книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

556

Глава 5. Пластические среды

Градиент деформации F в этом случае принимает вид

F = дхг- е_?;

з

ё2

(5.7.3)

= Y , k

дХ3

а=\

кх = k x{ X \ t )

= д хх/ д Х х,

ка = дха/ д Х а = 1,

a = 2,3,

(п)

(п)

.

(5.7.4)

С =

С п ё\,

(п)

- 1),

(п)

(п)

Си =

С 22 =

Сзз = О,

а изменение плотности определяется функцией к\\

J = р/р = det F _1 = 1/к\.

(5.7.5)

(п)

3

(п)

(5-7.9)

Т

= Е

Т '

где

а=\

(п)

(п)

(п)

(5.7.10)

T n = J { h + 2 h ) C u - 2 J h C pn ,

§ 5.7. Плоские волны в пластических средах

557

(п)

(п)

(п)

(п)

(5.7.11)

г 22=

Г 33 =

J ( h C u + h C vn )

зависят только от X х и t.

Согласно (5.7.9) и (5.7.3), тензоры Т

и Р

также имеют диагональный вид:

3

3

(5.7.12)

Т

— ^ ^

Р

=

Раа^а

а=\

ттт(п)

а=\

_

(п)

(п)

ип—Ш Т"

°22 =

^33 =

т22 =

Т 33,

(Т\\= К1

i l l ,

-Рц =

СГц,

^ 2 2 =

Р з З =

т <722-

Поскольку

V

Р

\ ^ <)Р,аа —

ЭР\ 1_

2 ^

дХа -а = -гт -еь

а=\

д Х 1

) v

т _

dvl _2

=

д Х 1

F -1 т • V

1

dvl _2

(5.7.13)

, (п)

,

о

4Х - -

F -

т • V 1X)V = к Г т -' 91,1 “2

(п)

дХ

е 1

(здесь использована формула

для тензоров

приведенная

в т. 2, упр. 16

X,

(n)

дай

({h + 2l2) k f n- ul- l)

(III — п +

1)сгц ч dv

- 2 U k гг—III—1 дС\

(5.7.16)

dt

k\

'd X 1

2^1

dt

Для

вычисления d C pn /dt, как

и в других

рассмотренных

выше одно­

мерных задачах, используем уравнение поверхности пластичности /

= 0 (см.

(5.1.96)), которое с учетом результатов упр.

1 к § 5.1 в данной задаче имеет

вид

1 (п)

(п)

(п

(5.7.17)

2( Т и

- Т 22- Н ( С рп

Заs

Подставляя в (5.7.17) выражение (5.7.11) для

(п)

(п)

Т 22, (5.7.7) для С р2, (5.7.4)

(п)

для С и и (5.6.54) для Н, преобразуем его:

(п)

(п)

~(п)

рп \

г-

(5.7.18)

I Т п

т 22 - н

с

= л/З о8,

где

(п)

_ w

h ty

IH- i )

(5.7.19)

=

Т 22 =

ki

11

(гс-Ш)^ '

*§я+&-

и Н = Я0, находим Н = (3/2)До + (^2АО»

тогда уравнение (5.7.18) имеет

аналитическое решение относительно

н

С рп \

(п)р

(п)

Н

л/З сг ~

(п)

_

т 11 —Т 22 ^

(5.7.20)

С

и

Н

Я

-h—+

C7^j(l —/i_|_),

где

и Я_ — функции Хевисайда:

h+ = h+ + h-, h- = h+ — h-,

h

1,

У1Я ^

л/З <Ts,

1,

У щ <

~VS crs ,

(5.7.21)

0,

Уш < VS crs,

о,

Уш >

—V s (js,

(n)

~

~ ( nL

% = T n - T 22- H C pn -

(n)

^

t* схода

C p* — значение пластической деформации, достигнутое к моменту

§ 5.7. Плоские волны в пластических средах

559

(п)

и Т 22, а затем

Подставляя в (5.7.20) выражения (5.7.12) и (5.7.19) для 7 ц

дифференцируя (5.7.20) по t на отрезках дифференцируемости, имеем

d C pu /dt = b0h+*^X- +

((£>1<тц -

b2)h+ - V3 asb3h_ ) ^ - ,

(5.7.22)

dt

где обозначены функции от k\\

и _

97 III-n+1

2к

Ill-n

2^2

AK\______

0

ЗЩк\O-tloK 1 -+h 2l2Zt2 ’

b\ = 3H0h + 2/2 (III - n +

3H0h + 2/2'

91,

3F0fci(fcrin -

1) ^

2lx

щ - ш

(5.7.23)

b2 = {ЗЩк\ + 2l2)ki

{ЗЩк\ + 2fe)(n -

III)

Ah

^3 = (ЗЩк\ + 2^)2'

получим уравнение

дап

(

,dvl

(5.7.24)

где введены следующие обозначения функций от к\\

_ 1

4/2^+

С° =

+ 3Щк{+ 212 ’

С1 =

(5.7.25)

Со

Со

2к

а- = ^ '

+111 - п + щ

В

:))•

я С 11~ п + ЗЯ0/С1 + 2/2 '

сред выполняется условие

сгцс2/с1 < 1,

(5.7.26)

учетом (5.7.3) и (5.7.12) имеют вид

X = 0:

Т = - p e{t);

(5.7.29а)

X = h°{:

4

II о

(5.7.296)

а также начальные условия

t = 0: с = 0, к =

1,

Г = 0, 0 < X < h ° v

(5.7.30)