Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

41.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6354 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

§ 5.4. Определяющие соотношения «в скоростях»		531
Sv и SQ являются i^-инвариантными в силу ^-инвариантности	образующих
их тензоров Т е и Vp (см. теорему 5.2.4 из п. 5.2.8). Тогда	при	жестких
движениях соотношения (5.3.41) будут изменяться согласованным		образом:

(п)(п)

соотношения между g ;e и S'e в JC' будут точно такими же, как и соотношения

(п)(п)

между g e и S e в /С. Кроме того, в силу ^-инвариантности тензоров Vp и ftp, согласованным образом преобразуются и соотношения (5.3.47), что свидетельствует о соблюдении принципа материальной индифферентности для изотропных моделей Dn пластических сред.

Таким образом, представленные выше модели пластических сред Ап, Вп, Сп и Dn являются корректными, поскольку они удовлетворяют всем осново полагающим принципам МСС.

§ 5.4. Определяющие соотношения пластических сред «в скоростях»

5 .4 .1 . П редст авление м оделей А ^ пласт ических сред «в скорост ях»

Для решения многих задач теории пластичности, особенно динамиче ских задач, удобно использовать представление определяющих соотношений «в скоростях» (см. т. 2, п. 3.8.12) подобно тому, как это было сделано для упругих сред (см. п. 3.1.3).

Рассмотрим вначале соотношения моделей Ап пластических сред, для наглядности ограничиваясь ассоциированными моделями Ап пластичности (5.1.74).

Продифференцируем по t соотношение (5.1.746) для тензора упругой деформации:

(п)	г				(п)					j(«)	,
се- =я		д щ 1		(s)		д<Р-у j ( s ) \		+	dip	j(«)	,
се- =я		d i{;	]	1/ЗТ	• ( т / рУ + 8Wjg /3			+	<9(9	1yT ^
	7=1 /3=1	d i{;	]
						+		p	d l(s2		(n)
						+				••	(T/p)*. (5.4.1)
							7=1		d T / p

Введя тензоры 4N и C j по формулам, аналогичным (т. 2, (3.8.147)):

4N = £

V 1 7),

7./3=1

(п)	\ ^	As)	(п)
С в =			С
	2 ^	дв Чт>

d A j_ A S )	A S)	(5.4.2)
w p — 2 ^ dwp/ i 3	Щ	(5.4.2)

7=1

7,/3=1

532		Глава 5. Пластические среды
где			(п)		яг(«)
			(п)
дср7	д2(	T(s) _ di<f]{T/p)		4T (S) =
дср7	д2(	T(s) _ di<f]{T/p)		4T (S) =	ul'lT		(5.4.3)
^7/3	di\s)d p s	7 т -	(n)	7	~(п)	’	(5.4.3)
			д т / р		д(Т /р)

и используя соотношения (т. 2,		(3.2.102))		между скоростями энергетических
тензоров деформации	(п)
тензоров деформации	С* и тензором скоростей деформаций D:
	(п)	(п)		(п)	(п)		(5.4.4)
	с* = 4х - - D =			с • + с ;			(5.4.4)
(тензоры 4Х определяют по формулам			(т. 2,		(3.2.101))), перепишем		соотно-
шение (5.4.1) в следующем виде:				(п)	(п) .	(п)
	(п)	(п)		(п)	(п) .	(п)
	(п)	(п)				сW'P'
4N • •	( Т /р)9 = 4Х D			с ;	Сев	сW'P'	(5.4.5)
Пусть 4Р — тензор, обратный к 4N:
		4N	=	А,			(5.4.6)
тогда соотношение (5.4.5) можно переписать следующим образом:
(п)		(п)		(п)	(п)	(п) .	(5.4.7)
(Т / Ру	= 4Р • • (4Х • • D —с; —C wp —Сев).						(5.4.7)

Добавляя соотношения (5.1.74в) и (5.1.74г) для скоростей пластических

деформаций:
с ; = у > а 4	$ ,	fp = 0,	(5.4.8)
а=\

получаем искомые определяющие соотношения в скоростях.

Отметим, что, согласно (5.4.2) и (5.1.74), тензоры, входящие в соотноше ния (5.4.7) и (5.4.8), являются функциями тех же аргументов, что и сами

исходные соотношения (5.1.74):
4Р = 4Р ( 4 Д т /р ) , в,		шр, р	= M	4 S)((T ,	С р), в,	шр,
(п)	(п)	(п)	wp	(п)	(п)	(5.4.9)
С Wp =	С Wp\(4- Lj S)( T /р), в,		wp	Jp )(T ,	Ср)).	(5.4.9)

Для ассоциированных моделей Ап упруго-пластической среды с линейной

упругостью (см. п. 5.1.6) тензор 4Р имеет вид
4Р = (1/р) 4М = (1/р) 4М,	(5.4.10)
где 4М — тензор модулей упругости (3.1.8а), не зависящий от Т ,	С р, гор
он может зависеть только от в (см. упр. 1 к § 5.4).

§ 5.5. Постановки задач теории пластичности

533

Отметим также, что	с	учетом уравнения	неразрывности (т. 2, (2 .1 .1 5 ) )
и формул (т. 2, ( 2 .1 .2 0 ) )	левую часть соотношений (5 .4 .7 )			и (5 .4 .8 ) можно
представить следующим образом:
1 /д Т		(п) \		( 5 .4 .1 1 )
i ( ^		+ V . ( v 0 T ) ) = ( T / P) ‘ ,
	( П )	/ ч	/ ч
до с		(п)	(п)	(5 .4 .12)
^		+ V - ( p v ® С р) = рС;,

тогда соотношениям (5.4.7) и (5.4.8) можно записать в дивергентном виде

(п)		/	ч	»	А			(п)
г ) Т		(п)		»	А		$	(п)	Сев),
T -	+ V - ( v ®		Т) = Р 4Р	(4Х • - D -			$	- C wp -	Сев),
	(п)		(п)	*1	а=\
	(п)
	дрСР				PlPaJlW		Д	= о.	(5.4.13)
	дрСР	+ V • (рлг (g) С р) = ^ 2			PlPaJlW	’	Д	= о.	(5.4.13)
	dt			а=\	а Т	’
				а=\

Упражнение к § 5.4

Упражнение 1. Показать, что для ассоциированных моделей А £ упруго-пластичес кой среды с линейной упругостью (см. п. 5.1.6) тензор 4Р может быть представлен в виде (5.4.10).

§ 5.5. Постановки задач теории пластичности

5 .5 .1 . Пост ановка динам ических задач м оделей пласт ичност и

Общая система законов сохранения для пластических сред такая же, как и для других сплошных сред, и может быть записана в пространственном описании в виде (т. 2, (2.12.5)). К этой системе следует присоединить опре деляющие соотношения пластических сред «в скоростях» (для моделей Ап ассоциированной пластичности это соотношения (5.4.13)) и дифференциаль ное уравнение движения границы области V(t) (т. 2, (4.2.40)). В результате получаем следующую систему (в случае отсутствия фазовых превращений):

др

dt + V • pw = 0,

	dov	а	• • Т ) + pi,
	^ + V • pv ® v = V • (4Е		• • Т ) + pi,
Эрг/	+ V • pvrj =	-(1/(9)V • q +	(1/6)(pqm + w*),
~дГ

534	Глава 5. Пластические среды
dt + V • (v (X) Т ) = J 4М • • (4Х			Z\	(n)
			( s )	(n)
		D -	4>aJ[S	- C wp-	Сев),
(n)			а=\
(n)	(n)		Zi
dp Cj	(n)		Zi
dt	+ V • (pv 0 Cp) — p 'У ) ФаГа
dt			tt=l
			tt=l
//? = 0,	/5=1,	— + v - V /		= 0,	(5.5.1)

состоящую из (30 + fc) скалярных уравнений относительно следующих неиз

вестных функций:

(п) (п)

р, в, u, v, F, Т , С р, кр, / || х, t, / 3 = 1 , . . . , k,

которые при переходе к компонентам образуют систему из (30 + к) скалярных функций. В системе (5.5.1), как и в системе уравнений вязкоупругости (4.4.1),

уравнение энергии заменено на уравнение баланса энтропии.
К (5.5.1) следует добавить выражения					(т. 2,	(3.8.113)	или	(3.2.37)) для
тензоров	энергетической		эквивалентности		(п)	(п)			(5.1.286)
					4Е ^	= 4Е, выражения
для г] и	(5.1.40в)	для	гс*,	выражения (т. 2, (3.2.101))			для	(п)	а также
								4Х,
выражения (5.1.65),		(5.1.68),			(п)		и для совместных
				(5.4.2) для фа, C wp, Со, fp
	тО)
инвариантов дц

Согласно введенной в п. 3.1.3 классификации, уравнения (5.5.1) называют

T6RUVF-системой уравнений модели Ап ассоциированной пластичности.

Граничные условия к системе (5.5.1) на поверхности Е твердой среды формально записывают аналогично соответствующим граничным условиям

для упругой твердой среды с конечными					деформациями (см. п. 3.3.1). При
отсутствии фазовых превращений они имеют вид
^2-		П • Т —tne,		П • А • V 0 —Qnei
		Е3:	v =	ve,	в = 0е,			(5.5.2)
где t ne, ve, qne и ве — заданные значения.
На плоскостях симметрии			граничные условия имеют вид (3.3.9), а на
контактной поверхности (см. (3.3.2))
Ец п • [Т] = 0,	[v] = 0,		п • [А • V0] = 0,			[0]=О,	[pF]=0.	(5.5.3)
Кроме того, к системе (5.5.1) добавляют начальные условия
t = 0: р = р,		v = VQ ,		и = 0, в = 9Q, F = Е,
(п)	Сро, Т		= T Q,	кр =	иро,	/3 = 1,	..., к,	(5.5.4)
С р =

где р, V Q , 9Q, CpQ, T Q, кро — заданные начальные значения.

§ 5.5. Постановки задач теории пластичности	535
Постановка динамической T0RUVF-задачи теории термопластичности
Ап в пространственном описании состоит из системы уравнений	(5.5.1)

с граничными условиями (5.5.2), (5.5.3) и начальными условиями (5.5.4). Соответствующая постановка динамической T0UVF-задачи теории тер

мопластичности A$t в материальном описании состоит из ТШУТ-системы (законы сохранения (т. 2, (2.12.8)) и определяющие соотношения (5.4.7)-

(5.4.9)):

о дv

„

= v

+ Pf,

дг\

рв dt

д¥

ди

= v,

V ^ v 1

(5.5.5)

(п)

4р

/4(п)

(n)

дв\

д Т /р

F -1 т • V

(4Х

V -

^ '

T - C

^ - C OS ) '

a=\

'a t)'

( n )

(n)

dC ,

Р = Д / 9 F _ 1 ' E ^ T ,

a=\

граничных условии

//3 =

/3 = 1, ...,

Ei:

n • [P] = 0,

[v] = 0,

n- [A- V0]=O,

[0] = 0;

E2:

P = t ne,

- n

• Л

V0 = qne;

и начальных условий

E3:

v = ve,

9 = 0e

(5.5.6)

t = 0: v = v0, u = 0,

9 = 90,

F = E,

(n)

= T 0,

xp =

C p = Cp0, P

(5.5.7)

Неизвестными в данной задаче являются следующие функции:

(п)	(п)	.	. о	(5.5.8)
V , и, в , F, Т ,	Ср, Х ц \|\|	t,	Х г G V, t e [0,tmax].	(5.5.8)

В этой постановке, как и в теории вязкоупругости (см. (4.4.14)), вместо уравнения энергии использовано уравнение баланса энтропии.

Для многих задач влиянием температуры на «механические» параметры задачи (скорость, перемещения, напряжения) можно пренебречь, тогда из систем уравнений (5.5.1)—(5.5.4) или (5.5.5)-(5.5.7) исключают уравнение баланса энтропии, а температуру в — из числа неизвестных. В результа те получают постановки динамических задач теории пластичности Ап

для изотермических процессов (температуру при этом считают постоянной

о = е0).

536	Глава 5. Пластические среды

5 .5 .2 . Пост ановки квазист ат ических задач

для м оделей

пласт ичност и

Для пластических сред, как и для идеальных упругих сред, часто ис пользуют модели квазистатических процессов (см. п. 3.1.5) и постановки квазистатических задач.

Постановка квазистатической задачи теории пластичности в про странственном описании состоит из уравнений равновесия (3.1.35), соотно

шений (т. 2, (3.2.36)) между тензором напряжений Коши Т и энергетически-

(п)

ми тензорами напряжений Т , кинематических соотношений (т. 2, (1.2.10)) и определяющих соотношений (5.1.74) ассоциированной модели Ап пластиче ских сред с квазилинейной упругостью (см. упр. 8 к § 5.1):

V • Т + pi = 0,

(п)

Т = 4Е

Т,

= 4М - - ( С

с р),

(^) = T ^ n f ((FT' F)(n~III)/2_E)’

F _ 1 = E -

® uT- с ;

= $ + < + ? ,

//9 = 0,

/3=1

а=\

(5.5.9)

и граничных условий

Si:

п • Т

= t ne;

S2:

u =

ue;

S 3:

n • [T] =

0, [u] =

(5.5.10)

где t ne, ue —

заданные

векторы относительно

следующих неизвестных (их

(3 + 6 + к) штук, если считать по числу независимых компонент):

(п)

кр

|| х, £,

/3 = 1, . . . ,

к.

(5.5.11)

С р,

Здесь 4Е

определяют по формулам

(т. 2,

(3.2.37)),

4М — по формулам из

упр. 8 к § 5.1, а фа,

и fp

— по формулам из п. 5.1.7.

К системе (5.5.9)—(5.5.11) необходимо добавить соотношения (3.3.22), которые позволяют найти неизвестную геометрию области V в актуальной конфигурации.

Соответствующая постановка квазистатической задачи термопластичности Ап в материальном описании имеет вид

V • Р + pf = о,

О	1 . 0 )	(п)	(п)	(п)	(п)
р = (р/р)F - 1• 4Е		• Т ,	Т	= 4М • • (С -	(5.5.12)

(п)	Z\
С	_ J _ ( ( F T.F)(n- in)/2 - E ) , F = E + V ® u T, С ; =

а = \

538	Глава 5. Пластические среды
(п)	(п)	(п)	(5.6.5)
Т	= J(/1/ 1(C e)E + 2/2Ce).

Из (5.6.5) следует соотношение между первыми инвариантами:

(п)	(п)	(5.6.6)
/!(Т)	= J(3Z1+2Z2) /1(Ce).	(5.6.6)

Как и в задаче о растяжении упругого бруса (см. § 3.4), тензор Т связан

(п)

с Т соотношениями (3.4.7),	но поскольку тензор F шаровой, то эти формулы
в данной задаче принимают	вид

		(п)		(5.6.7)
	Т = кп~ш Т .
Будем искать выражения	для	(п)	(п)	данной задаче не
		тензоров С е	и С р в
зависящими от координат х,	тогда			(п)
		из (5.6.5) и (5.6.7) следует, что Т и Т
также не зависят от х, т. е. компоненты Т гз тензора Т =				® ej одинаковы

во всем кубе. Следовательно, уравнения равновесия в системе (5.5.9) при отсутствии массовых сил (f = 0) тождественно удовлетворяются.

Из граничных условий на поверхности куба (п • Т = —реп) получаем

Х а = ha/2: f ai = - р е5а\ а = 1,2,3.

(5.6.8)

Поскольку компоненты Т гз одинаковы во всем кубе, то такое же выраже

ние (5.6.8) имеет место и во всей рассматриваемой области V,		т. е. тензор Т
(п)	— тоже шаровой:
шаровой, следовательно, и Т
Т = - РеЕ,	(п)	(5.6.9)
	Т = - р еЕ, ре = Рекш ~п.

Подставляя (5.6.9) в (5.6.5) и (5.6.6), находим выражения для упругих деформаций:

	( п )	3рекш~п			(5.6.10)
	I i ( C e)	= - J(3h +2 l2y
	g	РекШ~П			(5.6.11)
	e	J{3h+2l2) ’

	(n)
т. e. тензор C e в данной задаче также является шаровым.
	А. Пластически-несжимаемая среда
	Пусть рассматриваемая среда	является	пластически-несжимаемой, т. е.
для	скоростей пластических деформаций		(п)	имеют	место соотношения
			С*
			(п)	шаровые, то девиаторы
(5.1.94). Поскольку в данной задаче тензоры Т
этих тензоров, в силу определения, будут нулевыми:					= 0. Тогда девиаторы
Р я	(5.1.85) совпадают с девиаторами Р р тензоров пластической деформации

(5.1.87) и соотношения (5.1.94) для пластической деформации принимают вид

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6354 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.56 Mб5Механика скальных грунтов и скальных массивов..pdf
#
12.11.20233.31 Mб9Механика сплошной среды. Законы сохранения.pdf
#
12.11.20233.28 Mб2Механика сплошной среды. Кинематика.pdf
#
19.11.202337.66 Mб2Механика сплошной среды. Т.1 Тензорный анализ.pdf
#
19.11.202343.64 Mб1Механика сплошной среды. Т.2 Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.pdf
#
19.11.202341.7 Mб29Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред.pdf
#
12.11.202313.71 Mб5Механика сплошной среды..pdf
#
12.11.202318.31 Mб3Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов.pdf
#
12.11.20239.02 Mб6Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)..pdf
#
12.11.20233.44 Mб3Механика твердого деформируемого тела..pdf
#
12.11.202311.85 Mб12Механика трещин..pdf