|
|
§ 4.4. Постановки задач в теории вязкоупругости |
411 |
из условия минимального отклонения функций Aa(t) и Асгэ(£) в К |
точках U |
( i = \ , |
К): |
к |
|
(п)(п)
Функции L (fcj) и / i(fcy), согласно (4.4.37) и (4.4.45), не содержат ника ких материальных констант, поэтому при заданных к® их значения известны.
Параметры иногда для улучшения сходимости итерационной проце дуры поиска минимума функционала (4.4.51) задают априорно, например, в
виде |
= £(7), где |
— некоторые моменты времени. Тогда, подставляя |
в уравнение (4.4.50) |
экспериментальные значения |
напряжений релаксации |
Д сгэ(£7) в |
моменты |
времени £7, для нахождения |
констант В W получаем |
систему линейных алгебраических уравнений, которую можно легко решить численно, например, методом Холецкого [9].
Далее осуществляется поиск значений параметров £7, при которых функ
ционал Д (4.4.51) достигает минимума. Значения В^) при таких £7 |
и явля |
ются искомыми. |
|
|
Параметры |
и В ^ \ полученные указанным выше способом для резины |
и полиуретанового эластомера, приведены в табл. 4.4.1. Значения |
и В ^ |
одинаковы для моделей Ап и Вп, но различаются для моделей с разными номерами п.
Для полиуретана в процессе аппроксимации моделями В\у и By была использована кривая релаксации при более высоких значениях деформации растяжения (5i = 80 %), чем для моделей В\ и Вц (деформация д\ = 8,3%), что улучшило качество дальнейшего моделирования вязкоупругих свойств
Таблица 4.4.1. Значения констант В^А и Д 7) для резины и полиуретана
Модель В п, |
|
Резина |
|
|
Полиуретан |
|
п |
I |
II |
IV |
V |
I |
II |
IV |
V |
|
|
|
|
|
5,083 |
4,819 |
2,047 |
0,993 |
в ь \ |
2,765 |
2,598 |
2,253 |
2,078 |
3,568 |
3,384 |
1,827 |
0,886 |
МПа |
16,475 |
15,486 |
15,424 |
12,385 |
2,437 |
2,311 |
0,816 |
0,396 |
|
4,920 |
4,626 |
4,009 |
3,698 |
0,312 |
0,296 |
0,140 |
0,068 |
|
|
|
|
|
3,068 |
2,909 |
0,939 |
0,456 |
г(т)} |
|
|
|
|
0,2 |
0,2 |
1,2 |
1,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5,4 |
5,4 |
24 |
24 |
С |
5,0 |
5,0 |
5,0 |
5,0 |
66 |
66 |
300 |
300 |
|
30 |
30 |
30 |
30 |
300 |
300 |
7500 |
7500 |
|
|
|
|
|
7500 |
7500 |
14700 |
14700 |
А, % |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,3 |
0,3 |
0,7 |
0,7 |
§ 4.4. Постановки задач в теории вязкоупругости |
413 |
к |
1 - |
mm. |
|
Д- = и |
|
%—1 |
°\(кт ) |
|
Для моделей Вп пространство параметров оптимизации /а и (3 является двумерным, а для моделей Ап пространство параметров Iь Ц, т — трехмер ным. Для ускорения решения задачи оптимизации применялся метод гради ентного спуска с различным перебором начальной точки поиска минимума. Значения полученных констант /а и /3 для резины и полиуретана приведены
в табл. 4.4.2, |
а констант l\, I2 |
и т — в табл. 4.4.3. |
|
|
|
Таблица 4.4.2. Значения констант д и (3 в моделях Вп вязкоупругих сред |
|
|
для резины и полиуретана |
|
|
|
Модель Б п, |
|
Резина |
|
|
Полиуретан |
|
п |
I |
II |
IV |
V |
I |
II |
IV |
V |
pt, МПа |
5,145 |
21,31 |
23,52 |
5,88 |
3,68 |
13,662 |
12,61 |
2,627 |
/3 |
-0,556 |
-1 |
1 |
1 |
0,515 |
-0,46 |
1 |
0,778 |
А, % |
9 |
10 |
19,4 |
23,8 |
11,8 |
14,3 |
16,8 |
23,2 |
Таблица 4.4.3. Значения констант l\, I2 я т в моделях Ап вязкоупругих сред для резины и полиуретана
Модель Ап,
п
£ 1=1
12 , МПа
ш, МПа
А, %
|
Резина |
|
|
Полиуретан |
|
I |
II |
IV |
V |
I |
II |
IV |
V |
1,2 |
39,8 |
0,2 |
2,8 |
-12,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
40 |
37,2 |
11,2 |
1,8 |
17,8 |
29,2 |
1,6 |
0,2 |
11 |
20 |
19,8 |
19 |
-2,6 |
19,6 |
20 |
8,2 |
6,1 |
10 |
14,1 |
14,9 |
13,6 |
13,5 |
25 |
35,8 |
Экспериментальные диаграммы деформирования cr^(5i) резины и поли уретана при растяжении, а также аппроксимация этих диаграмм с помощью моделей Ап и Вп несжимаемых вязкоупругих сред представлены на рис. 4.4.3 и 4.4.4. Для рассмотренных материалов наилучшего качества аппроксима ции удается добиться с помощью моделей А\ и В\, для резины модель Ai достаточно точно аппроксимирует диаграмму crf(5i) на всем интервале деформирования, включая область максимальных деформаций (более 1 0 0 %), в то время как остальные модели в этой области дают довольно ощутимую погрешность.
В. После того, как все константы В ^ \ и I I 2 , ш или т , /3 опре делены, можно провести верификацию (т. е. проверку адекватности) моделей Ап и Вп, например, выполняя расчеты кривых релаксации при различных значениях параметра к® с помощью уравнения (4.4.44) для ступенчатого процесса (4.4.46):
§ 4.5. Диссипативный саморазогрев бруса |
419 |
Температуру в вязкоупругой среды можно рассматривать как квазипериодическую функцию, которая зависит как от быстрого, так и от медленного времени:
9{t) = 0{Z, i) = 0 ( £ + l , i ) , |
(4.5.6) |
и является 1-периодической по £. Аргументы и t для такой функции считают независимыми.
4.5.3. Дифференцирование и интегрирование квазипериодических функций
Дифференцирование квазипериодических функций осуществляется по правилу дифференцирования сложных функций:
|
|
д .. . _ |
дв dt |
дв |
_ 1 /дв |
1 дв\ |
|
|
dt ' |
dt dt |
д£ dt |
t\\d i~ ^ K d ^ J |
Интегрируем |
квазипериодические функции Ь(т) = Ъ{т,£) (где г = r/t\) |
следующим образом: |
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
t |
Ь(т) dr |
Ь(т, |
dr = t\ |
( |
Ь(г, £) |
dr + xO (l) = t\ {b ) ( r ) dr + x O (l) . |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
(4.5.8) Здесь среднее значение квазипериодической функции по циклу колебаний, которое является функцией только медленного времени г:
1
о
в величину 0 (1) входят члены, сравнимые по порядку с первым членом
t
t\ j(b)df в формуле (4.5.8).
о
4.5.4. Уравнение теплопроводности для тонкого вязкоупругого бруса
Рассмотрим простейшие линейные модели Вп изотропных несжимаемых термореологически простых сред, определяющие соотношения для которых приведены в упр. 3 к § 4.3. Постановка связанной квазистатической задачи термовязкоупругости в материальном описании имеет вид (4.4.28), (4.4.30), (4.4.31); запишем уравнение теплопроводности в этой системе следующим образом:
р с £ — = V • (Л • V 0 ) + W . |
(4.5.10) |
Здесь и далее для простоты полагаем qm = 0.
420 |
Глава 4. Вязкоупругие среды |
|
Интегрируя уравнение (4.5.10) по V , с учетом формулы Гаусса — Остро |
градского и граничных условий (4.4.31) получаем |
|
д |
9 d V = - q e d Y j + w * d V . |
(4.5.11) |
Р С £ |
d t |
|
|
у |
у |
|
Далее будем считать, что рассматриваемое тело (брус) |
является т о н к и м , |
т. е. его ширина Щ и высота h® |
много |
меньше |
длины h®, так что изменением |
температуры в |
по координатам х 2 и х |
3 можно |
пренебречь. Торцы бруса х 1 = |
= 0 и х 1 = ft} |
будем полагать |
теплоизолированными (для них q e = 0 ), а на |
боковой поверхности бруса будем считать заданными условия конвективного
теплообмена: |
|
|
Че° = |
а Т ( в - в е), |
(4.5.12) |
где а т — удельный к о э ф ф и ц и е н т |
т е п л о о б м е н а ; в е — температура окружа |
ющей среды (константа). |
|
|
Тогда, поскольку при циклическом растяжении бруса |
не зависит от |
координат, уравнение (4.5.11) можно записать в виде |
|
рс£^ = - а т { в - в е) + й*, |
(4.5.13) |
ГДе |
|
|
a T = a T \h \/\V \ = д а (Л2 + Лз) |
(4.5.14) |
— интегральный коэффициент теплообмена.
4 .5 .5 . Функция рассеивания вязкоупругого бруса
Функция рассеивания |
бруса имеет вид (см. упр. 3 к §4 .3 ): |
|
|
t |
t |
|
|
/Ч d |
(“) |
|
|
|
w * |
= a e Y ^ |
|
|
|
d |
{п) |
(4.5.15) |
я № ~ т [ - г ! } ) — |
f а ( к 1 ( п ) ) — |
f a ( k l (T2) ) d T i dT2 . |
|
a= \ 0 0 |
|
|
|
|
d r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя это выражение по частям, преобразуем его к виду |
|
w * = |
a 6q ( 0 ) ^ 2 |
f l ( h ( t ) ) |
- 2 |
a |
e J 2 |
/ а Д У |
) ) |
- T - q { t ' - т [ ) } а { к х{ т х)) d T X+ |
|
а= \ |
|
|
|
а = 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ае ^ 2 |
д |
я Х |
- |
т [ - |
т'2 ) } а { к х { т х) ) } а { к х{т2 )) dT\ d r 2 . |
(4.5.16) |
|
дт\ д т 2 |
|
|
|
|
|
|
|
