Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4663 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
41.7 Mб
Скачать
☆

 

§ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями

 

581

 

 

и , с л е д о в а т е л ь н о ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р/з)Р/3 =

Е

Р /з • Vr р0

Р/3 =

о ^ Р/з • s (w )

■Р/з*

( 6

. 1 . 4

4

)

 

 

 

 

л2

л2

 

 

Е ( р < ■

 

 

(3=1

 

 

 

 

/3=1

Л~ -

л2

 

 

 

 

 

 

 

(3=1

 

 

 

 

 

Л а

- Л /3

 

 

 

 

Л/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а#/3

 

 

 

 

 

 

 

 

З д е с ь

и с п о л ь з о в а н а

ф о р м у л а

( 6 . 1 . 2 3 ) .

и

( 6 . 1 . 4 4 )

д л я

A a f ,

 

С

п о м о щ ь ю

ф о р м у л

( 6 . 1 . 3 5 ) ,

( 6 . 1 . 3 9 )

и О

в ы ч и с л и т ь

к о н в е к т и в н ы е

п р о и з в о д н ы е о т т е н з о р о в

U ^ ,

 

 

р е н ц и р о в а в ф о р м у л ы

р а з л о ж е н и я

т е н з о р о в

п о с о б с т в е н н о м у

б а з и с у

U e = Е ( пА«

‘А<Р« 0 Ра + АД Р а| 01 Ра + Ра 01 Рс*)) =

 

 

 

 

 

 

 

а =\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( п )

 

 

 

 

 

 

 

( 6 . 1

. 4 5

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Е

и а(з(Ра-е(™) • Р/?)Ра ®

Р/З,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, /3=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VS = Е ( ПА«

' A“?P« 0

Ра + ЛД Р«| 0

Ра + Ра 0 рЩ ) =

 

 

 

 

 

 

 

а =\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

( п )

 

 

 

 

 

Ц в(ра -e(w) • Р/з))Ра ® Р/З,

(6.1.46)

 

 

 

 

Е

(Щ?(Ра -e(w) -рД +

 

 

 

ск,/3=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

( 6 . 1

. 4 7

)

 

 

° £

= Е

 

( Р «? 0

Ра + Ра 0 р Щ

 

=

Е

 

°а/ЗРа • Р Ц,

 

 

 

 

 

а=\

 

 

 

 

 

 

 

а,/3=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г д е к о м п о н е н т ы

т е н з о р о в

в с о б с т в е н н ы х б а з и с а х

и м е ю т в и д

 

 

 

 

 

ГГ

_

ЛП Г

_1

^(^ ~ Фщ)АдА^ ^

^ лп\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U а(3

K

n d af3 “г

о

 

 

 

(^ск

^ / з ) ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л а

_

Л /3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(п)

 

 

 

 

У

 

211 -

S

я)

 

 

 

 

(6.1.48)

 

 

 

 

 

Vaf3 = \>Sa(3,

Vap =

 

1

y

(Ag-Ag),

 

 

 

 

 

Оа,(з =

2{\а\ (}{ра ■e(w) • Р/з) + Р/3 • e(w) • раЩ —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л а _

Л/3

 

 

 

 

6.1.7.Конвективная производная от энергетических

иквазиэнергетических тензоров деформации

И с п о л ь з у я

ф о р м у л ы

и

( 6 . 1 . 4 5 )

и

( 6 . 1 . 4 6 ) ,

а

т а к ж е

о б о б щ е н н ы

л е н и я

(т . 2 ,

( 3 . 2 . 3 4 )

( 3 . 2 . 6 4 ) )

 

д л я

э н е р г е т и ч е с к и х

и

к в а з и э н

582

Глава 6. Теория устойчивости

(п)(п)

тензоров деформации С и А , можно найти выражения для конвективных производных этих тензоров:

(п)

|

^ ^

(п—ш)

0

0

(п)

 

С С=

 

 

и <*Р (р <*• e (w ) ’ Р/?)Ра ® Р/з = 4и

• • e (w )>

 

 

а, /3=1

 

 

 

 

 

 

(n)

 

1

J (п)

 

Д-*

 

(6.1.49)

 

Ас = — T-V™ = 4У • -e(w) + 4V • -e(w),

 

s

n

—III

?

 

 

 

 

где введены тензоры четвертого ранга:

(n)

j

3 (n-III) 0

с

4и

= п _ ш

и а13р а ® р 13® р а ® р /3,

а, /3=1

(n)J 3 (п-Ш)

4V =

^

^<*/?Ра®Р/?®Ра®Р/3,

(6.1.50)

 

а, /3=1

 

 

(п)3 (п-Ш)

4V = ш ^

^ р а ® р ^ ® р а ® р /3.

а, /3=1

 

6.1.8.Тензоры напряжений в варьированной конфигурации

Рассмотрим модели Ап нелинейно-упругой среды (вообще говоря, анизо­ тропной), которым соответствуют определяющие соотношения (т. 2 , (3.8.35)):

 

( п )

 

(6.1.51)

 

т =

 

T ( s )

( n )

( n )

<,Р-7 = дф/dAs),

= д & р д с ,

AS) = AS){c ) .

S c

Тензоры напряжений являются фактически функциями градиента F, по-

(п)у (п)

этому для вычисления производной TV = —: Т L_n можно применить формулу

ас, ^ и

(6.1.16), которая справедлива и для тензорной функции тензорного аргумента.

Н

Здесь Т — энергетические тензоры напряжений в конфигурации /С. Тогда с учетом (6.1.16) и (6.1.19) имеем

§ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями

583

где 4 Н ^ — тензор четвертого ранга,

( п )

r

Q2

р я

 

 

 

д Т

(6.1.53)

4н(*) =

£

д ^

(g, /(«)

+ V ср

 

7,/3=1

дЫ)дг{8)

7°

 

130

(п) и

'

 

~t Р

 

 

 

7=1

дС дС

 

Для вычисления

производных

 

и

 

от тензоров напряжений Коши и

Пиолы — Кирхгофа воспользуемся формулами (т. 2, (3.2.7) и (3.2.36)):

 

 

Т

=

, (п)

• •

(п)

 

(6.1.54)

 

 

4Е

т ,

 

 

 

р

 

(п)

 

( п )

 

(6.1.55)

 

 

= 4е °

 

т ,

 

(п)(п)

где 4Е и 4 Е и — тензоры энергетической эквивалентности (т. 2, (3.2.38)),

(и)

3

(n)

 

 

 

 

 

E= E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a, /3=1

 

 

 

 

 

 

(n)

 

 

3

( п ) г

 

 

 

,_1 -4E

=

E

 

 

 

 

(6.1.56)

 

 

а, /3=1

 

 

 

 

 

,

ч

 

_______

( п )

 

 

 

 

рО

=

/~ Т

-^д/З

 

 

-^а(3

у 9/ 9

\

 

 

 

 

 

 

 

 

Лгу

 

 

( п )

 

 

 

выражениями (т. 2, (3.2.38а))

и зависят

Компоненты Еар определяются

только от Аа и А/?.

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируя формулы (6.1.54) и (6.1.55) по £, получаем

 

 

 

. (n)

(n)

 

(n)

(n)

(6.1.57)

T 5 =: 4 E r

• T

+ 4E

• ■T€,

 

 

. (n)„

(n)

 

»

(n)

 

Pc =

 

4 T710

• т

+ 4E ° • •T C

(6.1.58)

 

E r

Конвективные производные от тензоров энергетической эквивалентности можно представить в виде

 

 

 

(п)

(п)

 

(6.1.59)

 

 

 

4 Е ? = 6R • -e(w) + 6R • -£(w),

 

 

 

» r

» n

( n )

(6.1.60)

 

 

 

4 E^ = 6 R° •

• e(w) + 6 R° • • e(w),

(n)

(n)

H

(“ )

 

 

 

где 6 R , 6 R°, 6R

и 6 R° — тензоры шестого ранга,

 

»

A

(

P/3 ® P p 0

pa 0

(Ea^ aAa + EafiJiAfi) +

 

R

 

( p“

 

a, /3=1

584

Глава 6. Теория устойчивости

 

+ Еа/Зра <8>Р/3 0

(3Р/? 0 Ра)(1342) + Е арра 0 P/J 0 р^ 0

3Р а ], (6.1.61)

6’RТ5 = V - Еа ((3Ра 0

Р/З 0 Р/З 0 p j (156234) + Ра 0 (3Р/3 0

Р/З 0 Ра)(14523))-

а, /3= 1

 

 

Здесь

Р/З

®

Р/З

® Р о

2 Е

Л2

_

л2

/3=1

Л а

Л /3

ссф(3

 

 

 

Ла = Х а Р а ® Ра, Ещ3,/3 =

3

О

2

Р/З ® Р/З ® Ро

/3=1

Л2

л2

Л а _

Л /3

а#/3

 

 

Э Е ар / д \ р .

(6.1.62)

( п ) У

Тензоры 6 R° и 6 R° определяют по аналогичным формулам.

6.1.9. Формулировка задачи теории устойчивости упругого тела

 

 

о

Запишем уравнение равновесия в отсчетной конфигурации JC без учета

массовых сил:

0

 

 

V - P = 0.

(6.1.63)

Продифференцируем это уравнение по

 

 

V - P e = 0.

(6.1.64)

Подставляя формулу (6.1.58) в (6.1.64), получаем уравнение относительно вектора вариаций w:

о

(п)

(п)

(п)

(п)

(п)

(п)

(6.1.65)

V • ((6 R 0T • • Т

+ 4 H (s) • -4 U) • • e(w) + 6 R 0T

Т e(w)) = 0,

(п)

где 6 R 0T — транспонированные тензоры шестого ранга,

(п)(п)

6 д ф т _ (6 R ° )(1 2 5 6 3 4 )

Линейные тензоры деформации e(w) (6.1.22) и e(w) (6.1.25) с учетом формулы (т. 2, (1.1.23)) в базисе отсчетной конфигурации имеют следующий вид:

e(w) = ^(F“ lT- V 0 w + V 0 w T- F - ‘),

I

О

О

s(w) = -(F • V (8 ) w + V (8 ) w T• F T).

Если для рассматриваемого упругого тела граничные условия на части

о

о

— в виде (2 .2 .2 ж):

поверхности

заданы в виде (2 .2 .2 е), а на части

 

п • Р о = S, и о = ие,

(6.1.66)

§ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями

585

то, дифференцируя условия (6 .1.6 6 ) и используя представление (6 .1.2 ) для вариации вектора перемещений

/ Ч / Ч О О

U = X — Х = Х + W — X = U + W

и UQ | о = ие, получаем

Ти

п •

о = 0 ,

W o = 0 .

(6.1.67)

 

Tier

Ти

 

о

Вариации вектора внешних усилий S и вектора перемещений ие так же, как и вектора массовых сил f, полагаем равными нулю.

После подстановки формул (6.1.58) в (6.1.67) запишем граничные условия в виде

.(п)

(п)

„ (п)

(п)

(п)

(n)

п- R ° T• • Т

+ 4H (s) • -4и

e(w) + 6 R °T

т e(w ; о = 0 ,

 

 

 

 

w = 0 .

( 6. 1.68)

Система уравнений (6.1.65), (6.1.68) представляет собой задачу теории устойчивости нелинейно-упругого тела. Эта задача является линейной от­ носительно вектора неизвестных функций w, имеет второй порядок произ­ водных и является однородной, т. е. допускает тривиальное решение (w = 0 ).

В задаче устойчивости следует найти именно нетривиальные решения (w ^ 0 ). Тривиальное решение соответствует устойчивому движению (рав­ новесию) тела, а нетривиальное — неустойчивому. Таким образом, решение задачи устойчивости позволяет найти неединственное решение задачи движе­ ния упругого тела, которое соответствует нарушению устойчивости тела.

При такой формулировке задача устойчивости (6.1.65), (6.1.68) относится к классу задач на собственные значения. Действительно, наряду с задачей (6.1.65), (6.1.68) рассмотрим исходную задачу равновесия тела в /С (в лагран-

жевом описании):

 

 

 

 

 

 

V - P = 0,

 

 

 

Р =

(п)

 

 

(п)

Т,

 

 

( п )

1

 

 

т =

 

с =

Е)>

(6.1.69)

 

( Ц " - ш

7—1

 

п -

III

 

 

 

 

 

 

 

U 2 = F T -F,

F = E + V(g)uT,

 

 

n - P |o

=

LLS,

u| о = uue.

 

 

Здесь введен скалярный параметр у — коэффициент при векторах внешних

о

поверхностных сил S и перемещений ие.

586 Глава 6. Теория устойчивости

Будем считать, что решение этой задачи относительно вектора переме­

щений и найдено при всех значениях /л из некоторого интервала (рь\, /1 2 ),

(п)

тогда можно рассматривать функции u(/i) и T(/i). Подставим тензор напря­

(п)

жений T(/i) в задачу устойчивости (6.1.65), (6 .1.6 8 ) и включим параметр рь в число неизвестных этой задачи наряду с вектором w. Тогда задача (6.1.65), (6 .1.6 8 ) формулируется следующим образом: найти такие значения параметра

р , при которых система

уравнений

(6.1.65),

(6 .1.6 8 ) имеет

нетривиальное

решение w. Это и есть

задача на

собственные значения.

Отметим, что

она решается совместно

с «основной» задачей (6.1.69) нелинейной

теории

упругости, поскольку в

уравнения

(6.1.65),

(6 .1.6 8 ) входит

тензор

(п)

T(/i),

являющийся решением задачи (6.1.69).

 

 

 

6.1.10. Уравнения теории устойчивости для моделей А \ и A Y

нелинейно-упругих сред

Наиболее простой вид формулы (6.1.57) и (6.1.58) имеют для модели Ау (см. упр. 3):

V V V

Tg = F • Tg • F T+ V ® w T• F • Т • F T+ F • Т • F T• V ® w,

Тогда задача теории устойчивости (6.1.65), (6.1.68) для модели Ау нелиней­ но-упругого тела с учетом формул (6 .1.2 0 ) имеет следующий вид:

о

v

 

 

• • V (8 ) w)T • F T) = 0 ,

 

(V (8) w • F + F T• V (8 ) w),

 

(6.1.71)

 

V

= 0

,

• • V ( g ) w ) T - F T)o

Wo = 0U..

Для модели Ai формулы (6.1.57), (6.1.58) принимают вид

§ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями

587

Тогда задачу теории устойчивости (6.1.65), (6.1.68) для модели А\ нелинейно­ упругого тела можно записать в виде

V - ((4H (s) • •S(w)) • F -1

—2S(w) • T • F _1 - U “2 - T - U “2 -V(g)wT+

 

+ (F_1T • • V ® w )U -2 • T • F -1) = 0 ,

I(w ) = T u -2 • V ® w • F _lT + F _1 • V(g)wT- U " 2),

(6.1.73)

n • ((4H (s) • -t(w)) • F _1

- 2?(w) • T • F _1 —I T 2 • T • I T 2 • V ® w T+

 

+ (F“ 1T • • Vex) w )U “ 2 . T - F _1)o =0,

 

 

Tier

WoTu = 0 .

Для других моделей (Ац и Ajy) необходимо использовать общие уравне­ ния теории устойчивости (6.1.65) и (6 .1.6 8 ).

6.1.11. Геометрическая картина преобразования малой окрестности точки при переходе в варьированную конфигурацию

В заключение этого параграфа рассмотрим полезную

для дальнейшего

анализа геометрическую

картину преобразования малой

окрестности точ­

ки М тела при переходе

из конфигурации JC в JC. Используем для этого

аналог теоремы Коши — Гельмгольца

(см. т. 2, п. 1.4.5).

 

Подобно тому, как это

сделано в

т. 2, п. 1.4.8, выберем в конфигурации

/С элементарный радиус-вектор dx, соединяющий две близкие материальные точки М и М' (рис. 6.1.2). При переходе в варьированную конфигурацию 1C точка Л4, согласно (6.1.2), имеет радиус-вектор х, а точка М! — радиус-

вектор х',

тогда

 

 

 

dx = x.f —х,

ddx = x.f — x.

(6.1.74)

Здесь ddx

— элементарный радиус-вектор, соединяющий точки

А4 и А4/

в конфигурации JC.

 

 

Из геометрических соотношений (см. рис. 6.1.2) следует, что

 

 

ddx —dx = Sx.' —dx,

(6.1.75)

где Sx! и Sx — вариации радиус-векторов xf и х, соответствующих близким материальным точкам М и М' с координатами Х г и Х'г.

Из условия близости этих точек имеем

Sx,(X ,i) = S x(X i + d X i ).

(6.1.76)

§ 6.2. Теория устойчивости линейно-упругого тела с малыми деформациями

589

тогда, как было показано в т. 2, п. 1.4.8 (теорема 1.4.10), преобразование ма­ лой окрестности тела при переходе в варьированную конфигурацию JCсводит­ ся к суперпозиции двух преобразований: растяжение-сжатие (деформация) окрестности вдоль собственных направлений q£a и преобразование поворота окрестности как жесткого целого вокруг оси с направляющим вектором ил

Далее будет показано, что именно второе преобразование играет основную роль при исследовании задач устойчивости упругих сред.

Упражнения к § 6.1

Упражнение 1. Используя формулу (т. 2, (1.3.34))

з

F = Л“Р“ 0 Р<*

а=1

и формулы (6.1.35), (6.1.39), (6.1.44) для Ла£, р а£ и р а^, проверить, что соотношение (6.1.14): = V 0 w T• F действительно выполняется.

Упражнение 2. Показать, что формулы (6.1.35) можно представить в виде

Ащ = 2Лар а • (V ® w) • р а .

Упражнение 3. Используя формулу (т. 2, (2.2.31)) связи тензоров Р и Т, а также

I v

явные формулы (т. 2, (3.2.22) и (3.2.24)) связи между тензорами Т, Т и Т, показать, что соотношения (6.1.57), (6.1.58) при п = I и V можно записать в следующем виде:

= F “ lT. T r F - 1 - V(g)w- T —Т - V(g)wT,

v

= F • • F T+ V (8 ) w • Т -\- Т • V (8 ) w,

Р« = \[g/°g^~2 • Т е • F - 1 + P (V • w) - 2F_1 • e(w) • F • P - P • V ® w T,

/ о v

P 5 = yjg/gT^ • F T+ P • V О w + P (V • w).

Упражнение 4. Показать, что формулы (6.1.49) и (6.1.50) при п = I и V в точности совпадают с формулами (6.1.20)—(6.1.24).

§6.2. Теория устойчивости линейно-упругого тела

смалыми деформациями

6.2.1. Малая деформация тела в варьированной конфигурации

Рассмотрим линейно-упругие среды с малыми деформациями. Согласно

определению (2.1.2), градиент деформации F, описывающий движение те-

о

ла из конфигурации /С в /С, мало отличается от метрического тензора Е,

590 Глава 6. Теория устойчивости

метрические матрицы gij и

 

мало отличаются между собой и различием

 

 

о

 

 

набла-операторов в конфигурациях JC и JC можно пренебречь:

 

F ~

Е,

gij ~

V ~ V.

(6.2.1)

С учетом этого результата, как обычно в теории малых деформаций, далее не

о

будем различать операторы V и V.

Собственные векторы ра и pQ в итоговых формулах (6.1.48)—(6.1.50) (но не в промежуточных формулах!) при малых деформациях, в силу (6 .2 .1), мож­ но считать совпадающими с декартовым базисом ёа, а собственные значения

Аа — совпадающими с единицей:

 

Р а ~ Р а ~ ё а, Аа а;1,

(6.2.1а)

поэтому тензоры

U и V, а также их степени U n, V n и тензор поворота О

мало отличаются

от Е:

U ^ V ^ E , Un ^ V n ^ E , О ^ Е .

(6.2.16)

Для движения из /С в варьированную конфигурацию /С, которое характе­ ризуется тензором (6.1.14), допущение о малости деформаций сформули­ руем иначе: будем полагать, что мала только симметричная часть е тензора F^ = V 0 w т • F ^ V (g) w т, а кососимметричная его часть f2(w) может быть произвольной:

= V 0

w т = s(w) —f2(w),

 

O(w) = j ( V 0 w -

V C) w T),

(6.2.2)

II

e (w ) II <

1 *

 

Из геометрической картины движения тела в варьированной конфигу­ рации (п. 6 .1.11) следует эквивалентность допущения (6 .2 .2 ) о малости де­ формаций в варьированной конфигурации тому, что относительные удли­

нения

материальных отрезков, ориентированных вдоль

собственных

на­

правлений

qa, считаются малыми: \еа\ <С 1, а углы поворота

базиса

qa,

характеризуемые вектором CJ, могут быть произвольными.

 

 

 

Как было показано в п. 2.1.3, при малых деформациях

все

энергетиче-

(п)

ские тензоры деформаций С совпадают с тензором малых деформаций (см. (2.1.19)), который будем обозначать следующим образом:

(п)

1

(6.2.3)

С = е° = yVcx) u° + V ® U 0 t).

Здесь u° = х —х — вектор перемещений материальной точки из конфигура­

ции К, в /С.

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности