книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Скалярно умножая это соотношение само на себя, находим выражение для параметра к \

Полная система соотношений для пластической деформации состоит из соотношений (5.1.137), (5.1.138), к которым следует добавить одно скалярное

где / выражается по формуле (5.1.132).

В квадратичной модели потенциал (5.1.132) выбирают в следующем виде:

Функции a^s(9,Wj) называют пределами текучести при растяжении

(или сжатии) по направлению у, <тз+7)5(0, Шз+7) — пределами текучести при сдвиге в плоскости (a,/?), a o-apfS(6,w^ Wo смешанными пределами текучести. Все эти функции находят экспериментально.

Производные от функции (5.1.141) имеют вид

(п)(п)

деляемые на основе Т и С, являются R -инвариантными, то все опре­ деляющие соотношения моделей Ап пластических сред, представленные в пи. 5.1.3-5.1.7, автоматически удовлетворяют принципу материальной индиф­ ферентности, поскольку не изменяются при замене актуальной конфигурации /С —>/С7 жестким движением.

Упражнения к § 5.1

Упражнение 1. Показать, что скалярный инвариант тензора Т — его интенсивность Y (Т), определяемая по (5.1.88), имеет в любом базисе следующий компонентный

У2(Т) = (1/2)((Тп - Т22)2 + (Т22 - Т33)2 + (Т33 - Тп)2 + 6(Т2 + Т23 + Т23)).

Упражнение 2. Доказать, что инвариант Y, определенный в упр. 1, всегда можно представить через главные инварианты следующим образом:

y 2(T) = if(T ) - 3 /2(T).

Упражнение 3. Показать, что для модели изотропной упруго-пластической среды без упрочнения, когда параметр Н = 0 (т. е. Щ = 0), соотношение (5.1.97) принимает вид

Рр = (kh/a2s) Р г

и называется соотношением Прандтля — Рейса.

Упражнение 4. Показать, что имеет место соотношение ортогональности (5.1.117) для тензоров (5.1.116).

Упражнение 5. Доказать истинность соотношений (5.1.112) между совместными

Упражнение 6. Доказать соотношения (5.1.133).

Упражнение 7. Рассмотреть пластически сжимаемую модель Д£ Губера — Мизеса

изотропной среды, для которой имеют место определяющие соотношения (5.1.81)- (5.1.83), а пластический потенциал / только один, но, в отличие от (5.1.84), зависит еще и от первого инварианта Yi#:

f = f(Y H, YlH, 0, wp),

Н® и п\ — константы.

Такая модель описывает пластические свойства пористых сред, некоторых грун­ тов, а также сред, чувствительных к виду нагружения (объемное растяжение или сжатие) (см. § 5.6).

Показать, что для этой модели определяющие соотношения вместо (5.1.92) при­ нимают вид

с ; = З й (/у Р я + i/iy E ).

Получить выражения этих соотношений в терминах девиаторов и шаровых частей тензоров пластической деформации и напряжений (сравните их с (5.1.94) и (5.1.95)):

Показать, что если пластический потенциал / имеет вид

где as, ат, &с ~ пределы текучести при сдвиге, растяжении и сжатии соответствен­ но (зависят от 0 и wp)\ У+ и У_ — знакопостоянные инварианты:

Y± = ^ \ Y lH\ ± Y lH),

ТО

иопределяющие соотношения принимают вид

Р! = (kh/al)P H,

/,( C P) = 2 kh((Y+/a'S) + (Y ./a’S)).

Упражнение 8 . Рассмотреть ассоциированную модель пластичности А£ (5.1.74) с квазилинейной упругостью, для которой упругий потенциал £ (5.1.74а) зависит

только от линейных и квадратичных инвариантов ц(s) тензора Т /р (по аналогии с квазилинейными моделями Ап упругих сред (см. т. 2, п. 3.8.7)). Введя для функций

ср7(ц8)(Т / р), 0, Wp) представление (см. т. 1, п. 4.6.3)

г\

и имеют формально такую же структуру, как и тензор 4N, но коэффициенты 17р для тензора 4М являются функциями вида

504 Глава 5. Пластические среды

С(3 = /7Щ « ( С е), в, < ) .

Упражнение 9. Для моделей упруго-пластической среды (5.1.79), (5.1.80) с линейной упругостью, для которых потенциал ( (5.1.80) имеет квадратичный вид:

— для ортотропных сред.

Показать, что для моделей Д£ упруго-пластических изотропных сред с линейной упругостью, потенциал £ которых имеет вид

Упражнение 10. Используя формулы (5.1.19), (5.1.286), показать, что плотность внутренней энергии е для моделей Д£ пластических сред определяется формулой

Используя результаты упр. 9 к § 5.1, показать, что для моделей А£ изотропной упруго-пластической среды с линейной упругостью имеет место следующее выраже­ ние:

е = е0 + (р/2) 1\У(Т/р) + р / Ц , ( Т 2/р2) = е0 + (1/2р) Д ( С е) + (12/°р) /,( С 2),

е0 = Со + 0(дСо/дв).

Упражнение 11. Показать, что соотношения (5.1.52) можно представить в виде, не зависящем явно от времени:

для мульт ипликат ивны х м оделей В ^ пласт ических сред

Перейдем к рассмотрению моделей Вп пластических сред. Построение

этих моделей существенно отличается от моделей Ап, поскольку основное

(п)

аддитивное соотношение (5.1.3) для энергетических мер G отсутствует. Его заменяет другое соотношение — (5.1.7), которое аксиоматически принимается в моделях Вп и обосновывается в и. 5.1.2. Поскольку соотношение (5.1.7) представляет собой произведение градиентов ¥ р и F e, то модели Вп пла­ стических сред называют мультипликативными в отличие от моделей Ап, которые в этом случае называют аддитивными.

Рассмотрим ОТТ в форме Вп (т. 2, (3.3.16)):

Покажем, что для моделей Вп аналогом аддитивного соотношения (5.1.3) является аддитивное соотношение для мощности напряжений.

(n)(n)

где T e и Т р — симметричные тензоры упругих напряжений и напря-

жений течения; G e — симметричные меры упругих деформаций; D p — симметричные энергетические меры скоростей пластических деформаций (их выражения для п = I, ..., V приведены в табл. 5.2.1).

(п)(п)

Нетрудно заметить, что тензоры Т е и G e полностью аналогичны тензорам

(п)(п)

Т и G и отличаются от них только заменой F —►F e и U U e. Тензор Ве, как и тензор В, определяется своей производной и начальным значением В^ (при отсутствии начальной пластической деформации В^ = Е):

Т • • G* = (F“ 1T • Т • F “ >) • • (G* + ^ Dp • U “2 + ^ U “2 • DJ) =

2. Поскольку тензоры T e и G e отличаются от Т и G только заменой F —►

I I

—►F e и U —►U e, то из первой пары (Те, Ge) можно получить все остальные

(п)(п)

пары Т е, G e таким же путем, как это было сделано для энергетических пар

(п)(п)

ставить в виде суммы мощностей, обусловленных пластическими иска­ жениями и пластическими вращениями: