книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

5 .1 .8 . П редст авление ассоциированны х м оделей пласт ичност и А ^ в т ензорных базисах различны х групп симмет рии

Запишем представления (5.1.74а-д) для трех основных групп симметрии Gs\ О, Т3 и I, выбирая совместные инварианты J^ таким же образом, как и для фойгтовских и вязкоупругих сред.

1.Для изотропной среды функциональный базис совместных инвариан­

(п)(п)

тов J ^ ( T / p , С р) состоит из девяти инвариантов, в качестве которых можно выбрать следующие (см. (4.2.7) и т. 2, (3.13.35)):

Подставляя эти выражения в (5.1.63) и группируя по тензорным степеням, получаем следующее представление определяющих соотношений (5.1.63) в тензорном базисе:

где обозначены скалярные функции (сравните с т. 2, (3.8.46а)):

+ (p2I\ + Pzh, -<Р2 = ¥2 + Vsh, Тз+7 = ^ 6+7 , 7 = 1,2,3. (5.1.78)

492 Глава 5. Пластические среды

Для модели упруго-пластической среды (5.1.59) функции щ , и ср^, согласно (5.1.64), являются нулевыми. Таким образом, получаем соотношение

аналогичное определяющему соотношению идеально-упругой изотропной сре­ ды (т. 2, (3.8.46)), но записанное в обратном виде. Здесь

а параметр Тейлора wp только один.

Для упруго-пластической среды, согласно принципу Онзагера, в число ар­ гументов функций пластичности fp входят только линейные и квадратичные

Формулы (5.1.78)—(5.1.82) дают общий вид определяющих соотношений ассоциированной модели изотропной упруго-пластической среды.

Для частных моделей изотропных упруго-пластических сред обычно при­ нимают дополнительные допущения о виде упругого и пластических потен­ циалов ( и fp. Экспериментально установлено, что достаточно адекватное описание поведения многих упруго-пластических сред может быть получено с помощью модели Губера — Мизеса, в которой пластический потенциал / только один и зависит явным образом только от одного совместного инвари­ анта YH :

Здесь инвариант Y# вводится как свертка тензора P # — девиатора тензора

(п)(п)

Т —Я С е (см. определение девиатора (4.2.81)):

где Н — параметр упрочнения, представляющий собой скалярную функцию вида

(п)

Яо и по — константы; Yp — инвариант девиатора тензора С р, определяемый аналогично (5.1.85):

(п) (п) Инварианты У# и Yp называют интенсивностями тензоров Т —Я С р и

(п)

Ср соответственно.

(п) Девиатор можно построить для любого тензора, например для тензора Т:

Любой девиатор тензора является ортогональным к метрическому тензору

Инварианты Yp и Ур можно выразить через главные инварианты соответ­ ствующих тензоров (см. упр. 2 к § 5.1):

Непосредственной проверкой можно убедиться, что инвариант У^ можно

и подставляя их в (5.1.82), получаем

(п)(п)

фх = k h fY {2h{T) + H Ix{Cp)), Ф2 = —Зх/i/y, ^ 7 = - 3 k h f Yя . (5.1.916)

Тогда определяющие соотношения (5.1.81) принимают вид

В силу свойства (5.1.89) девиаторов, из (5.1.92) следует, что модель Губера — Мизеса является пластически-несжимаемой, т. е.

Поэтому с учетом (5.1.87) соотношение (5.1.92) можно записать в виде квазилинейного соотношения между девиаторами:

Умножая соотношение (5.1.94) скалярно само на себя, находим выражение для к при пластическом нагружении:

Если выражение (5.1.95) подставить в (5.1.94), то число независимых уравнений в нем сократится до четырех, тогда полная система определяющих соотношений образуется формулами (5.1.84), (5.1.93) и (5.1.94), в которых шесть независимых соотношений.

Выберем пластический потенциал в форме Мизеса

где as = as(e,wp) — заданная функция от в и wp, называемая пределом те­ кучести. Тогда /у = 1/(3<Тд), и итоговые соотношения пластичности (5.1.84), (5.1.92) и (5.1.93) принимают вид

Параметр Тейлора (5.1.38) с учетом пластической несжимаемости (5.1.93) можно записать через девиаторы

Считают, что рассматривается модель изотропной пластической среды с линейным упрочнением, если параметр упрочнения Н (5.1.86) является константой, т. е. Н = Щ, щ = 0.

2. Для трансверсально-изотропной среды функциональный базис сов-

Подставляя эти выражения в (5.1.63) и группируя их по тензорным степеням, получаем представление определяющих соотношений (5.1.63) трансверсаль­ но-изотропной пластической среды в тензорном базисе:

Для модели упруго-пластической среды (5.1.58) рю = рп = 0 , тогда соотношение (5.1.101) принимает вид

wР — параметры Тейлора (5.1.62) для трансверсально-изотропной среды, число которых в данном случае равно трем:

496 Глава 5. Пластические среды

Для упруго-пластической среды, согласно принципу Онзагера, в число

ляя тензоры производной (5.1.100) в (5.1.74в), получаем следующее выраже-

Для частных моделей трансверсально-изотропных упруго-пластических сред принимают дополнительное допущение о виде потенциалов £ и fp.

В двухпотенциальной модели полагают, что имеется два пластических потенциала, один из которых — /2 — зависит только от тех инвариантов

В трансверсально-изотропной двухпотенциальной модели Губера — Мизеса полагают, что каждый потенциал f\ и /2 является функцией от

совместных инвариантов Губера — Мизеса для трансверсально-изотропной среды лДЗ) .

— совместные инварианты, которые однозначно выражаются через инвариан­ ты (5.1.99) (см. упр. 5 к § 5.1):

тензора пластической деформации к соотношению (5.1.118) следует добавить еще два скалярных уравнения:

где fp определяются по формулам (5.1.110). Эти функции обычно выбирают в квадратичном виде, подобном модели Мизеса (5.1.96):

обычно определяют экспериментально. Для анизотропных сред различие пре­ делов текучести при растяжении и сжатии обычно достаточно существенно, поэтому функции a+s и a~s могут значительно отличаться.

Отметим, что хотя функции /д зависят от знака инвариантов Y\H и >2я > они являются дифференцируемыми всюду, в том числе и при Y\H = 0, Y^H — = 0; их производные (5.1.113) имеют следующие значения:

3.Для ортотропной среды функциональный базис совместных инвари­

(п)(п)

антов j \ ° \ Т , С р) состоит из 12 инвариантов, к которым добавляют еще два, вообще говоря, зависимых инварианта для получения набора инвариантов, симметричного относительно всех векторов базиса са (см. (4.2.15), (4.2.16) и т. 2, (3.13.37)):

Тензоры производной в этом случае имеют следующий вид (см. (4.2.17)):

Подставляя эти выражения в (5.1.63), получаем представление определя­ ющих соотношений (5.1.63) для ортотропной пластической среды в тензорном базисе:

Для модели упруго-пластической среды (5.1.59) pj = ps = £>9, тогда соот­ ношения (5.1.124) принимают вид

7 —1

где

Число параметров Тейлора (5.1.62) для ортотропной среды равно шести:

7 = 1,2,3, а ф [3 Ф 7 Ф a.

Для ортотропной упруго-пластической среды пластические потенциалы fp (5.1.65) зависят от всех совместных инвариантов (5.1.122), кроме кубического

т(0) Т(0)о+ инварианта Jg = ц (X):