книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf432 |
Глава 4. Вязкоупругие среды |
Таким образом, при постоянном напряжении CTQ деформация £33 линейно |
|
вязкоупругого |
бруса изменяется во времени, о чем говорилось в п. 4.1.1 |
при первоначальном обсуждении эффекта ползучести. М одель линейно вязкоупругой среды действительно описывает этот эффект, но только для
этапов 1 и 2 — начального участка ползучести и участка установившейся
ползучести. Этап неустановившейся ползучести, наблюдаемый для некоторых
материалов при напряжениях CTQ, близких к пределу ползучести а т , с помо щью модели линейно-вязкоупругого тела описать невозможно.
Соотношение (4.6 |
.17) может быть использовано для экспериментального |
нахождения функций |
ползучести П а а зз по значениям деформаций ползучести |
£ a a ( t ) , измеренным в |
эксперименте по квазистатическому растяжению бруса: |
ПааЗЗ = £ а а У ) / а 0- |
(4.6.18) |
В частности, если функция ползучести Пзззз(£) = П(£) имеет экспоненциаль ный вид (4.2.112):
|
|
N |
|
|
|
n ( i) = п |
0 + |
у щ |
(7)(1 — exp ( - t / t ^ ) ) , |
|
(4.6.19) |
|
|
7—1 |
|
|
|
то, используя соотношение |
(4 |
.6.18), |
можно найти константы |
и |
из |
условия наилучшего совпадения правой и левой частей уравнения в моменты времени {г = 1, . . . , к ) подобно тому, как это описано в п. 4.4.5.
Если в эксперименте установлено, что отношение £ s s ( t ) / a Q не зависит от уровня приложенного напряжения, то материал действительно может соот ветствовать модели линейно-вязкоупругой среды. Если же при значениях CTQ,
близких к пределу прочности а т , этот факт не имеет места, то в этом случае следует применять модели нелинейной вязкоупругости, например, квадратич ную (4.6.2).
2.Рассмотрим квазистатическое ступенчатое нагружение бруса (4.6.16),
но |
при |
температуре в , |
большей, |
чем начальная температура |
тела, |
причем |
в = |
в о + |
A 6 h ( t ) , т. е. в = |
const > |
во при t > 0. Тогда, применяя |
модель |
(4.6.8) |
термореологически простой среды вместо (4.6.15), получаем соотношение
e a a (t) = Па а г г У - т ) |
rf<733(r), t ' = |
a e ( 9 ) t , |
т ' = а в { в )т . |
(4.6.20) |
о |
|
|
|
|
Отсюда для ступенчатого нагружения (4.6.16) имеем |
|
|||
£ a a ( t ) = |
<70 n a a 3 3 ( a e t ) , |
а $ = |
const. |
(4.6.21) |
Из формулы (4.6.21) следует, что повышенная температура в ускоряет процессы ползучести, когда одному и тому же значению t при возраста
438 |
Глава 4. Вязкоупругие среды |
|
||||
сложение |
/ рО) I |
р(2)\ |
• |
-I- |
£Г- |
(4.6.32а) |
|
||||||
|
\ К а(3 + |
К а(3) |
• |
к а(3е + к а(3 |
е ’ |
|
умножение на действительное число |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
s ( R a/3e)-, |
|
(4.6.326) |
умножение двух функционалов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рО ) / р(2)ч |
|
( 4 .6 .3 2 B ) |
|
'ар |
а(3' |
|
К а Л К а р ) £ > |
|
|
|
|
|
|
|||
обращение (деление функционалов)
( 4 .6 .3 2 г)
= S ■
Для разностных функционалов умножение (4.6.32в) является коммутатив
ным (см. упр. 1 к § 4.6): |
|
|
|
|
/ Е>0 ) С>(2)\ |
_ |
( Е>(2) оОД-. |
(4.6.33) |
|
УК а(5К а(5)е |
~ |
УК а р К а р ) £ ’ |
||
|
что не справедливо для функционалов с неразностными ядрами, например для модели термореологически простых сред.
Использование алгебраических операций (4.6.32), применяемых для дей ствительных чисел, позволяет формально рассматривать функционалы R a p в
задаче (4.6.13) как числа, тогда задача (4.6.13) представляет собой задачу линейной теории упругости (2.6.61) со специальными модулями упругости. Если решение задачи теории упругости (2.6.61) известно, то с его помощью можно получить решение задачи линейной вязкоупругости (4.6.13) путем про
стой формальной замены специальных модулей упругости С а р на функциона
лы R a p . В этом заключается п р и н ц и п В о л ы п е р р ы решения задач вязкоупруго сти (4.6.13). Основная трудность его применения состоит в том, что решение задачи теории упругости, как правило, сложным образом (алгебраически или трансцендентно) зависит от упругих констант. Следовательно, решение задачи теории вязкоупругости может содержать, кроме основных операций (4.6.32), алгебраические или трансцендентные функции от функционалов, которые будет необходимо расшифровать, т. е. найти ядра соответствующих линейных функционалов. Для этой цели применяют специальные методы, о которых речь пойдет далее.
4.6.6. Метод преобразования Лапласа — Карсона
Для решения задач линейной вязкоупругости (4 .6 .12)—(4.6.14) часто при
меняют м е т о д и н т е г р а л ь н о г о п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а — К а р с о н а , которое
определяется следующим образом.
Пусть имеется произвольная функция /(£ ), которая является:
• определенной на полуоси [0 , +оо);
§ 4.6. Модели вязкоупругих сред с малыми деформациями |
439 |
•кусочно-непрерывной на интервале [0 , +оо);
•растущей при t —►оо медленнее, чем экспонента, т. е. существуют неко
торые константы С |
и /3, где С |
> |
О, такие, |
что |/(£ )| < С е ^ , |
тогда ее п р е о б р а з о в а н и е м |
Л а п л а с а |
— |
К а р с о н а |
(или изображением по Лапла |
су — Карсону) называют функцию f * ( p ) действительного или комплексного переменного р , определяемую по формуле
оо
f * ( p ) = р f ( t ) e pt d t . (4.6.34)
о
Функцию f ( t ) по отношению к f * ( p ) называют о р и г и н а л о м .
Преобразование Лапласа — Карсона обладает, в частности, следующими свойствами (см. упр. 2 к § 4.6):
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
а ) |
если f ( t ) |
= |
]Г k i f i ( t ) , |
то f * ( p ) |
= |
]Г h |
f t i p ) (линейность); |
|
||||||
б ) |
если f ( t ) |
= |
const = |
/о, |
то |
f * ( p ) |
= |
/ 0; |
|
|
|
|
||
в ) |
если |
f ( t ) |
= |
d g / d t , |
то |
f * { p ) |
= p ( g * ( p ) |
- |
g ( 0 )); |
|
||||
|
если |
|
= |
t |
|
|
|
|
|
|
|
то |
/* (р ) = К*(р)^*(р) |
(правило |
г ) |
f ( t ) |
j K ( t |
— |
т ) ( д д ( т ) / д т ) |
d r , |
|
||||||||
|
свертки). |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применим |
преобразование (4.6.34) |
к |
определяющим соотношениям |
|||||||||||
(4.6.3а), тогда, принимая во внимание свойство г, получаем |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а * = |
4R* |
|
в*, |
|
(4.5.35) |
||
где сг* и в* — изображения тензоров напряжений и деформации; 4R* — |
||||||||||||||
изображение тензора функций релаксации: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
R * ( p ) = P |
|
4R (£)e |
pt d t . |
(4.6.36) |
||||
Применяя преобразование Лапласа — Карсона к задаче (4.6.12), в которой предполагается UQ = 0 , VQ = 0 , получаем следующую задачу в изображениях:
р р 2 u* = |
V |
• (4R* • • V |
<g> u*), |
х G V , |
n • 4R* |
• • V |
® u * |sCT= |
S*, |
(4.6.37) |
u * |s CT= u*. |
Границы области V здесь предполагаем не изменяющимися со временем. Решение задачи (4.6.37) относительно функции и * ( р , х ) находят методами
теории линейной упругости, причем операции с тензором 4R* проводят так же, как и с обычным тензором модулей упругости 4С .
В квазистатическом случае, если известно решение задачи теории упру гости, то решение соответствующей задачи теории вязкоупругости будет получено заменой 4С на 4R* и переходом к изображениям и * ( р , х ) . Постро
