§ 5.7. Плоские волны в пластических средах |
573 |
ние экспериментальных и расчетных данных по обеим моделям А £ и достаточно хорошее.
Часто ударную адиабату представляют еще в одной форме — в виде
о
зависимости скорости D от скорости удара v. Для того чтобы получить такую
о
функцию D(v), следует воспользоваться формулами (5.7.56а) и (5.7.57) и подставить в них найденную выше зависимость р = p{k) = p(k(v)) = p(v).
В результате получим искомую форму ударной адиабаты:
о
Расчетные ударные адиабаты D{v) для песчаных грунтов, вычисленные
о
по формуле (5.7.77), а также экспериментальные ударные адиабаты D^3\v ) приведены на рис. 5.7.12. Совпадение расчетных и экспериментальных данных достаточно хорошее.
§ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями |
575 |
Уравнения линейной теории упругости при малых деформациях |
(см. |
и. 2.6.7) имеют только единственное решение, поэтому их нельзя использо вать для решения задач устойчивости.
Применение уравнений нелинейной упругости (физическая нелинейность) при малых деформациях (см. и. 2.2.5) также невозможно для моделирования неустойчивости конструкций, поскольку при выполнении условия (2.4.73) их решение является единственным.
Таким образом, для нахождения уравнений теории устойчивости даже линейно-упругих конструкций необходимо использовать общие уравнения теории упругости с конечными деформациями, которые обладают геометри ческой нелинейностью.
Отметим, что следует различать понятия устойчивости среды и устойчи вости тела. Условие устойчивости среды накладывает определенные ограни чения на определяющие соотношения для того, чтобы обеспечить некоторые требования, например, требование единственности решения задачи. К это му типу уравнений относится рассмотренное в пи. 2.4.8 и 2.6.10 условие устойчивости Адамара. Условия же устойчивости тела (в теории оболочек их называют условиями устойчивости конструкций, оболочек, пластин, балок и т. и.) накладывают ограничения на внешние нагрузки, действующие на рассматриваемое тело, которые также обеспечивают единственность решения задач механики деформируемых тел.
6 .1 .2 . Варьированная конфигурация
Рассмотрим общий случай конечных деформаций твердых сред (см. гл. 3). Наряду с актуальной конфигурацией JC твердой среды в момент времени t введем еще одну актуальную конфигурацию JC, называемую варьированной, которая отличается от истинной конфигурации /С на «малое перемещение». Конфигурация /С используется для поиска возможного неединственного реше ния, существование которого и означает возникновение неустойчивости тела.
Радиус-вектор х материальной точки Л4 в /С связан с радиус-вектором х той же точки в JC соотношением
|
X = X + 5х, |
|
|
(6.1.1) |
где дх — вариация |
радиус-вектора, |
которую |
находят |
следующим |
обра |
зом. Пусть /(£) — гладкая скалярная |
функция, определенная на отрезке |
0 ^ ^ <^ш, тогда в |
малой окрестности точки |
= 0 эту |
функцию |
можно |
представить линейной |
зависимостью |
|
|
|
|
576 |
Глава 6. Теория устойчивости |
Здесь
тdf_(0) = lim / ( 0 - / ( 0 ) £-0 £
Используя это представление, введем радиус-вектор х как функцию не только от лагранжевых координат Х г и времени t, но и от параметра £, и будем считать эту функцию линейной:
х = х ( Х \ t, 0 |
= х ( Х \ t, 0) + |
(6.1.2) |
где |
И |
(6.1.3) |
x ( X \ t , 0 ) = x ( X \ t ) , w = —x(X \i,£ )|g =0- |
Сравнивая (6.1.1) и (6.1.2), найдем вариацию радиус-вектора |
6 х как |
линейную функцию параметра |
|
|
|
дх = £w. |
(6.1.4) |
Полагаем, что положение тела в актуальной конфигурации JCнам известно (т. е. известен радиус-вектор х). Проблема теории устойчивости сводится к нахождению варьированной конфигурации /С, т. е. вектора w (или 6х).
6 .1 .3 . К инемат ика варьированной конфигурации
Продифференцировав |
(6.1.2) |
по Х \ |
найдем локальные векторы базиса в |
конфигурации JC: |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
дх |
дх |
. dw |
. dw |
/T^ |
С) w). |
|
Л гч |
Yi = ---- г = ---- г + |
£---- г = |
гi + £ |
--- г = |
• (Е + £V |
(6.1.5) |
|
дХ% дХг |
4 дХг |
4дХ% |
К 4 |
’ |
К |
’ |
Кроме того, для |
в точке |
= 0 можно использовать линейное представ |
ление вида (6.1.2): |
|
^ + ^ ri?, |
|
|
|
(6.1.6) |
|
|
|
r« = f |
r‘U - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая (6.1.5) и (6.1.6), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Гi • V ® W. |
|
|
(6.1.7) |
Выражения для векторов взаимного базиса г1имеют вид |
|
|
|
|
|
г* = г* - £г* • V ® wT. |
|
(6.1.8) |
Истинность этого выражения можно проверить, вычислив скалярное произ ведение
Гi - г3 = Yi • Y3+ ^Yi •V^)WTJ - ^Yi • V С) w • Y3+
+ £2гц • V C) w • V С) w • rJ = гц • rJ = Sj. (6.1.9)
Здесь мы пренебрегли слагаемым при <^2.
§ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями |
577 |
Записывая представление вида (6.1.2) для векторов Р в окрестности точки
с = 0: |
И |
(6 . 1 .Ю) |
r W |
+ ^4 , 4 = ^ г4 |€ = 0 |
и сравнивая его с (6 .1.8 ), получаем выражение для г^: |
|
|
г| = -г* • V ® w T. |
(6.1.11) |
Таким образом, формулы (6.1.7) и (6.1.11) позволяют выразить вариации локальных векторов базиса dri и дгг через градиент V (g) w:
?г = Гг + 5гь f* = г* + Sr1, 5^ = |
<5гг = £г^. |
(6.1.12) |
Все дальнейшие формулы для вариаций тензоров деформации и напря жений имеют аналогичный вид, поэтому для вычисления этих вариаций достаточно ограничиться нахождением производных по £. Эти производные называют конвективными производными, поскольку они определяют изме нение величин в точке Л4 при переходе из конфигурации /С в /С.
6.1.4. Конвективная производная от градиента деформации
Градиент деформации F в конфигурации JCнаходим стандартным образом:
|
|
|
|
|
|
|
F = г; ® гг. Тогда с учетом (6.1.6) |
и |
(6.1.7) получаем |
для |
него |
линейное |
представление в окрестности точки |
= |
0 : |
|
|
|
F = ?i ® г* = Ti ® г* + с у ® w T• Ti ® г* = F + с у ® w T• F, |
(6.1.13) |
F 4 = ^ F |e=0 = V ® w T F = V(g) w T. |
|
(6.1.14) |
Обратный градиент деформации F -1 в конфигурации К, |
определяем по |
формулам (6 .1.10) и (6 .1.11) |
|
|
|
|
|
F -1 = Г г 0 Г * = Г г ® Г* - |
г * 0 г * • V <g>w T= F -1 - F _1 |
• V О w T, |
(6.1.15) |
F ” 1 = |
^ F - 4 S=0 = - F ” 1 • V(g)wT. |
|
|
(6.1.16) |
Производную по ^ от гладких скалярных функций <l>i(F) и <1>2 (F) |
вычис |
ляем по формулам |
|
Ф, (F)s = |Ф, (F)|s, 0 = |
(6.1.17) |
(Ф)Ф2 ) | = — (Ф1Ф2 ) I^ = 0 = Ф ^ Ф г ^ о + Ф1 |^=0 Ф2^ = Ф^Фг + Ф1Ф2£- (6.1.18)
578 Глава 6. Теория устойчивости
В частности, выбирая Ф\ |
с учетом уравнения неразрывности (т. 2 , |
(2 .1.8 )) получаем |
|
|
|
д , |
Г “ Т |
<9detF |
(FT- V ® w ) = |
— ( у |
g / g )f-o • • Ft = |
|
d F S= 0
= (det F)^=0F _1 T|^=0 • F T• -V <X>w = \ fg p j V • w, (6.1.19) поскольку F |e_ 0 = F.
6.1.5. Конвективная производная от тензоров деформации Коши — Грина и Альманзи
Формулы (6.1.17) и (6.1.18) позволяют определить конвективную произ водную непосредственно по формальным правилам дифференцирования тен зоров по фиктивному времени, в качестве которого выступает параметр £, не используя при этом варьированную конфигурацию /С.
Таким способом с помощью формул (6.1.14) и (6.1.16) находим конвек тивные производные от тензоров деформации Коши — Грина и Альманзи:
= с е = —^ ( F - 1 • F - 1 т —E )s = - i ( F ^ ‘ • F - 1 т + F - 1 • F ^ 1 т) = |
|
= ^(F -1 • V(g) w T- F - ^ + F -1 • V(g>w-F“ lT) = |
|
= F -1 • e(w) • F _1 T, |
(6.1.20) |
Cs = Ce = i ( F T- F - E ) s = i ( F y F + F T- Fe) = |
|
= ^ ( F T-V(g>w-F + F T-V<g>wT-F) = F T• e(w) • F, |
(6.1.21) |
где e(w) — тензор линейных деформаций, |
|
e(w) = ^(V ® w + V (8 ) w T). |
(6.1.22) |
Аналогично вычисляем |
|
J e = ^V | = ^(F? • F T+ F • F £T) = |
|
= ^(Vcx)wT- F - F T+ F - F T- V O w ) = e(w), |
(6.1.23) |
A s = - i v - 2 = - ^ ( F “ lT • F " 1 + F " lT • F - 1) =
= ^(V(g)w -F“ lT - F ” 1 + F _1 T• F _1 • Vex) WT) = V 2 -e(w) • V 2. (6.1.24)
§ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями |
579 |
Здесь введен еще один линейный тензор деформации
e(w) = -(V (8 ) w T• V 2 + V 2 • V ® w). |
(6.1.25) |
6.1.6.Конвективная производная от собственных векторов
исобственных значений тензоров искажений
Вычислим конвективные производные Aaf , ра раf от собственных значе ний и собственных векторов тензора искажений U, а также производные и О^. Для этого воспользуемся свойствами (т. 2, (1.3.5) и (1.3.6)) собственных значений Аа и собственных векторов ра :
u = E |
л ° |
° |
тT2 |
л 2 ° |
° |
(6.1.26) |
A aPa^Pa- |
U = 2 ^ A«P« ® Pa> |
a=\ |
|
a=\ |
|
|
|
|
0 |
0 |
г |
|
|
(6.1.27) |
|
Рек *P/3 |
—°a/3> |
|
|
|
0 |
0 |
0 0 |
|
|
(6.1.28) |
|
U |
• Pa = AaPa> |
|
|
|
U 2 = F T• F. |
|
|
(6.1.29) |
Дифференцируя по |
формулу (6.1.29), с учетом (6.1.21) получаем |
|
U | = 2F T-e(w) F. |
|
|
(6.1.30) |
Продифференцировав формулу (6.1.27) по |
и приняв в ней /3 = а, нахо- |
о |
о |
|
|
|
|
|
дим, что векторы ра и ра^ ортогональны: |
|
|
|
о о
Ра ' Ра? = 0.
Дифференцируя по £ формулу (6.1.28), имеем
• Ра + U 2 • ра? = А2 ?ра + А2 ра?.
о
Умножая это соотношение скалярно на ра , получаем
о |
о о |
о |
о |
о |
л 2 ° |
° |
л 2 ° |
° |
Ра • и € • ра + |
ра • и |
|
• Ра| = |
Аа?Ра • ра + АаРа • Ра€. |
(6.1.31)
(6.1.32)
(6.1.33)
С учетом формул (6.1.28) и (6.1.31) вторые слагаемые в левой и правой частях этого равенства обращаются в нуль, поэтому
о |
о |
о |
о |
(6.1.34) |
Ла? = Ра *и Г |
Ра- |
Отсюда с учетом (6.1.18) и (6.1.30) находим
А«е = Y~Pa ' F T• e(w) • F • pa .
580 Глава 6. Теория устойчивости
Используя полярное разложение F = О • U и формулу ра = О • pQ (см. (т. 2, (1.3.23))), преобразуем
F *Ра = О • U • ра = \ аО • ра = Хара.
Тогда из (6.1.30) и (6.1.34) получаем окончательные формулы для производ ной от собственных значений:
|
Аа£ = |
Аара • e(w) • Ра, |
= |
2 \2ара • е(w) • ра . |
|
|
Умножим соотношение (6.1.32) скалярно на р^: |
|
|
|
О |
о |
о |
о |
о о |
л 9 ° |
° |
л 9 ° |
° |
! |
п |
Р/? • и г |
Ра + Р/? • и |
• Ра? = |
Aa?P/? • pQ+ \ аР/з • ра?, |
а + |
(3. |
С учетом формул (6.1.27) и (6.1.28) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° тт2 |
° |
|
|
|
|
|
|
|
Р/3 • Р < = |
Р /3 ' U r |
Ра |
а ф /3. |
|
|
|
|
|
Л а _ |
Л /3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложив векторы ра^ по базису ра , с учетом (6.1.37) получим
(6.1.35)
(6.1.36)
(6.1.37)
Д |
3 |
Д \Д |
з О |
2 ° |
|
|
_ Y ^ /Д |
л2 _ |
Р^Д |
(6.1.38) |
Ра£ |
/ ДРа£ ’ Р/3)Р/3 |
\ 2 |
Р/3’ |
|
/3=1 |
|
/3=1 |
Л^з |
|
|
|
|
|
схф(3 |
|
|
|
или, принимая во внимание соотношение (6.1.30), находим окончательную формулу для производных от собственных векторов:
|
Ра? = 2 ^ A aA/3py 2£(w)2 Pap/?. |
(6.1.39) |
|
/3=1 |
Л а |
_ Л /3 |
|
|
а#/3 |
|
|
|
|
Используя разложение левого тензора искажений V: |
|
|
з |
|
|
(6.1.40) |
|
V 2 = У^А2 ра 0 |
pQ, |
|
а = \ |
|
|
|
|
V 2 • ра = А2 ра , |
(6.1.41) |
|
с учетом формулы (6.1.14) получаем аналог формулы (6.1.36): |
|
|
Р/3 • V | • Ра + Р/3 • V 2 • ра? = А2 р^ • ра?. |
(6.1.42) |
|
Отсюда |
Р/3 ' V? • ра |
|
|
Р/3 • Ра? |
(6.1.43) |
|
X2 |
X2 |
|
|
Л а ~ |
Л (3 |
|
