|
§ 5.2. Модели Вп пластических сред |
|
511 |
(п) |
~ |
~ |
(п) |
(5.2.37) |
рG e = |
L\4 • V0 + L24 • • TV + L34 • • To + L44 • • ( T е/р)9, |
где тензоры Lap являются функционалами общего вида (5.2.34) от реактив ных переменных 1Z = {Т е/р , JJp, Ор , 9}, конкретный вид которых задается той или иной моделью пластической среды.
В моделях Вп пластического течения все Ьар и ( являются только
функциями от 1Z и 1Z и от параметров Тейлора |
|
|
|
С = С ( т е, |
Up, |
о ;, |
в, |
W?), |
|
(5.2.38а) |
(п) |
ОрТ, |
в, |
(п) |
Up, |
6р, |
«$), |
(5.2.386) |
L22 = 4L u ( T e, и р, |
т : , |
L33 = % ( Т е, Up, |
ОрТ, 0, |
Т*, |
Up, |
6р, |
«$), |
(5 .2 .3 8 B ) |
L\\6 = \(6), |
остальные |
= 0. |
|
В этой модели перекрестные эффекты не учитываются и определяющие соот ношения (5.2.37) принимают вид
1 & II > |
<1 |
(5.2.39a) |
Up = 4Lи • • TV, |
(5.2.396) |
Tip = L0 • • X0, |
( 5 .2 .3 9 B ) |
(n), |
|
(5.2.39r) |
G ^ O . |
Тензор 4L,ц является обычным симметричным тензором четвертого ранга, а тензор 4L0 кососимметричен по индексам 1, 2 и 3, 4, и симметричен по
парам индексов (1,2) |
(3,4). |
5 .2 .4 . А ссоциированны е модели В £ пласт ических сред
В ассоциированной модели пластичности Вп соотношения пластическо го течения (5.2.396) и (5.2.39в) связаны с поверхностью пластичности по закону градиентальности:
|
|
к |
|
|
Up = |
dfp |
(5.2.40a) |
|
дТ и' |
|
|
|
|
|
/3=1 |
|
|
|
к |
|
|
Пр = h |
dU |
(5.2.406) |
|
дТ0’ |
|
|
|
|
|
/3=1 |
|
где fp — пластические потенциалы, предполагаемые функциями вида (5.2.38а), которые можно рассматривать и как функции от Тц, Т0 и JJp, О^:
fp = fp(Tu, То, Up, Op, в, < ) . |
(5.2.41) |
512 |
Глава 5. Пластические среды |
Уравнение поверхности пластичности, как и в модели Ап, задается систе мой скалярных уравнений (5.1.41):
f(3 = 0, |
/3 = 1, . . . , к . |
(5.2.42) |
Функция h, имеющая значение 0 или 1, определяющее область пласти ческого нагружения, вычисляется по формуле (5.1.51), в которой в качестве частичной производной dffp/dt применяется аналог формулы (5.1.43):
|
d ' f p |
d f o |
• |
dfp_ |
rj, |
(5.2.43) |
|
dt |
дТи |
" |
u дТ0 |
" ' |
|
|
|
Система из (9 + к) скалярных |
уравнений (5.2.40) и (5.2.41) (уравнение |
(5.2.40а) эквивалентно шести скалярным уравнениям, (5.2.406) — трем ска лярным уравнениям ввиду кососимметрии тензоров ftp и Т 0) позволяет найти (9 + к) скалярных неизвестных: шесть компонент тензора JJp, три компоненты тензора Ор и к скалярных функций кр (/3=1, к), которые находят из самих же уравнений (5.2.40). Эти параметры хц являются функциями вида
(5.2.386) |
|
кр = к р(Ти, Т0, Up, Орт, Up, и , в, wp). |
(5.2.44) |
В модели Вп упруго-пластической среды упругий потенциал ( явно не зависит от пластических деформаций; в этом случае определяющие соотно шения (5.2.38а), (5.2.29) имеют вид
( п ) |
(п) |
(п) |
(п) |
с = с ( т е, e,w p) |
Ni = 0, No = О, G e= К ( Т е, e, W P ) |
= - р ( д ( / д Т е ) . |
|
|
|
(5.2.45) |
5 .2 .5 . Следст вие из принципа мат ериальной симмет рии для ассоциированной м одели пласт ичност и В £
Применим принцип материальной симметрии к определяющим соотноше ниям (5.2.40), (5.2.42). Для этого предварительно выясним, как изменяются введенные тензоры с индексами р и е при ортогональном преобразовании
О*
отсчетной конфигурации /С —►/С.
Теорема 5.2.3. Тензоры Ое, U e и V e являются Н-инвариантными при
о*
ортогональных Н-преобразованиях: К, —>/С, а тензоры Fp, Ор, Up, Up, V p,
(n)(n)
T e, |
Tp, T(/, T о и Cl — H -индифферентными. |
T |
p |
Разгруженная конфигурация /С, введенная в и. 5.1.2, согласуется с |
|
О |
отсчетной конфигурацией /С; она должна совпадать с ней (по определению), если нагружение не является пластическим. Для ассоциированной модели это означает, что нагружение не выходит за поверхность пластичности. Поэтому
514 Глава 5. Пластические среды
( п )
при ортогональных преобразованиях подобно тензорам Т , аналогично Д"-ин-
(п)
дифферентными будут и тензоры G e.
Тензор спина Пр (5.2.16) является iT-индифферентным так же, как и
тензоры T JJ и Т 0 (5.2.14), |
(5.2.15), поскольку |
|
|
Т е = F “ • Т • Fe = |
Q T• F “ |
• Т • F e • Q = Q T• Т е • Q, |
(5.2.52) |
* |
1 * |
|
|
|
|
Tc/ = ^(Q 1 Г»—1 Q Q T T e Q |
Q T 0„ |
Q + |
|
|
+ Q T• Qp • Q • Q T• T e • Q |
• Q T• F “ 1T • Q) = |
Q T • T(7 • Q . A |
Применяя принцип материальной симметрии к соотношению (5.2.40), в силу Я-индифферентности тензоров XJp, ftp, TV, Т 0, JJP и О^, получаем, что соотношения пластического течения (5.2.40) должны представлять собой
Я-индифферентные тензорные функции относительно той или иной ортого-
о
нальной подгруппы Gs, а пластические потенциалы /д (5.2.41) должны быть
о
скалярными ^-индифферентными функциями относительно Gs и, следова-
тельно, должны зависеть от совместных инвариантов J\ J |
в этой |
группе Gs\ |
f p = ы ^ 8)р, 0, < ) , jW p = J<s)(Tи, Т 0, Up, ОД, 7 = |
1, ..., |
г. (5.2.53) |
Скалярные функционалы Wa представляют собой интегралы от квадра
тичных совместных инвариантов тензоров TV, Up и Т 0, ftp: |
|
|
t |
|
|
|
yjP = |
j i s\ T u ( T ) ,i j p(T))dT, |
а = |
1 , . . . , п ; |
|
ша |
|
|
Д 5)(Т0(т), П{т)) d r , а |
= Г\ + |
1, ..., г. |
(5.2.54) |
Аналогично ^-индифферентной скалярной функцией является и упругий потенциал ( (5.2.42а), поэтому его также можно записать в виде
(п) |
о д , в, < ) . |
(5.2.55) |
C = C(4s)(T e, Up, |
Тогда определяющие соотношения (5.2.29), (5.2.40) можно представить в тен
зорном базисе: |
^ |
^ |
|
|
|
G e = |
y > |
74 ST’ |
(5.2.56а) |
^ |
|
7=1 |
(п) |
(5.2.566) |
= - Р(дС/дЗ^), |
J $ = d jW /d Т е, |
|
й Р = ' £ , Ф < * № и , |
(5 .2 .5 6 B ) |
|
§ 5.2. Модели Вп пластических сред |
|
515 |
|
Z\ |
|
|
(5.2.56г) |
|
Г2р —У |
(s) |
|
|
' IpaJ,аТ0 ’ |
|
|
а=1 |
|
|
|
г ( « ) |
(в) _ |
dJjs |
(5.2.56д) |
= |
аТи |
J.а Т 0 |
дТ0 |
9Jis) ’ J< |
дТ и |
|
/3=1 |
|
|
|
|
5 .2 .6 . |
А ссоциированны е м одели пласт ичност и В £ |
|
|
с собст венным упрочнением |
|
|
Ограничим далее рассмотрение только случаем ассоциированных моде лей Вп пластичности с собственным упрочнением, в которых совместные инварианты -J^v (2.53) зависят только от тензоров ТV и Т 0 и не зависят явно от и р и Ор!
jWp = jW(T[7, |
То). |
(5.2.57) |
Поскольку тензоры TV и Т 0, определенные формулами (5.2.14) и (5.2.16), |
представляют собой комбинации тензоров |
( п ) |
Ое, XJP и Ор, то модель |
Т , U e, |
(5.2.57) позволяет учитывать пластическое упрочнение среды (повышение предела текучести после появления пластической деформации) через тензоры TV и Т 0.
Отметим, что ввиду кососимметрии тензора Т 0, он имеет только три независимые компоненты и с ним однозначно можно связать вектор вихря
(см. т. 2, (1.4.47)): |
|
CJ0 = (1/2) € • • Т 0. |
(5.2.58) |
Тогда совместные инварианты (5.2.57) являются скалярными 77-индиффе- рентными функциями от симметричного тензора TV и вектора CVQ:
4 8)р = Д 5)(Тс/, ш0). |
(5.2.59) |
5 .2 .7 . П редст авление ассоциированной м одели пласт ичност и В £
в т ензорных базисах различны х групп симмет рии
Запишем определяющие соотношения (5.2.56) для трех основных групп
О
симметрии Gs: О, Т3 и I. При этом рассмотрим только случай упруго пластических сред, т. е. когда совместные инварианты J^ в (5.2.55) совпа-
T(s)№ ч
дают с инвариантами тензора Ц (Т е).
1. Для изотропной среды функциональный базис инвариантов (5.2.59) состоит из шести элементов, в качестве которых можно выбрать следующие:
j y |
= J7(Tc), 7 = |
1,2,3; |
= |w0|2, |
|
Jg |
^ = u>o • T и ■u>0, |
jP'1= u>о - T у ■UJQ. |
(5.2.60) |
516 Глава 5. Пластические среды
Тензоры производной |
и J ^ o в этом случае имеют вид |
|
А * 1 = Е, |
J $ v = E h ( Т ц ) ~ Т и , |
= Н |
- h T u + h Е, |
J4Tс/ = °’ |
|
Ати = wo ® W0, А%ц = Ш0®Ти -Шо + Шо-Тц ®ш0, |
|
Ато = W0 ' е> Ат0 = (w0 ' |
Т и ■wo) ■е> |
|
4 т„ = |
(wo • Tfj + |
• и 0) • е, |
4 ?о |
= 0, 7 = |
1,2,3. |
(5.2.61) |
Здесь учтено, что |
duo/dTo = |
(1/2) |
е. |
|
(5.2.62) |
|
|
|
|
Тензоры Jyr0 очевидно кососимметричны.
Согласно принципу Онзагера, соотношения (5.2.56в) и (5.2.56г) должны
быть квазилинейными по TV и Т 0, |
т. е. |
должны иметь вид (5.2.396) и |
(5.2.39в), поэтому инварианты J% \ |
и |
должны быть исключены из |
аргументов потенциала /ц (5.2.53). Таким образом, fp зависит только от трех
Подставляя выражения (5.2.60), (5.2.61) в (5.2.56), получаем опреде ляющие соотношения ассоциированной модели Вп изотропной упруго пластической среды с собственным упрочнением:
ГЫ |
_ |
„ Ы |
(п) |
G e = уцЕ + у?2 Т е + у?зТ е, |
|
|
|
<Up = Д Е - ^ Т ц , |
|
|
|
(5-2-63) |
|
|
|
|
Пр = ф4и>о • €, |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч > \= <^1 + ^2^1 (Те) + ^ ^ (Т е ), |
(/?2= —^2“ ^ ^ (Т е ), "01 = "01 + |
(Т[/), |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
<Р° = -Р V |
|
. |
^ = |
|
|
|
(5.2.64) |
|
|
|
|
9/а(Т е) |
|
|
/з=1 |
7 |
|
|
|
С = СЦв(Те) , е , ^ ) , |
а = 1,2 ,3 ; |
|
Д |
= Д (Д 7)(TV, w0), 9, |
wps), 7 = 1,2,4. |
|
Параметры Тейлора |
для изотропной среды (5.2.54) имеют вид |
|
|
V _ |
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
т и{т) ■• Up(г) dr, |
wl = |
T 0(r) • • П(т) dr. |
(5.2.65) |
|
w1 - |
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Пластические потенциалы можно выбрать в квадратичном виде (5.1.84). |
|
2. Для трансверсально-изотропной |
среды |
функциональный |
базис |
|
4 s )( T u , CJQ) |
состоит |
из |
восьми |
совместных инвариантов, |
однако, согласно |
|
принципу Онзагера, |
пластические |
потенциалы /ц |
должны |
зависеть |
только |
|
|
|
|
§ 5.2. Модели Вп пластических сред |
|
|
|
|
517 |
от линейных и квадратичных по TV и CJQ инвариантов, в качестве которых |
можно выбрать следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j{3) = |
(Е - Щ) • • |
Ти, |
j f |
= |
т и-- Щ, |
j f |
= ((Е - с|) |
• TV) • • |
(с§ • Ти), |
4 3) |
= |
т у |
• Е - |
|
|
4 3) = \ш0\2, |
4 3) |
= (и>о-с3)2. |
|
(5.2.66) |
Ненулевые тензоры производной для этих инвариантов имеют вид |
4 |
$ а = Е - е з- |
4т и = 4 |
4т и = т>(°1 ® O i |
+ 0 2 (8) 0 2) • |
• |
Ти, |
|
J $ U = 2 40 3 - - T u , |
J $ O = U о-е, |
4т о = ш0-Щ -е. |
|
|
(5.2.67) |
Тогда определяющие соотношения (5.2.56) запишем следующим образом: |
ЧП) |
|
_ |
_ |
0 |
_ |
|
|
|
|
|
(п) |
_ (п) |
|
(п) |
|
|
G e = |
(/9 1 Е + |
(/9 2 С3 + |
(/9з ( 0 1 |
® |
O i + |
О 2 |
(8 ) О 2 ) ** Т е Т- (/94 Т е Т- (/95 Т , |
|
|
< U р= ф\~Е + |
^ 2с з + |
Фз{0\ ® |
O i + |
О 2 |
(8) О 2 ) • • Ти + |
|
|
|
|
(5 .2 .68) |
= |
(Vb^O + VW0 • С3) • е, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
( п ) |
|
|
|
|
|
( п ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥>1 = Ч>\ + ^5^2(Те), |
= ¥^2 —¥^1 —2^ 4/2^ ( Т е), |
¥^3 = |
ТГ “ |
¥>4> |
(/94 |
= |
2(/94 - |
|
(V |
ф2 |
= Ф2 |
~ Ф\ ~ |
|
/о\ |
|
Фз = |
7Ло |
- |
-Фа , |
(/95/i( T e), |
^Ф аЦ (T[/), |
^ - |
Va = - р |
д(— |
, |
ipa = h ^ 2 k• l3 dfp |
|
(п) |
|
|
|
|
|
dJl3) ’ |
|
аД3)( т е) |
|
|
|
/3=1 |
|
|
|
|
|
/о\ (п) |
/о\ |
(n) |
6», |
«7?.........W P ) , |
C= C4l( }(Те), .... |
i f ( T |
e), |
и = ы |
4 3)>•••- |
|
- |
0. |
< |
•••. О - |
Параметры Тейлора |
(5.2.54) в данной модели имеют вид |
t |
|
t |
|
|
|
|
|
= f(c| • Ти)(Щ • • Up) dr, wp= f((E - |
c§) • T u) • (c§ • Up) dr, |
P |
T и • • Up dr — 2wl —(Dp w^ = ft • • T Gdr, |
= (c3 -с*;о)(сз -c*;n)dr, |
w 3 = |
где |
— вектор вихря, сопутствующий тензору Цу |
|
|
о;п = (1/2 )е--П р. |
(5.2.71) |
3. Для ортотропной среды функциональный базис J ^ ° \ T U , CJQ) состоит из девяти совместных инвариантов. Согласно принципу Онзагера, набор этих инвариантов следует выбрать таким образом, чтобы в него входили только
518 |
Глава 5. Пластические среды |
линейные и квадратичные инварианты по TV и CJQ- Этому требованию удо влетворяет следующий набор:
= |
Ти |
■■с2, |
j f ] = { c l - T u ) -- { c l- T u ), |
|
= (с? • Т[/) • • |
(с§ • Т[/), |
4 0) = (cf • Ти) ■• |
(Щ • Ти), |
АО) _ |
(и>о ■cy)z, 7 = |
|
1,2,3. |
(5.2.72) |
= |
|
Ненулевые тензоры производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
Г |
,^ = |
1 (0 7 ® 0 7) • • Т и , |
44,т„= 2“ 0 |
|
Щ |
|
е, |
7=1, 2, 3 . |
4 4 . = С2, |
Л ° 1 |
■ |
■ |
|
^ 7 ’ |
^3+7,Т[/— |
2 V 7 |
7У |
|
6+ 7 ,Т 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(5.2.73) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяющие соотношения (5.2.56) в этом случае принимают вид |
'(п) |
3 |
|
|
|
оЛ |
(п) |
|
|
|
|
(п) |
|
|
(п) |
|
G e= E + y S U ^ T + C V |
• т е) + 3(pQ6Ог |
|
Т е Сх) Т е, |
|
7—1 |
|
|
ОЛ • • т.и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Up= |
Е ( + C? + % ! ( O 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.2.74) |
|
7=1 |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И р = 2 Е ^6+7^0 • С2 • €, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 —1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С/?7 |
3 |
_ |
|
(5=1 |
aJ7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( п ) |
|
( п ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.2.75) |
|
|
C = C7l(0)(Te), |
|
( О ) |
|
|
|
|
Ц)> |
|
|
|
|
|
/ Г ( Т е ) , 0, |
|
|
|
|
|
|
|
//3 = |
//3(40)’ •••’ |
4 0)’ |
Ч |
’ •••> ч д |
|
|
|
|
|
|
При этом параметры Тейлора можно записать следующим образом: |
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■2 |
. . 'х1_Л ^2 . . тт |
\ |
wl+i |
— |
/~2 |
_гг«_Л |
. . ^ 2 |
|
Up) dr, |
|
|
(с7 • • Т(/) (с^ • • Up) dr, |
= j (с£ • Т и) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(с7 -Ш и )(с7 - ( x > o ) d T , |
7 = 1,2,3, |
а |
ф ф ф |
^ ф |
а . |
|
(5.2.76) |
4 + 7 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 .2 .8 . Соблю дение принципа мат ериальной индифферентности для м оделей В £ пласт ических сред
(п) (п)
Теорема 5.2.4. Тензоры Fp, Ор, Up, Up, Vp, Т е, Т р, Ти, Т 0, Т е, Ctp и
и е являются R -инвариантными, а тензор V e — R -индифферентным при жестких движениях актуальной конфигурации К, —►JC.
520 |
Глава 5. Пластические среды |
§5.3. Модели С п и D ^ пластических сред
5 .3 .1 . Общее предст авление определяю щ их соот нош ений для м оделей Сп пласт ических сред
Рассмотрим модели Сп пластических сред. Способ построения этих моде лей несколько отличается от аналогичного способа построения моделей Ап.
С помощью полярных разложений градиентов деформации F, Fp, F e:
F = V О, F e = V e • Ое, Fp = Vp • Op |
(5.3.1) |
и представления тензоров искажений V и Vp в своих собственных базисах:
(5.3.2)
(n) (n)
можно ввести тензоры упругой и пластической деформаций А е и А р:
(n) A =
очевидно удовлетворяющие соотношению аддитивности тензоров упругой и пластической деформаций:
(n)(n) (n)
Дальнейшее построение моделей Bn пластических сред методом формаль |
но |
(п) |
(п) |
(п) |
ной замены тензоров С ^ |
А |
и Т ^ |
S в моделях Ап, как и в случае |
построения моделей фойгтовских сред (см. т. 2, п. 3.13.1), приводит к некор ректным определяющим соотношениям, которые не удовлетворяют принци
пу материальной индифферентности, поскольку тензоры |
(п) |
А* не являются |
(п) |
(п) |
^-индифферентными (тензоры А р ^-индифферентны, как и А). Эту пробле му можно решить, как и в случае фойгтовских сред, — путем использования
коротационных |
производных. |
|
|
|
Рассмотрим |
ОТТ в форме Сп (т. 2, |
(3.3.17)) и запишем его с учетом |
соотношения (5.3.3) в следующем виде: |
|
|
(п) |
(п) |
(п) |
(п) |
о |
pd-ф+ pride - S • • d A e - S • • d A p - S • • dO T+ w*dt = 0. |
(5.3.4) |
