|
§ 4.7. Колебания линейно-вязкоупругих сред |
461 |
а = 4С • • ее |
4К (tr - т ') |
■• ee(T)ae(0{t)) dr = |
|
N |
|
t |
|
|
|
|
J 2 ( 4C e^kt |
К (a#(£ — r))eluJkTao dr) • -E\ + 4R(t' —r ) • • dso = |
k = l |
о |
о |
|
|
N |
|
|
|
E(4c |
^ ( а ^ е - ^ а * <te) • • (e ^ e jl) + &. |
(4.7.77) |
|
k = 1 |
|
|
Рассматривая стационарный режим колебаний, устремляем верхний пре дел в интегралах к бесконечности, тогда для ст действительно получаем гармоническое выражение (4.7.74), в котором
<T*k = 4B.*{uk)--e*k, <т= 4& - - ё в. |
(4.7.78) |
Здесь приведенные частоты колебаний |
|
|
Uk = wk/ae(0(t)) |
(4.7.79) |
И |
|
|
‘R*(wfc) = 4С - |
4К{х)е~1ШкХ dx. |
(4.7.80) |
о |
|
|
Таким образом, в модели термореологически простой |
среды амплитуды |
и средние значения напряжений и деформации связаны такими же «квазиупругими» соотношениями (4.7.78), как и для изотермических процессов, но тензоры комплексных модулей упругости 4R*(cDfc) зависят от приведенных ча стот ир (4.7.79), включающих в себя зависимость от температуры 0, медленно изменяющейся за цикл колебаний.
Данный способ учета температуры является весьма удобным — в модели вязкоупругой среды с экспоненциальными ядрами спектральные модули упру гости Rf^(u p ), соответствующие действительной и мнимой частям тензора:
4Я Щ ) = 4В /Щ ) + 14К Щ ), |
(4.7.81) |
вычисляют по тем же формулам (4.7.26), в которых следует только осуще ствить замену и'п —►йр, CJ" —►0:
|
|
N |
Вос(3( т ) |
|
|
ав =СаР~ £ |
|
|
\2 ’ |
|
|
|
i t |
1+(шкТ$/ав) |
|
|
/Wfc\ _ |
UJk |
D (7) (7) |
|
|
п о(3 то(3 |
|
R |
а@\ао J |
CLQ S T+ (^ктрр/ае) |
(4.7.82) |
|
|
7—1 |
|
|
§ 4.7. Колебания линейно-вязкоупругих сред |
463 |
Рассмотрим уравнение теплопроводности в системе (4.6.9). Осредняя это уравнение по циклу колебаний, с учетом (4.7.73) получаем
Р ^ = V ■ {\-V e) + °pqm + w \ |
(4.7.85) |
Членом термоупругой связанности 6(d/dt)oL • • сг при осреднении за цикл колебаний можно пренебречь в силу гармонического закона изменения тен зора сг и медленного изменения по t амплитуд сг£ и в.
Для осредненной за цикл колебаний функции рассеивания гс* воспользу емся формулой (4.6.8а):
гс* = (w*) = (сг • • ё) — р(фi) —(а, • • сгв), |
(4.7.86) |
где осреднение по циклу колебаний
t+27r/uu
<л-£ |
f i t ) dt. |
(4.7.87) |
|
Подставляя в выражение (4.6.8) для ф\ действительную часть гармониче ской функции EQ (4.7.74), находим
t t
1N
Е(e^ sinCJfcTi + COS UJkT\) • • (4R(2t — T\ — T2)~
k,m= 1 |
0 0 |
|
- 4R (OO)) • • (efm siniomr2 + e^coscjmr2) dr\ dr2 + |
• -4R(oc) • • ee(t). |
|
|
(4.7.88) |
Осуществляя в (4.7.88) замену переменных: t — т\ = х\, t — т2 = х2 и используя тригонометрические формулы преобразования косинуса и синуса разности аргументов, после приведения подобных получаем следующую фор мулу (см. упр. 6 к § 4.7):
1 |
N |
cos copt sin cumt-\- |
w i = 5 |
Е (sin copt sin оот Ьф88 фев |
k,m= 1
+ фsc sin Ukt cos ujmt + фес cos oopt cos (j0mt), (4.7.89)
где
ф** = ффс + фи + ф% + фи + фИ, Фс* = -Ф?с + Ф%
фзс = - ф% -
Фсс = Ф?Й- Фсэ-ФГс + Фсс+Фж
и |
|
Ф3сз = £к • • 4к-сЩь |
t) ■■e'm, |
фсз |
ф33 - |
фсз |
*rss |
т C S |
Г О О ’ |
(4.7.90)
ФФо = £к ■■4Щоо) • • s', |
(4.7.91) |
464 |
Глава 4. Вязкоупругие среды |
|
t |
t |
r^cs(^/c? |
t ) — UJyUJjYi |
4R (XI + X2 ) coscjkx\ sincjmX2 dx\ dx2 . |
0 0 Остальные функции ф88, ф88 и другие определяем аналогично.
Функции 4R Cs(cjk,cvm,t) зависят от t таким же образом, как и функции 4R /,//(ujn,t) (4.7.12): при t —►+оо они имеют конечный предел, поэтому, рас сматривая стационарный режим колебаний, в выражениях (4.7.91) переходим к пределу, заменяя 4R С8(шк,сотЛ) на 4К сз(шк,сот,0).
Тогда все функции ф^8 являются медленно меняющимися функциями времени t, а выражение (4.7.89) для ф\ представляет собой периодическую функцию времени, поэтому, пренебрегая, согласно допущению 2, производ
ными ф^, получаем |
|
|
(Д ) = |
= 0 |
(4.7.92) |
Z7T |
UJ |
|
в силу периодичности ф\.
Аналогичным образом преобразуем третье слагаемое в (4.7.86), учитывая периодичность по t тензора сг и медленные изменения функций а (#(£)) и в
за период колебаний: |
|
(ос- ■<тв) = а • • (<т)|! = а • • |
(4.7.93) |
Этим слагаемым в составе гс* обычно можно пренебречь, поскольку после подстановки его в уравнение теплопроводности (4.7.85) получаем слагаемое (рс£ — OL • • &)(dO/dt), в котором характерное значение коэффициента рс£ со
ставляет 103 Цг • 103 |
= |
106 Па/К, а характерное значение коэффициента |
м6 |
кг•К |
|
QL • • а не превышает |
10-5 ^ |
• 109 Па = 104 Па/К. |
Подставляя действительные части гармонических выражений (4.7.74) для сг и в в первое слагаемое формулы (4.7.86), преобразуем его следующим образом:
N |
|
(сг ••£) = - ^ 2 Umii&k COS сиkt - cr'l sin сиkt ) - - (efm sin CJmt+ |
k,m= 1 |
|
1 |
N |
+ e^COSLOmt)} = 2 |
■•£'m-<T'm --sm)- (4.7.94) |
|
m=1 |
Здесь учтено, что при интегрировании по периоду ненулевые выражения дают только выражения вида
t+27r/u; |
t+27r/u; |
sin2 ujmt dt = |
cos2 (jjmt dt = TT/ CJ |
§ 4.7. Колебания линейно-вязкоупругих сред |
465 |
при совпадающих индексах т = к.
С учетом (4.7.91)-(4.7.94) из (4.7.86) получаем окончательное выражение
для осредненной по циклу колебаний функции рассеивания: |
|
1 N |
• • 4 )- |
(4-7.95) |
= 2 £ " * ( * * • • 4 - |
к=1
Подставляя в (4.7.95) определяющее соотношение (4.7.78), разделенное на действительную и мнимую части (см. упр. 2 к § 4.7), приходим к эквивалент ному представлению для гс*:
N
w* = ~ y ^ u k (е'к • • 4R" ( ^ ) • • 4 + e l • • 4R" ( ^ ) • • е'£) . |
(4.7.96) |
к=1 |
|
Если же в (4.7.95) подставить обратные определяющие соотношения (4.7.84) , то получим еще одно эквивалентное представление для гс*:
N
Г„. = i |
( * - - 4п" ( £ ) • ■«4 + |
• 4П" ( ^ ) . ■ |
■ (4.7.97) |
|
fc=l |
|
|
Из (4.7.96) и (4.7.97) следует, что диссипация энергии при циклическом нагружении определяется мнимыми частями тензоров комплексных модулей упругости или податливостей.
Объединяя задачу механики (4.7.66) с уравнением теплопроводности (4.7.85) , приходим к следующей постановке связанной динамической задачи термовязкоупругости при установившихся колебаниях:
puku l + V - a l + °prk = 0,
|
|
|
|
|
|
|
|
<71 = 4Щ ш к / а в ) • • е*к , |
е% = |
(1/2)(V <8>u£ + V <8>и Щ |
|
°pce^ |
= V |
■ (\-V e ) + °pqm + w \ |
(4.7.98) |
П ■<7 |
|E(T = |
t ne, |
U |
|Ец = |
U e, |
|
—n • A • V#L |
= qe, |
0\y |
=Qe\ |
|
t = 0: 0 = 0O-
Поскольку уравнение теплопроводности не содержит членов со средними значениями колебаний щ , ёр, то квазистатическая задача вязкоупругости (4.7.67) не включается в общую постановку связанной задачи (4.7.98), она решается отдельно после вычисления поля температуры.
Связанная квазистатическая задача термовязкоупругости при уста новившихся колебаниях имеет следующий вид:
V - < 7 t + °P rk = 0 ,
= 4Щ ш к / а в ) • • е%, е*к = (1/2)(V ® и£ + V ® и П ,
468 |
|
|
Глава 4. Вязкоупругие среды |
|
По этим значениям |
можно восстановить ядро ползучести |
с |
помощью обратного преобразования Фурье: |
|
2 |
Г |
2 |
(4.7.110) |
N n u ( t ) = - |
J |
(Ппп - |
n'nnM ^osutfdu; = - П п п ^ ) sinujtduj. |
7Г |
|
7Г |
|
О
Отметим, что если определять комплексные модули или податливости H'lni по формулам (4.7.36), (4.7.39), используя функции ползучести Пцц(£), полученные в статических испытаниях на ползучесть (см. п. 4.1.1), и срав нивать их со значениями, вычисленными по формулам (4.7.109) для гар монических колебаний, то расхождение может быть очень значительным и достигать даже нескольких порядков величин. Причина этого расхождения в том, что в статических опытах очень сложно точно определить ползучесть на начальном участке нагружения, когда скорость ползучести максимальна, однако именно это значение ползучести дает основной вклад в комплексную податливость П*. В силу этого обстоятельства, при гармоническом нагру жении для вычисления используют обычно метод (4.7.109) или метод затухания амплитуды при свободных колебаниях (см. п. 4.7.4).
Рассмотрим функцию рассеивания гс*. Формула (4.7.95) для продольных
колебаний балки дает для нее следующее выражение: |
|
w* = ^n '(l (cv/aey e2. |
(4.7.111) |
Сравнивая (4.7.111) и (4.7.108), находим, чтофункция рассеивания гс* совпадает сточностью до множителя (си/2тт) сплощадью Se эллипса диа граммы вязкоупругого деформирования балки:
Эту формулу удобно использовать для экспериментального определения гс*. Примем теперь, что брус является достаточно тонким, так что градиентом температуры V0 в нем можно пренебречь, считая поле температуры в в брусе однородным. Тогда, интегрируя уравнение теплопроводности по всей области
Vбруса, с учетом граничных условий получаем
-ад + »'(«>;
Здесь приняты граничные условия теплоизоляции торцов бруса и условие конвективного теплообмена (4.5.12) на боковой поверхности бруса:
|
х'= 0, I: W = 0; |
|
на |
- п - Л - V0 = аТ( в - 9 е), |
(4.7.114) |
