором, состо ящим из константы, линейной, обратной и дробно-линейной функций:

	§ 4.6. Модели вязкоупругих сред с малыми деформациями					443
				N
	fa(< P * )	= fa(< P * )	=	5 3	А ^ Х у ( < Р * ) ’	(4.6.58)
где				7 —1
где
	xi7*) = i.	Х2 Ц*) =			хзЦ) = Щ,
	X i(4 > * ) =	т—	-7 -	7	= 4, . . . , N .	(4.6.59)
		1 + Р7- ЪЧ>
Здесь	— константы, которые находят из условия наилучшей аппроксима

ции функций /^((р*) выражением вида (4.6.58); /37 — заданные константы.

Наилучшая аппроксимация может быть проведена м е т о д о м				н а и м е н ь ш и х
к в а д р а т о в .	Для этого составляем функционал
	1 ( А а у ) =	[/« (? * )	- / « ( Р ) ] Р Р ,	(4.6.60)
где 0 < Lpf <	р " < 1, и из условия 5 / = 0		получаем систему линейных уравне

ний для А а 1 \

д 1

7=0

М а7 - 0	о = а//ада7 = 2I[/а(^) - /а(¥>)]х7(¥>*)V-
. .
	ч>'

(4.6.61) Тогда решение (4.6.57) задачи (4.6.50) в оригиналах запишем следующим

образом:

и = 5 3	+ ^ 27X7 Ue.	(4.6.62)
7=1

где X i — линейные функционалы с ядрами Хт(^):

х Л пе — X7 (t - r )d tne(r), 7 = 1, . . . , i V .

(4.6.63)

Для 7 = 1 ,2 можно легко определить эти ядра:

XIЦ - Т ) = Щ	- Ц .	Х2 Ц	- т )	= ( р Ц - т ) .	(4.6.64)
Ядро х з Ц — т) оператора ф	1, обратного		к ф,	т. е.
	Ф ХЗ^ пе	= trie,			(4.6.65)

находим из интегрального уравнения (4.2.100), записанного для одномерного случая:

Ц 0 )х зЦ ) - Х з(0 М * ) = <?'(* ~ т)Хз(т) rfr> Хз(0) = 1/Ц0).

(4.6.66)

444		Глава 4. Вязкоупругие среды
Операторы х 7	являются обратными			к (1 + /?4_ 7(£>):
		(1 + /?4_ 7 (£>)x7 t ne = t ne,					(4.6.67)
соответствующее интегральное уравнение для функций						( t) имеет вид
					t
Д _ 7 <Д0)х7 (г) - Х7 (0 М С			= X j ( t ) + A - 7		<p'(t - T) x U T) d r ,		(4.6.68)
	X7 (0) = 0	+ A - 7 ^ ( 0 ) )		\	7 = 4,
Если известна функция p ( t )			и константы /?4_ 7 , то из уравнений				(4.6.66) и
(4.6.68) находим	ядра	(7	= 3, .	iV) и тем самым		полностью опреде
ляем решение задачи вязкоупругости в форме					(4.6.62).

Существует также экспериментальный метод, предложенный А .А. Илью шиным, для нахождения ядер x^ yif) (7 ^ 3), основанный на дополнительных экспериментах на ползучесть образцов материала, соединенных с элементами

заданной жесткости [26].

4.6.9. Метод экспоненциальных ядер

Рассмотренные выше методы предполагают, что известно аналитическое решение задачи теории упругости (4.6.26), соответствующей исходной задаче вязкоупругости (4.6.13). Если же такое аналитическое решение не известно,

то можно применить м е т о д э к с п о н е н ц и а л ь н ы х	я д е р для нахождения числен
ного решения задачи линейной вязкоупругости	(4.6.13).

Этот метод основан на том, что спектральные функции релаксации R a p { t )

практически с любой наперед заданной точностью всегда можно аппроксими ровать суммой экспонент в виде (4.2.83):

R a y t ) = ^ + Е B a d e x p ( - v 7 ? ) -

	7=1
Отметим, что если в (4	.2.8) все r ^ j =	одинаковы для разных се и /3, то
получим функцию вида (4	.6.46), в общем случае r ^ j могут быть различны.

Тогда, применяя метод, изложенный в п. 4.2.8, можно определяющие со отношения линейной вязкоупругости интегрального типа (4.6.3а) заменить на

соответствующие соотношения дифференциального типа:

СГ = 4 С -	- e - J	2 w ( 7 ) ’	(4.6.69)
	7=1
и У У а р	VVa/3	S _ 0	(4.6.70)
			(4.6.70)

d t	^	Т Ь )
		1гиЙ

	§ 4.7. Колебания линейно-вязкоупругих сред				445
w<7) =	т		+	п	(4.6.71)
	Е			Е 4«\|w<E-,rv
	а,/3=1	а ^	а = т + 1
Для экспоненциальных		функций	релаксации R a p ( t ) переход		от (4.6.3а)
к (4 .6 .6 9 )-(4 .6 .7 1 ) является		полностью эквивалентным, а для произвольных
ядер R a p { t) —	приближенным, точность			которого определяется	только точ

ностью аппроксимации ядер R a p ( t ) суммой экспонент (как отмечалось выше,

эта точность, как правило, достаточно высокая для реальных вязкоупругих материалов).

С использованием определяющих соотношений (4 .6 .6 9 )-(4 .6 .7 1 ) задача (4.6.13) теории линейной вязкоупругости из интегро-дифференциальной ста новится чисто дифференциальной:

V • (4С • -V <g> u) -				X V	• w b )		=	p ( d 2 u / d t 2 )	при ж е V ,
				7=1
{ d W	^ / d t )	+	( l / r aj9) ( w		g -	(1/2)(V (8 ) u + (V <g> u ) T)) =				0 при ж € V ,
<				• • V (g) u			N
u \|Eu	= u e,	n	• (4C	• • V (g) u		-	£	W ^ ) SCT =	t n e ,	(4.6.72)
							7=1
7 = 0 : u = u 0, d u / d t = v 0 ,								= 0 .

Решение задачи (4.6.72) существенно проще, чем решение интегральных уравнений, особенно это преимущество раскрывается при численном реше нии, поскольку нет необходимости хранить в памяти ЭВМ решение задачи во всех точках области V во все предыдущие моменты времени 0 ^ г ^ t.

Упражнения к § 4.6

Упражнение 1. Применяя метод замены переменных в двойном интеграле, исполь зованный в п. 4.2.9, доказать коммутативность операции умножения (4.6.33) двух функционалов разностного типа.

Упражнение 2. Доказать свойства в и г преобразований Лапласа — Карсона из п. 4.6.6.

§ 4 . 7 . К о л е б а н и я л и н е й н о - в я з к о у п р у г и х ср е д

4.7.1. Свободные колебания

Важный класс задач в теории линейной вязкоупругости представляют

задачи о	свободных и	вынужденных	колебаниях,	которые		по постанов
ке отличаются от соответствующих задач линейной				теории	упругости (см.
пп. 2 . 1 1 .6 - 2 . 1 1 .8 ) только		заменой определяющих соотношений				упругости	на
соответствующие интегральные соотношения (4.6.3а).
Задача	о с в о б о д н ы х	к о л е б а н и я х	в я з к о у п р у г и х	с р е д	по	аналогии	с
(2.11.70)	имеет следующий вид:

446					Глава 4. Вязкоупругие среды
{ pu	= V	• сг,	а	=	4R • • е , е = ( 1 / 2 ) ( V ® и + V ®	и т),
п - о - \| Ест= 0 ,				u \| S u = 0 ,		(4.7.1)
t =	0 :	и =	и0,	й	= v 0,

где функции начальных данных UQ и VQ полагают дважды непрерывно дифференцируемыми, удовлетворяющими условиям согласования:

п • 4R • -V ®	= 0, ^ \| S u = 0 , ф = { u 0, v 0}.	(4.7.2)
Как и в случае линейной упругости, решение задачи (4.7.1)		будем искать

в виде	суммы гармонических волн (2.11.72), но для записи этого решения
удобно	применить м е т о д ф у н к ц и й к о м п л е к с н о г о п е р е м е н н о г о :
	оо
	u (x , t) = Re ( J ^ An e 1U}ntu{n) ( х ) ) .	(4.7.3)

71= \

Здесь А*, иоп — неопределенные, вообще говоря, комплексные константы; u*n^(x) — искомое комплексное значение функции действительного аргумен та:

А п = A nf + iA n , и п = J n +	icj", u*n) =	+ i u ^ .	(4.7.4)
Если в (4.7.3) положить CJ" = 0,	= 0, то после отделения действи
тельной части ряда в (4.7.3) получим	выражение,	в точности	совпадающее с
(2.11.72).

Операции с комплексными представлениями вида (4.7.3) более компакт ные по сравнению с тригонометрическими представлениями вида (2.11.72), поэтому им обычно отдают предпочтение, при этом операцию Re(-) можно в промежуточных выкладках опускать, возвращаясь к ней только для оконча

тельных формул, что и будем делать далее.

Функции u*n^ определены с точностью до скалярного множителя, для

устранения этой неопределенности их можно нормировать:
			\|u(n)(x ) \|2 d V = 1,	(4.7.5)
где		V
где
lU(n)l =	U(n) • U(n) + U(n) • U(n) = U(n) • U(n)			(4-7.6)
— квадрат модуля комплексно-значного вектора;				— iu"n^ —
комплексно-сопряженный вектор.
Производные от (4.7.3) вычисляем обычным дифференцированием:
			оо
u	=	v =	^ i ш п А ^ и * п ) ( х ) е Ш п*,	(4.7.7)
			71=1	(4.7.8)
			ОО	(4.7.8)
	ii	=	- ^ 2 ш п А > ( п ) еШ п1’

71=1

448		Глава 4. Вязкоупругие среды
гп			п
4R * K ) = Y ,	^	CLfyCLR	Е	C W 4r Q,	(4.7.15)
z—'	^	CLfyCLR	z—'
a,/3=1		P	CK=m+l
который рассматривают как предельное значение тензора 4R (ujn , t )					в форму

лах (4.7.11), (4.7.12). Тогда выражение (4.7.11) для тензора напряжений тоже принимает вид гармонической функции:

оо

=		(4.7.16)
	п= 1
(операция Re здесь, как и ранее, определена), где
а *п)	= 4К Ц п ) • • £п)	(4.7.17)
— определяющее соотношение,	связывающее к о м п л е к с н ы е	а м п л и т у д ы тен

зоров напряжений и деформации. Это соотношение является аналогом исход ных определяющих соотношений линейной вязкоупругости (4.6.3).

Подставляя выражения (4.7.3), (4.7.8) и (4.7.11) в (4.7.1), а после прирав

нивая амплитуды колебаний при каждой функции e luJnt, получаем з а д а ч у н а

с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я :

'^ n U (n) + V • <7*п) = О,

< <Уп) = 4 к * Ы • • £ ( „ ) ’

(4.7.18)

e ^ = ( 1/ 2 ) ( V ® u ^) + V ® u - )

для вычисления функций u*n^.

Как и аналогичная задача (2.11.77) в теории линейной упругости, задача


(4.7.18) имеет	тождественно		нулевое	решение	u*n^ = 0, но при		некоторых
значениях чисел ооп		(вообще	говоря,	комплексных) может		иметь	отличные
от тождественного		нуля решения. Такие ненулевые и п				и u*n^ называют
с о б с т в е н н ы м и	ч а с т о т а м и		и с о б с т в е н н ы м и		ф у н к ц и я м и	задачи	(4.7.18),

которые в отличие от собственных значений и собственных функций задачи (2.11.77) линейной теории упругости, вообще говоря, являются комплексными (см. (4.7.4)).

Подставляя (4.7.3) и (4.7.7) в начальные условия задачи (4.7.1), после

вычисления действительной части, получаем следующие соотношения:

E ( ^ U (n)	Л ги (п))	U0 ’
77=1
ОО
- ^ 2 ( ш п ( А п и {п) ~ ^ n u (n)) +	ш п ( А 'п и " п ^ +	М п U(n))) = v 0.	(4.7.19)
71=1

Умножая первое соотношение на и ^ , а второе — на и "т у находим сис-

§ 4.7. Колебания линейно-вязкоупругих сред

тему бесконечных линейных уравнений для вычисления А'п и А

оо оо

(п '	А'	п "	А" \ = J	S ^ ( h f	Л' A- h" Л" ) = г"
\Ujnm	n	' Ujnm	mJ	т ’ / j V nm	n ' nm mJ	т ’
п=Е1				п= 1

449

(4.7.20)

где

	U(n) * U(m)			апт	u (n) ' UM
	У				V
^пт	^п	У	u ('n) • u (m)		u (n) eU M
		У			У
^пт	^п		U(n) • U(m)		u (n) ' UM
		У			У
		u0	'u (m )^>	cm =	v0 • u('m) dV.	(4.7.21)
	У				У

Полученное решение (4.7.3) задачи о свободных колебаниях вязкоупругих тел принципиально отличается от соответствующего решения для линейно упругих сред (см. п. 2.11.6) вследствие того, что собственные функции u*n^ и собственные частоты и п могут быть комплексными.

Если подставить представление (4.7.4) в (4.7.3) и выделить действитель ную часть, то получим вязкоупругое решение в следующем виде:

оо
u (x >t) = 1^(й(п)(х) cos J n t -		u"n)(x) sinсо'Л)е~<г	(4.7.22)
П=1
где
U ( n ) = AL u ( n )	u ( n )	—A^u.'^ + A ^n (n)*	(4.7.23)

Поскольку имеется комплексная составляющая частоты CJ", решение (4.7.22) является затухающим. Для упругого же решения CJ" = 0 и свободные колебания не затухают во времени.

4 .7 .2 . К ом плексны е модули упругости и комплексны е подат ливост и

Спектральные модули упругости R ^{ujn), являющиеся комплексными ве личинами, можно разделить на действительную и мнимую части:

^а/з(ип) -	Ra(3 +	(4.7.24)
где	оо
	оо
-^ск/з(^п’ k'Vi) С'аб	К а(з(х ) ^ пХ cosи'пх dx,
	о

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6345 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.56 Mб3Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
12.11.20233.31 Mб2Механика сплошной среды. Законы сохранения.pdf
#
12.11.20233.28 Mб2Механика сплошной среды. Кинематика.pdf
#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб25Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб4Механика сплошной среды..pdf
#
12.11.202318.31 Mб2Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов.pdf
#
12.11.20239.02 Mб5Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)..pdf
#
12.11.20233.44 Mб2Механика твердого деформируемого тела..pdf
#
12.11.202311.85 Mб9Механика трещин..pdf