книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 6.3. Теория устойчивости тонких упругих оболочек |
601 |
aJf= 2C 66e?2, |
a0f |
]= 2Стя°12, |
а^3 ] = 2С44е%, |
a f f = 0, (6.3.20) |
||||
0(0) |
с п |
0 |
0(1) |
л |
0(0) |
л |
0(1) |
п |
а13 = 2 ^ 1 3 , |
^13 = |
0 , |
^зз |
- 0 , |
= |
0 . |
||
Поскольку упругие свойства материала оболочки одинаковы в основном и варьированном состояниях (определяющие соотношения в задачах (6 .2 .12) и (6.2.16) одни и те же), для напряжений в варьированном состоянии справедливы такие же формулы, как (6.3.19), (6.3.20), но без индекса «0»:
<?ij = a f + Х 3а Т , |
(6.3.21) |
где |
|
&аа —Сааеаа ~\~Caf3^f3f3y |
&аа —СааКаа + Сар^рру |
Oi, (3 —1, 2, |
|||||||
а \2 = |
2Сбб<312, |
'12 |
= 2Сбб^125 ^1? |
= |
|
2С55613 |
(6.3.22) |
||
|
= |
|
|
13 |
|
, |
^33 = |
°- |
|
|
2 С 4 4 е 2з ,(?2 Ъ |
= 0 ’аТТ733 = |
|
||||||
|
|
|
|
|
т(0) |
0 |
|
|
|
Усилия Тар, |
Т®р, |
моменты Мар, |
М®р и перерезывающие силы Qa, Q^ |
||||||
в основном и варьированном состояниях введем по формулам, аналогичным (2.10.28). С учетом (6.3.19) и (6.3.21) эти формулы имеют вид
|
|
h/2 |
|
rpO _ |
h/2 |
|
|
Та{3 = |
v ap d X 3 = |
h a f , |
3 _ |
* 0 ( 0 ) |
|
|
1ap — |
a f d X ' 3 = |
ha.aP |
|||
|
|
-h/2 |
|
|
-h/2 |
|
|
h/2 |
h3JD |
h/2 |
|
||
M ap = |
|
M ^ = |
(T,I f X i X 3 = |
(6.3.23) |
||
oap X 4 X> = -o ^ > , |
||||||
|
-h/2 |
|
|
-h/2 |
|
|
|
|
h/2 |
|
|
h/2 |
|
|
Qa |
a a3d X 3 = |
h a f , |
Qa = |
a°a3d X 3 = |
ha°af . |
|
|
-h/2 |
|
-h/2 |
|
|
Подставляя в формулы (6.3.23) соотношения (6.3.20), получаем определяю щие соотношения для оболочки в основном и варьированном состояниях:
' Таа —Сааеаа + Сарерр, |
Т\2 = 2 Сббе12, |
(6.3.24) |
||
Маа = Т)ааКаа ~\~DapXpp, |
М\<2 = 2DQQX\2, |
|||
,Q i |
= 2C^e\z, |
Q2 = 2С44в2з; |
|
|
Таа = ОааРаа "6 Оар^рр, |
Т^2 = 2 Сб6 е?2 ’ |
(6.3.25) |
||
Х^аа = Таа^аа ”6 Т>ар Я ^, |
ЛД2 = 2DQQ>C®2, |
|||
^ |
= 2C55e°l3, |
Ql = 2С44е°23. |
|
|
§ 6.3. Теория устойчивости тонких упругих оболочек |
603 |
се= 1,2,3. |
(6.3.29) |
Здесь, как и ранее, индексы а , /3, у образуют четную подстановку.
Примем во внимание соотношения (6.3.23), связывающие усилия Т ^ , мо
менты и перерезывающие силы с напряжениями а также
учтем, что согласно (6.3.14) В ^ = В ^ = 0 (се = 1,2, 3) и, следовательно, при суммировании по 5 ненулевыми являются только два слагаемых — при 5 = 1 и 2. Тогда формулы (6.3.28) можно записать следующим образом:
Fea = (-1 Г (Д (° 7 ? + Bf^Ql - |
В ^ |
|
|
- |
в ^ м ^ |
- В ^ м % ) = |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( - l )a S |
B |
j Q |
2 |
- s W |
- B % |
) , |
«,/3= 1,2, |
с^ /3 ; |
|||
,S = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fe3 = - |
|
|
|
- |
(1?У М°2 - |
7 ' ^ ° ) ) , |
|
(6.3.30) |
|||
,S= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м«« = < - i r |
£ ( |
| |
|
- |
в<, з ^ ) |
- |
ВТ |
К |
) - |
|
|
|
|
S= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений |
(6.3.27) |
после |
подстановки |
в нее формул |
(6.3.30), |
||||||
а также определяющих соотношений (6.3.24) и кинематических соотношений (6.3.10), (6.3.12), (6.3.14) и (6.3.16) представляет собой замкнутую систему
пяти |
уравнений |
второго порядка относительно |
пяти неизвестных функций: |
|||
(0) |
(0) |
(0) |
и |
(1) |
(1) о. |
u |
w \ \ |
wK2 \ |
w y |
w\ J, |
J. Это и есть искомая система уравнении устойчи |
||
вости оболочки Тимошенко.
Граничные условия для уравнений равновесия оболочки (6.3.26) в ос
новном состоянии совпадают с граничными |
условиями, представленными |
в и. 2.10.8. Для уравнений (6.3.27), (6.3.30) |
устойчивости оболочки гра |
ничные условия имеют соответствующий тип, но с нулевыми заданными функциями (2.10.50) на контуре £, ограничивающем оболочку.
6.3.5.Устойчивость балки
Вкачестве примера рассмотрим задачу об устойчивости балки (стержня)
при действии на него сжимающей продольной нагрузки ТХ1 = —Т° < 0. Ось О Х 1 ориентирована в направлении продольной оси стержня (рис. 6.3.1).
Поскольку срединная поверхность балки представляет собой плоскость, то для нее (см. и. 2.10.10):
.4] = Л‘2 = 1, к\ = /с2 = 0 .
§ 6.3. Теория устойчивости тонких упругих оболочек |
605 |
Подставляя решение (6.3.32) в кинематические соотношения (6.3.16), на ходим, что ненулевыми являются только деформация сдвига е\% и искривле ние К\\\
Ь (°) |
(1)\ |
о |
|
е 13 = g ( ^ 3 ,1 ” S |
) ’ |
е И = е 22 = е 12 = е 23 = 0 , |
|
|
|
Х22 = Х12 = 0. |
(6.3.37) |
После подстановки этих выражений в определяющие соотношения (6.3.24) получаем, что ненулевыми являются только момент М\\ и перерезывающее усилие Qi:
М\\ = A i x n , Q\ = 2(755в13, |
|
Т\ 1 = Т22 = Т\2 = 0, М22 = М\2 = 0, Q2 —0. |
(6.3.38) |
Тогда в систему уравнений теории устойчивости (6.3.27) с учетом (6.3.36) входит только два ненулевых уравнения:
M\\t1 —Qi = 0 ,
Qu + |
= 0. |
(6.3.39) |
Эта система совместно с уравнениями (6.3.36)-(6.3.38) представляет собой
замкнутую систему уравнений относительно двух неизвестных функций w^
(О и w\ J.
Преобразуем систему (6.3.39) следующим образом. Подставим выражения
(6.3.35) и (6.3.37) для В ^2 |
и е13 во второе уравнение системы (6.3.39): |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ ^ W3°h ~ wu ) Tu |
= |
(6-3.40) |
||||
отсюда |
|
|
|
|
|
2С55 + Т0! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
wl,l |
— |
( 0 ) |
|
(6.3.41) |
||||
|
|
|
|
2^55 - |
|
W3,11* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Д, |
|
|
|
||
Тогда, в силу (6.3.35) и (6.3.38), |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Д/Г |
— |
П |
/ 2 0 5 |
5 |
+ ^ 4 |
(0) |
|
(6.3.42) |
|
|
|
|
|
|
|
2С55 - Д, • |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(0) |
_ |
Ц |
(0) _ ^ ( 1)л _ |
__2^55 |
( 0 ) |
(6.3.43) |
|||
|
|
|
Б 12 |
— |
о '■“ '3,11 |
w \,\> ~ |
9Гл |
T ° W3’U' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^55 — И |
|
|
|
Исключив Qi из двух уравнений системы (6.3.38), получим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Мц,ц |
+ В ($ Т ?1 = 0 . |
|
(6.3.44) |
||||
Если |
в |
это |
уравнение |
подставить |
выражения |
(6.3.42) и (6.3.43) |
для М\\ |
|||||
и В ^2 |
, |
то |
найдем окончательную форму |
уравнения |
теории устойчивости |
|||||||
балки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3.45) |
|
|
|
|
|
« Й п |
+ k 2 w f,n = |
°> |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
606 |
|
Глава 6. Теория устойчивости |
|
|
||
где |
|
2<7557п |
= |
Т° |
|
|
|
|
|
(6.3.46) |
|||
|
|
D11(2C55+T 01) |
A I(1 - Т ° / 2С55) |
|
||
|
|
|
|
|||
— |
уравнение для нахождения собственных значений к (т. е. сжимающей |
|||||
|
гп0\ |
|
|
|
(6) |
. |
нагрузки i u), при которых существует нетривиальное решение |
w3 |
|||||
|
Общее решение уравнения (6.3.45) имеет вид |
|
|
|||
|
wз°^ = CQ + с \Х 1 + С2 sinfcX1 + С3 cosfcX1, |
|
(6.3.47) |
|||
где CQ, сь С2 и сз — константы интегрирования. |
|
|
||||
|
Подставляя выражения (6.3.47) в (6.3.42), получаем |
|
|
|||
|
М п = |
X |
(c2sm kX l + c 3coskX l). |
|
(6.3.48) |
|
|
|
1 —1 /ZС55 |
|
|
|
|
Рассмотрим случай граничных условий, когда на торцах балки задано шарнирное закрепление:
X 1= 0: Е7? = 0, |
= 0, М и |
= 0; |
X 1= I: «7д0) = 0 , |
Мп = 0 . |
(6.3.49) |
Подставляя выражения (6.3.31), (6.3.47) и (6.3.48) в условия (6.3.49), имеем систему линейных уравнений для нахождения констант U\Q, CQ, с \ ,
С7ю = 0 , со |
+ сз = 0 , сз = 0 , |
|
CQ + c\l + С2 sin kl + сз cos kl = |
0, С2 sin kl + сз cos kl = 0. |
(6.3.50) |
Решение этой системы: CQ = 0 и сз = 0. Константа С2 не может быть равной нулю, поскольку в этом случае получим тождественно нулевое решение для
следовательно, С2 ф 0 , но тогда должно выполняться условие
sinfc/ = 0. |
(6.3.51) |
Найдем такие значения к, при которых существует решение уравнения
(6.3.51): |
п = 1,2,3,... |
(6.3.52) |
к = птт/1, |
||
Это и есть спектр собственных значений задачи (6.3.45), (6.3.49). |
|
|
С учетом (6.3.51) константа с\ |
также должна быть нулевой: с\ |
= 0. |
В итоге собственные функции (6.3.47) задачи (6.3.45), (6.3.49) принимают
вид |
|
wз°^ = С2 sin |
(6.3.53) |
и определяются с точностью до константы |
С2(это следует и из уравнения |
(6.3.45)). |
|
§ 6.3. Теория устойчивости тонких упругих оболочек |
607 |
Подставляя выражения (6.3.46) в (6.3.52), находим уравнение для опреде
ления сжимающей нагрузки Т°: |
|
п0 |
|
|
|
г° = Dll ( 1 |
П27Г2 |
(6.3.54) |
|||
2С55 |
|||||
12 ’ |
|||||
отсюда |
|
|
|||
П27Г2Пц |
|
|
|||
rj-10 _ |
|
(6.3.55) |
|||
|
г2( 1 + |
|
л ' |
||
|
2С55Г |
|
|||
|
|
|
|
||
Поскольку зависимость Т° от п является монотонно возрастающей при увеличении к, то Т° достигает минимального значения при п = 1. Это и есть критическое значение сжимающей нагрузки Т°, при котором происходит потеря устойчивости балки:
rriO _ |
7Г2£>11 |
-^кр |
(6.3.56) |
|
г2( 1+ Л DЦ |
|
2с 55г2 |
При Т° < Т^р балка остается устойчивой и нетривиального решения заLKp
дачи (6.3.45) нет, а при Т° = Т^р впервые происходит потеря устойчивости и реализуется нетривиальное решение (6.3.53).
Для очень длинных балок, для которых выполняется условие
2
щт 2 « 1
24С55 U / ’
выражение в скобке в формуле (6.3.56) практически совпадает с единицей. В результате получаем формулу Эйлера для критического усилия:
ГТ10 |
ГТ1о 7Г2Пц |
7Т2НС\\ ( /А 2 |
(6.3.57) |
|
1 кр |
1 Э |
/2 |
12 ( т ) ' |
|
|
|
|
||
Для коротких балок, для которых |
2 |
~ Г формула Эйлера |
||
24 С55 VI J |
||||
(6.3.57) дает завышенное |
значение для |
критического |
усилия по сравнению |
|
с (6.3.56).
Отметим, что выше везде полагалось справедливым условие Т0/2С$$ < 1.
Используя формулу (6.3.56), действительно находим, что |
|
||||
т0 |
< |
ф |
|
7ГС\\П < 1. |
(6.3.58) |
2Q55 |
2Q55 |
24С55Г(1 |
|||
|
|
|
24С55/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, это условие выполняется всегда.
Литература
1.Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (приме нение методов теории функций комплексного переменного). М.: Наука, 1978.
2.Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004.
3.Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. 336 с.
4.Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991.
5.Бабкин А.В., Селиванов В.В. Прикладная механика сплошной среды: В 3 т. Т. 1. Основы механики сплошных сред / Под ред. В.В. Селиванова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. 368 с.
6.Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с.
7.Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.
8.Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 304 с.
9.Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 548 с.
10.Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М .: Наука, 1976. 512 с.
11.Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2000. 256 с.
12.Горшков А.Г., Рабинский Л.И., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и меха ника сплошной среды. М.: Наука, 2000. 216 с.
13.Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. М.: УРСС, 2002. 416 с.
14.Гриеолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.
15.Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды: Пер. с англ. М.: Мир, 1965. 455 с.
16.Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука, 1990. 312 с.
17.Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. 368 с.
18.Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк., 2001. 576 с.
19.Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.
20.Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. №3. С. 86-100.
Литература |
609 |
21.Димит риенко Ю.И., М инин В.В., Сыздыков Е.К. Численное моделирование процессов тепломассопереноса и кинетики напряжений в термодеструктирующих композитных обо лочках / / Вычислительные технологии. 2012. Т. 17. №2. С. 44-60.
22.Димит риенко Ю.И., Соколов А.П. Многомасштабное моделирование упругих компози ционных материалов // Математическое моделирование. 2012. Т. 24. № 5. С. 3-20.
23.Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002. 168 с.
24.Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.
25.Зарубин В.С., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошных сред. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с.
26.И лью ш ин А .А . Пластичность. Ч. 1. Упруго-пластические деформации. М.: Изд-во МГУ, 2004. 388 с.
27. |
И лью ш ин А .А . Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с. |
28. |
И лью ш ин А .А ., Ломакин В.А., Ш маков А.П. Задачи и упражнения по механике сплош |
|
ной среды. М.: Изд-во МГУ, 1979. 200 с. |
29.И ш линский А.Ю ., И влев Д .Д . Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2003.
30.Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наукова думка, 1984. 320 с.
31. Коларов Л., Валт ов А ., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 304 с.
32.Колмогоров А.Н ., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2006. 572 с.
33.Колосов Г.В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной пере менной к теории упругости. М .-Л .: ОНТИ, 1935. 224 с.
34.Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.
35.Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.: Гостехиздат, 1943. 287 с.
36. Л ехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.
37.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
38.Л яв А. Математическая теория упругости. М .-Л .: ОГИЗ Гостехтеориздат, 1935. 675 с.
39.М алинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.
40.М ейз Дж. Теория и задачи механики сплошной среды: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 318 с.
41.Механика сплошных сред в задачах: В 2 т. Т. 1, 2 / Под ред. М. Э. Эглит. М.: Москов ский лицей, 1996. 394 с., 394 с.
42.М изес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии / / Теория пластичности. Сб. ст. М.: ИЛ, 1948. С. 57-69.
43.М ихлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
610 |
Литература |
44.М усхелиш вили Н. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 709 с.
45.Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел: В 2 т. Т. 1. М.: ИЛ, 1954. 647 с. Т. 2. М.: Мир, 1969. 863 с.
46.Н икиф оровский В.С., Ш емякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новоси бирск: Наука СО, 1979. 272 с.
47.Н овацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
48. |
Н овацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. 307 с. |
49. |
Новож илов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370с. |
50. |
Новож илов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431 с. |
51.Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. 464 с.
52.Н апкович Н.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. 640 с.
53.Неткевич В.В. Основы механики сплошных сред. М.: УРСС, 2001. 400 с.
54.Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 169 с.
55.Нобедря Б.Е., Димит риенко Ю.Н. Связанные задачи линейной термомеханики дефор мируемых твердых тел // Успехи механики. 1987. Вып. 10. № 2. С. 97-137.
56. Поздеев А .А ., Трусов П.В., Н яш ин Ю.Н. Большие упруго-пластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. 232 с.
57.Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. 294 с.
58.Прагер В. Введение в механику сплошных сред: Пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 312 с.
59.Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород // Сб. ст. к 75-летию Е. И. Шемякина / Под ред. Д. Д. Евлева и Н.Ф. Морозова. М.: Физматлит, 2006. 864 с.
60.Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
61.Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1, 2. Спб.: Лань, 2004. 528 с., 560 с.
62.Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм: Пер. с фр. М.: ГИФМЛ, 1961. 519 с.
63.Тимошенко С. П., Еере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1976. 669 с.
64.Тимошенко С.П., Еудъер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.
65. Тимошенко С.П., Янг Д .Х ., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машинострое ние, 1985. 472 с.
66. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. 576 с.
67.Уржумцев Ю.С., М аксимов Р.Д. Прогностика деформативности полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1975. 416 с.
68. Ф илин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. 384 с.
69. Х илл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 407 с.